2020年中考數學必考考點 專題34 動態(tài)問題（含解析）

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1、專題34 動態(tài)問題 專題知識回顧 一、動態(tài)問題概述 1.就運動類型而言,有函數中的動點問題、圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。 2.就運動對象而言,幾何圖形中的動點問題，有點動、線動、面動三大類。 3.就圖形變化而言,有軸對稱（翻折）、平移、旋轉（中心對稱、滾動）等。 4.動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數學當中的重中之重，只完全掌握才能拿高

2、分。 另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數學當中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。 二、動點與函數圖象問題常見的四種類型： 1.三角形中的動點問題：動點沿三角形的邊運動，根據問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數圖 2.四邊形中的動點問題：動點沿四邊形的邊運動，根據問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數圖象。 3.圓中的動點問題：動點沿圓周運動，根據問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數圖象。 4.直線、雙曲線、拋物線中的動點問題：動點沿直線、雙曲線、拋物線運動，根據問題中的常量與變量之間

3、的關系，判斷函數圖象。 三、圖形運動與函數圖象問題常見的三種類型： 1.線段與多邊形的運動圖形問題：把一條線段沿一定方向運動經過三角形或四邊形，根據問題中的常量與變量之間的關系，進行分段，判斷函數圖象。 2.多邊形與多邊形的運動圖形問題：把一個三角形或四邊形沿一定方向運動經過另一個多邊形，根據問題中的常量與變量之間的關系，進行分段，判斷函數圖象。 3.多邊形與圓的運動圖形問題：把一個圓沿一定方向運動經過一個三角形或四邊形，或把一個三角形或四邊形沿一定方向運動經過一個圓，根據問題中的常量與變量之間的關系，進行分段，判斷函數圖象。 四、動點問題常見的四種類型： 1.教師范讀的是閱讀教

4、學中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學習、模仿。如領讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復傾聽，在反復傾聽中體驗、品味。1.三角形中的動點問題：動點沿三角形的邊運動，通過全等或相似，探究構成的新圖形與原圖形的邊或角的關系。 2.四邊形中的動點問題：動點沿四邊形的邊運動，通過探究構成的新圖形與原圖形的全等或相似，得出它們的邊或角的關系。 3.這個工作可讓學生分組負責收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴大學生的知識面,引導學生關注社會,熱愛生活

5、,所以內容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學習、成長、責任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?3.圓中的動點問題：動點沿圓周運動，探究構成的新圖形的邊角等關系。 4.直線、雙曲線、拋物線中的動點問題：動點沿直線、雙曲線、拋物線運動，探究是否存在動點構成的三角形是等腰三角形或與已知圖形相似等問題。 五、解決動態(tài)問題一般步驟： （1）用數量來刻畫運動過程。因為在不同的運動階段，同一個量的數學表達方式會發(fā)生變化，所以需要分類討論。有時符合試題要求的情況不止一種，這時也需

6、要分類討論。 （2）畫出符合題意的示意圖。 （3）根據試題的已知條件或者要求列出算式、方程或者數量間的關系式。 專題典型題考法及解析 【例題1】（點動題）如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，點E 是 BC 中點，點 F 是邊 CD 上的任意一點，當△AEF 的周長最小時，則 DF 的長為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如圖，作點E 關于直線CD 的對稱點 E′，連接 AE′，交 CD 于點 F. ∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，點 E 是 BC

7、 中點， ∴BE＝CE＝CE′＝4. ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴CF∥AB，△CE′F∽△BE′A. CE′/BE′=CF/AB 4/(8+4)=CF/6 解得 CF＝2. ∴DF＝CD－CF＝6－2＝4. 熱點二：線動 【例題2】（線動題）如圖 ，量角器的直徑與直角三角板 ABC 的斜邊 AB 重合，其中量角器 0 刻度線的端點 N 與點 A 重合，射線 CP 從 CA 處出發(fā)沿順時針方向以每秒 3°的速度旋轉，CP 與量角器的半圓弧交于點 E，第 24 秒，點 E 在量角器上對應的讀數是________． 【答案】144° 【解析】連接 OE，∵∠ACB

