2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題12 二次函數(shù)(含解析)

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1、專題12 二次函數(shù) 專題知識(shí)回顧 1.二次函數(shù)的概念:一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。 2.二次函數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì) y x O (1)對(duì)稱軸: (2)頂點(diǎn)坐標(biāo): (3)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,c) (4)增減性: 當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減??;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大; 當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小。 3.二次函數(shù)的解析

2、式三種形式。 (1)一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0). 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式. (2)頂點(diǎn)式 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式。 (3)交點(diǎn)式 已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式。 4.根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號(hào) (1)a 確定開口方向 :當(dāng)a>0時(shí),拋物線的開口向上;當(dāng)a<0時(shí),拋物線的開口向下。 (2)b ——對(duì)稱軸與a 左同右異。 (3)拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,c) 5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(

3、a≠0)的根。 拋物線y=ax2 +bx+c,當(dāng)y=0時(shí),拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn); =0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,二次函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn); <0時(shí),一元二次方程有不等的實(shí)根,二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。 6.函數(shù)平移規(guī)律:左加右減、上加下減.圖像平移步驟 (1)配方為: ,確定頂點(diǎn)(h,k) (2)對(duì)x軸, 左加右減;對(duì)y軸, 上加下減。 7.二次函數(shù)的對(duì)稱性 二次函數(shù)是軸對(duì)稱圖形,有這樣一個(gè)結(jié)論:當(dāng)橫坐標(biāo)為x1, x2 其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等,那么對(duì)稱軸 專題典型題

4、考法及解析 【例題1】(2019湖北荊州)二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+5的最大值是  ?。? 【答案】7 【解析】y=﹣2x2﹣4x+5=﹣2(x+1)2+7, 即二次函數(shù)y=﹣x2﹣4x+5的最大值是7, 故答案為:7. 【例題2】(2019廣西賀州)已知拋物線的對(duì)稱軸是直線,其部分圖象如圖所示,下列說法中:①;②;③;④當(dāng)時(shí),,正確的是 ?。ㄌ顚懶蛱?hào)). 【答案】①③④ 【解析】根據(jù)圖象可得:,, 對(duì)稱軸:, , , , ,故①正確; 把代入函數(shù)關(guān)系式中得:, 由拋物線的對(duì)稱軸是直線,且過點(diǎn),可得當(dāng)時(shí),, ,故②錯(cuò)誤; , ,

5、 即:,故③正確; 由圖形可以直接看出④正確. 故答案為:①③④. 【例題3】(2019貴州省畢節(jié)市)某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光,也有許多令人喜愛的土特產(chǎn),為實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康,某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客,以增加村民收入.已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價(jià)x(元)與該士特產(chǎn)的日銷售量y(袋)之間的關(guān)系如表: x(元) 15 20 30 … y(袋) 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù),試求: (1)日銷售量y(袋)與銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式; (2)假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同,要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大,每袋的

6、銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?每日銷售的最大利潤是多少元 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),利用待定系數(shù)法,求出日銷售量y(袋)與銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式即可; 利用每件利潤×總銷量=總利潤,進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可. (1) 依題意,根據(jù)表格的數(shù)據(jù),設(shè)日銷售量y(袋)與銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b得 ,解得 故日銷售量y(袋)與銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x+40 (2)依題意,設(shè)利潤為w元,得 w=(x﹣10)(﹣x+40)=﹣x2+50x+400 整理得w=﹣(x﹣25)2+225 ∵﹣1<0 ∴當(dāng)x=2時(shí),w取得最大值,最大值為225 故要

7、使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大,每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元,每日銷售的最大利潤是225元. 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.(2019廣西河池)如圖,拋物線的對(duì)稱軸為直線,則下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是   A. B. C. D. 【答案】. 【解析】由拋物線的開口方向判斷與0的關(guān)系,由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷與0的關(guān)系,然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷. .由拋物線的開口向下知,與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上,可得,因此,故本選項(xiàng)正確,不符合題意; .由拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),可得,故本選項(xiàng)正確,不符合題意; .由對(duì)稱軸為,得,即,故本選