8、＝90°， ∴A，B，C 在以點 O 為圓心，AB 為直徑的圓上． ∴點 E，A，B，C 共圓． ∵∠ACE＝3°×24＝72°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝144°. ∴點 E 在量角器上對應的讀數是 144°. 【例題3】（面動題）如圖 Z10-4，將一個邊長為 2 的正方形 ABCD 和一個長為 2，寬為 1 的長方形 CEFD 拼在一起，構成一個大的長方形 ABEF.現將小長方形 CEFD 繞點 C 按順時針旋轉至 CE′F′D′，旋轉角為α. (1)當點 D′恰好落在 EF 邊上時，求旋轉角α的值； (2)如圖 Z10-5，G 為 BC 中點，且 0°＜α＜90°，求證

9、：GD′＝E′D； (3)小長方形 CEFD 繞點 C 按順時針旋轉一周的過程中，△ DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角α的值；若不能，請說明理由． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形、矩形的性質以及三角形全 等的判定與性質． (1)∵長方形 CEFD 繞點 C 順時針旋轉至 CE′F′D′， ∴CD′＝CD＝2. 在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°. ∵CD∥EF，∴∠α＝30°. （2）證明：∵G 為 B

10、C 中點，∴CG＝1.∴CG＝CE. ∵長方形 CEFD 繞點 C 順時針旋轉至 CE′F′D′， ∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG. ∴∠GCD′＝∠E′CD＝90°＋α. （3）能．理由如下： ∵四邊形 ABCD 為正方形，∴CB＝CD. ∵CD＝CD′， ∴△BCD ′與△ DCD′為腰相等的兩個等腰三角形． 當∠BCD′＝∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′. ①當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時， ②當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時， 綜上所述，當旋轉角a的值為135°或315°時，△DCD′與△CBD′全等． 專題

11、典型訓練題 一.選擇題 1.（2019?四川省達州市）如圖，邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置，AB與EF在一條直線上，點A與點F重合．現將△EFG沿AB方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點F與B重合時停止．在這個運動過程中，正方形ABCD和△EFG重疊部分的面積S與運動時間t的函數圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】根據題意和函數圖象可以寫出各段對應的函數解析式，從而可以判斷哪個選項中的圖象符合題意，本題得以解決． 當0≤t≤2時，S＝＝，即S與t是二次函數關系，有最小值（0，0），開口向上， 當2＜t≤

12、4時，S＝﹣＝，即S與t是二次函數關系，開口向下， 由上可得，選項C符合題意。 2．（2019?山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（　?。? A．2 B．4 C． D． 【答案】D． 【解析】根據中位線定理可得出點點P的運動軌跡是線段P1P2，再根據垂線段最短可得當BP⊥P1P2時，PB取得最小值；由矩形的性質以及已知的數據即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可．如圖： 當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1＝DP1， 當點F與點E重合時，點P在P2

13、處，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE 當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP＝FP 由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF ∴點P的運動軌跡是線段P1P2， ∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值 ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點， ∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90° ∴∠DP2P1＝90° ∴∠DP1P2＝45° ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值為BP1的長 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2 ∴BP1

14、＝2 ∴PB的最小值是2 3．（2019?山東濰坊）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D．設運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（　?。? A．B． C．D． 【答案】D． 【解析】由題意當0≤x≤3時，y＝3，當3＜x＜5時，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判斷． 由題意當0≤x≤3時，y＝3， 當3＜x＜5時，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+． 4.（2019?湖北武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A.B）上兩點，C是上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線

15、交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C.E兩點的運動路徑長的比是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內心等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找點的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題． 如圖，連接EB．設OA＝r．易知點E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運動軌跡是，點C的運動軌跡是，由題意∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計算即可解決問題． ∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°， ∵E是△ACB的內心，∴∠AEB＝135°， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴＝，∴AD＝DB＝r，∴∠AD

16、B＝90°， 易知點E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運動軌跡是，點C的運動軌跡是， ∵∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α ∴＝＝． 5.（2019?湖南衡陽）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中點，過點E作AC和BC的垂線，垂足分別為點D和點F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動，點C與點A重合時停止運動，設運動時間為t，運動過程中四邊形CDEF與△ABC的重疊部分面積為S．則S關于t的函數圖象大致為（　?。? A B C D 【答