8、項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意; .由對(duì)稱軸為及拋物線過,可得拋物線與軸的另外一個(gè)交點(diǎn)是,所以,故本選項(xiàng)正確,不符合題意.故選:. 2.(2019哈爾濱)將拋物線向上平移3個(gè)單位長度,再向右平移2個(gè)單位長度,所得到的拋物線為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位長度,再向右平移2個(gè)單位長度,得到的拋物線的解析式為y=2(x﹣2)2+3,故選B. 3.(2019湖北咸寧)已知點(diǎn)A(﹣1,m),B(1,m),C(2,m﹣n)(n>0)在同一個(gè)函數(shù)的圖象上,這個(gè)函數(shù)可能是( ?。? A.y=x B.y=-2x C.y=

9、x2 D.y=﹣x2 【答案】D 【解析】∵A(﹣1,m),B(1,m), ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱; 由于y=x,y=-2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤; ∵n>0, ∴m﹣n<m; 由B(1,m),C(2,m﹣n)可知,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小, 對(duì)于二次函數(shù)只有a<0時(shí),在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小, ∴D選項(xiàng)正確。 4.(2019年陜西?。┮阎獟佄锞€,當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí), y的值隨x值的增大而減小,則m的取值范圍是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根據(jù)“當(dāng)時(shí),”,得到一個(gè)關(guān)于m不等式

10、,在根據(jù)拋物線,可知拋物線開口向上,再在根據(jù)“當(dāng)時(shí), y的值隨x值的增大而減小”,可知拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè)或者是直線,從而列出第二個(gè)關(guān)于m的不等式,兩個(gè)不等式聯(lián)立,即可解得答案. 因?yàn)閽佄锞€, 所以拋物線開口向上. 因?yàn)楫?dāng)時(shí),, 所以 ①, 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y的值隨x值的增大而減小, 所以可知拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè)或者是直線, 所以②, 聯(lián)立不等式①,②,解得. 5.(2019廣西梧州)已知,關(guān)于的一元二次方程的解為,,則下列結(jié)論正確的是   A. B. C. D. 【答案】A 【解析】關(guān)于的一元二次方程的解為,,可以看作二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo), 二次函數(shù)與

11、軸交點(diǎn)坐標(biāo)為,,如圖: 當(dāng)時(shí),就是拋物線位于軸上方的部分,此時(shí),或; 又 ,; , 故選:A. 6.(2019四川瀘州)已知二次函數(shù)y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣3a+7(其中x是自變量)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn),且當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x的增大而減小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ?。? A.a(chǎn)<2 B.a(chǎn)>﹣1 C.﹣1<a≤2 D.﹣1≤a<2 【答案】D 【解析】y=(x﹣a﹣1)(x﹣a+1)﹣3a+7=x2﹣2ax+a2﹣3a+6, ∵拋物線與x軸沒有公共點(diǎn), ∴△=(﹣2a)2﹣4(a2﹣3a+6)<0,解得a<2, ∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--2a2=a,拋

12、物線開口向上, 而當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x的增大而減小, ∴a≥﹣1, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣1≤a<2. 7.(2019四川省雅安市)在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于二次函數(shù)y=(x-2) 2+1,下列說法中錯(cuò)誤的是( ) A.y的最小值為1 B.圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),對(duì)稱軸為直線x=2 C.當(dāng)x<2時(shí),y的值隨x值的增大而增大,當(dāng)x≥2時(shí),y的值隨x值的增大而減小 D.它的圖像可以由y=x2的圖像向右平移2個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度得到 【答案】C 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,由二次函數(shù)y=(x-2) 2+1,得它的頂點(diǎn)是(2,1),對(duì)稱軸為直線x=2

13、,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)的最小值是1,圖像開口向上,當(dāng)x≥2時(shí),y的值隨x值的增大而增大,當(dāng)x<2時(shí),y的值隨x值的增大而減小,可由y=x2的圖像向右平移2個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度得到,所以C是錯(cuò)誤的,故選C. 二、填空題 8.(2019黑龍江哈爾濱)二次函數(shù)的最大值是 . 【答案】8 【解析】∵a=﹣1<0,∴y有最大值, 當(dāng)x=6時(shí),y有最大值8.故答案為8. 9. (2019黑龍江大慶)如圖拋物線y=(p>0),點(diǎn)F(0,p),直線l:y=-p,已知拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離相等,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),AA1⊥l,BB1⊥l

14、,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,則△A1OB1的面積=______(只用a,b表示). 【答案】 【解析】先由邊相等得到∠A1FB1=90°,進(jìn)而得到A1B1的長度,由等面積法得到點(diǎn)F到A1B1的距離,進(jìn)而得到△A1OB1的高,求出三角形面積. 設(shè)∠A=x,則∠B=180°-x,由題可知,AA1=AF,BB1=BF,所以∠AFA1=,∠BFB1=,所以∠A1FB1=90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1=,所以點(diǎn)F到A1B1的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)F(0,p),直線l:y=-p,△A1OB1的高為,所以△A1OB1的面積=··

15、= 10.(2019江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)過點(diǎn)A(m,3),B(n,3)兩點(diǎn),若線段AB的長不大于4,則代數(shù)式a2+a+1的最小值是 . 【答案】. 【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4,求出a的取值范圍,再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2+a+1的最小值. ∵y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1, ∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1),對(duì)稱軸為直線x=-2. ∵拋物線過點(diǎn)A(m,3),B(n,3)兩點(diǎn), ∴當(dāng)y=3時(shí),a(x+2)2+1=3,(x+2)2=,當(dāng)a>0時(shí)

16、,x=-2±. ∴A(-2-,3),B(-2+,3). ∴AB=2. ∵線段AB的長不大于4, ∴2≤4. ∴a≥. ∵a2+a+1=(a+)2+, ∴當(dāng)a=,(a2+a+1)min=(a+)2+=. 11.(2019江蘇鎮(zhèn)江)已知拋物線過點(diǎn),兩點(diǎn),若線段的長不大于4,則代數(shù)式的最小值是  . 【答案】 【解析】拋物線過點(diǎn),兩點(diǎn), 線段的長不大于4, 的最小值為:; 故答案為. 12.(2019內(nèi)蒙古赤峰)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b>0;②a﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有兩個(gè)不相

17、等的實(shí)數(shù)根;④當(dāng)x<﹣1或x>3時(shí),y>0.上述結(jié)論中正確的是  ?。ㄌ钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)) 【答案】②③④ 【解析】由圖可知,對(duì)稱軸x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3,0), ∴b=﹣2a,與x軸另一個(gè)交點(diǎn)(﹣1,0), ①∵a>0, ∴b<0; ∴①錯(cuò)誤; ②當(dāng)x=﹣1時(shí),y=0, ∴a﹣b+c=0; ②正確; ③一元二次方程ax2+bx+c+1=0可以看作函數(shù)y=ax2+bx+c與y=﹣1的交點(diǎn), 由圖象可知函數(shù)y=ax2+bx+c與y=﹣1有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ∴一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; ∴③正確; ④由

18、圖象可知,y>0時(shí),x<﹣1或x>3 ∴④正確; 故答案為②③④. 三、解答題 13.(2019北京市)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn)A,將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B,點(diǎn)B在拋物線上. (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含的式子表示); (2)求拋物線的對(duì)稱軸; (3)已知點(diǎn),.若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍. 【答案】見解析。 【解析】先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為,由平移規(guī)律求得點(diǎn)B的坐標(biāo);由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,得A、B為對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)而求出拋物線對(duì)稱軸方程;根據(jù)a的符號(hào)分類討論分析解答即可. (1)∵當(dāng)x=0時(shí),拋物線; ∴拋物線與y軸交點(diǎn)A點(diǎn)的坐

19、標(biāo)為, ∴由點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度得點(diǎn)B的坐標(biāo)為;即. (2) ∵由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,得A、B為對(duì)稱點(diǎn).∴拋物線對(duì)稱軸方程為;即 直線. (3) ①當(dāng)時(shí),. 分析圖象可得,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P;也不可 能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q,所以線段PQ和拋物線沒有交點(diǎn). ②當(dāng)時(shí),. 分析圖象可得,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P;但當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方或與點(diǎn)B重合時(shí),拋物線與線段PQ恰好有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),即. 綜上所述:當(dāng)時(shí),拋物線與線段PQ恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 14.(2019遼寧本溪)工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品成本16元,

20、工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā),批發(fā)單價(jià)y(元)與一次性批發(fā)量x(件)(x為正整數(shù))之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系. (1)直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍; (2)若一次性批發(fā)量不超過60件,當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí),工廠獲利最大?最大利潤是多少? 【答案】見解析。 【解析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用. 認(rèn)真觀察圖象,分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式,定義域取值全部是整數(shù);根據(jù)利潤=(售價(jià)-成本)×件數(shù),列出利潤的表達(dá)式,求出最值. (1) 當(dāng)0<x≤20且x為整數(shù)時(shí),y=40; 當(dāng)20<x≤60且x為整數(shù)時(shí),y=-x+50; 當(dāng)x>60且x為整數(shù)時(shí)

21、,y=20; (2)設(shè)所獲利潤w(元), 當(dāng)0<x≤20且x為整數(shù)時(shí),y=40, ∴w=(40-16)×20=480元, 當(dāng)0<x≤20且x為整數(shù)時(shí),y=40, ∴當(dāng)20<x≤60且x為整數(shù)時(shí),y=-x+50, ∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x, ∴w=-x2+34x, ∴w=-(x-34)2+578, ∵-<0, ∴當(dāng)x=34時(shí),w最大,最大值為578元. 答:一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤最大,最大利潤是578元. 15.(2019?湘潭)湘潭政府工作報(bào)告中強(qiáng)調(diào),2019年著重推進(jìn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,做優(yōu)做響湘蓮等特色農(nóng)產(chǎn)品品牌.小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店A、B兩種湘

22、蓮禮盒一個(gè)月的銷售情況,A種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)72元/盒,售價(jià)120元/盒,B種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)40元/盒,售價(jià)80元/盒,這兩種湘蓮禮盒這個(gè)月平均每天的銷售總額為2800元,平均每天的總利潤為1280元. (1)求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒? (2)小亮調(diào)査發(fā)現(xiàn),A種湘蓮禮盒售價(jià)每降3元可多賣1盒.若B種湘蓮禮盒的售價(jià)和銷量不變,當(dāng)A種湘蓮禮盒降價(jià)多少元/盒時(shí),這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大,最大是多少元? 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)題意,可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒,B種禮盒為y盒,列二元一次方程組即可解題;根據(jù)題意,可設(shè)A種禮盒降價(jià)m元/盒,則A種禮盒的銷售量為:(10+

23、)盒,再列出關(guān)系式即可. (1)根據(jù)題意,可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒,B種禮盒為y盒, 則有,解得 故該店平均每天銷售A禮盒10盒,B種禮盒為20盒. (2)設(shè)A種湘蓮禮盒降價(jià)m元/盒,利潤為W元,依題意 總利潤W=(120﹣m﹣72)(10+)+800 化簡得W=m2+6m+1280=﹣(m﹣9)2+1307 ∵a=<0 ∴當(dāng)m=9時(shí),取得最大值為1307, 故當(dāng)A種湘蓮禮盒降價(jià)9元/盒時(shí),這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大,最大是1307元. 16. (2019廣西省貴港市)如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為,與軸相交于點(diǎn),對(duì)稱軸為直線,點(diǎn)是線段的中點(diǎn). (1)求拋物線的表

24、達(dá)式; (2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)并求直線的表達(dá)式; (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn),分別在拋物線和對(duì)稱軸上,當(dāng)以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求,兩點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】見解析。 【解析】函數(shù)表達(dá)式為:,將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,即可求解;、,則點(diǎn),設(shè)直線的表達(dá)式為:,將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,即可求解;分當(dāng)是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況,分別求解即可. (1)函數(shù)表達(dá)式為:, 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得:, 故拋物線的表達(dá)式為:; (2)、,則點(diǎn), 設(shè)直線的表達(dá)式為:, 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得:,解得:, 故直線的表達(dá)式為:; (3)設(shè)點(diǎn)、點(diǎn), ①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí), 點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到, 同樣點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到, 即:,, 解得:,, 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、; ②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí), 由中點(diǎn)定理得:,, 解得:,, 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、; 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為或、或. 14

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