17、案】C． 【解析】本題考查動點問題的函數圖象，正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是讀懂題意，學會分類討論的思想，屬于中考?？碱}型． 根據已知條件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCD是正方形，設正方形的邊長為a，當移動的距離＜a時，如圖1，S＝正方形的面積﹣△EE′H的面積＝a2﹣t2；當移動的距離＞a時，如圖2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根據函數關系式即可得到結論； ∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四邊形EFCD是矩形， ∵E是AB的中點， ∴EF＝A

18、C，DE＝BC， ∴EF＝ED， ∴四邊形EFCD是正方形， 設正方形的邊長為a， 如圖1當移動的距離＜a時，S＝正方形的面積﹣△EE′H的面積＝a2﹣t2； 當移動的距離＞a時，如圖2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2， ∴S關于t的函數圖象大致為C選項。 6.（2019?浙江衢州）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點E是AB的中點，點P從點E出發(fā)，沿E→A→D→C移動至終點C，設P點經過的路徑長為x，△CPE的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x函數關系的是（ ?） A???? ?B?

19、??? ?C???? D 【答案】 C 【解析】動點問題的函數圖象。結合題意分情況討論：①當點P在AE上時，②當點P在AD上時，③當點P在DC上時，根據三角形面積公式即可得出每段的y與x的函數表達式. ①當點P在AE上時， ∵正方形邊長為4，E為AB中點， ∴AE=2， ∵P點經過的路徑長為x， ∴PE=x， ∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x， ②當點P在AD上時， ∵正方形邊長為4，E為AB中點， ∴AE=2， ∵P點經過的路徑長為x， ∴AP=x-2，DP=6-x， ∴

20、y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ， =4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x）， =16-4-x+2-12+2x， =x+2， ③當點P在DC上時， ∵正方形邊長為4，E為AB中點， ∴AE=2， ∵P點經過的路徑長為x， ∴PD=x-6，PC=10-x， ∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×（10-x）×4=-2x+20， 綜上所述：y與x的函數表達式為： y= . 7.（2019?甘肅武威）如圖①，在矩形ABCD中，AB＜AD，對角線AC，BD相交于點O，動點P由點A出發(fā)，沿AB→BC→CD向點D運動．設

21、點P的運動路程為x，△AOP的面積為y，y與x的函數關系圖象如圖②所示，則AD邊的長為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【解析】本題主要考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程，找到分界點極值，結合圖象得到相關線段的具體數值． 當P點在AB上運動時，△AOP面積逐漸增大，當P點到達B點時，△AOP面積最大為3． ∴AB?＝3，即AB?BC＝12． 當P點在BC上運動時，△AOP面積逐漸減小，當P點到達C點時，△AOP面積為0，此時結合圖象可知P點運動路徑長為7， ∴AB+BC＝7． 則BC＝7﹣AB，代入AB?BC＝12，

22、得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3， 因為AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB＝3，BC＝4． 8.(2019甘肅省天水市)已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周，設點M的運動時間為x，線段PM的長度為y，表示y與x的函數圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】y與x的函數圖象分三個部分，而B選項和C選項中的封閉圖形都有4條線段，其圖象要分四個部分，所以B.C選項不正確； A選項中的封閉圖形為圓，開始y隨x的增大而增大，然后y隨x的減小而減小，所以A選項不正確；

23、 D選項為三角形，M點在三邊上運動對應三段圖象，且M點在P點的對邊上運動時，PM的長有最小值． 二、填空題 9.（2019?浙江嘉興）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為　 　cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為　 　cm2． 【答案】（24﹣12），（24+36﹣12） 【解析】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，角平分線的性質，三角形面積公式等知識，確定點D

24、的運動軌跡是本題的關鍵． ∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45° ∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm 如圖當點E沿AC方向下滑時，得△E'D'F'，過點D'作D'N⊥AC于點N，作D'M⊥BC于點M ∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90° ∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F' ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS） ∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM ∴CD'平分∠ACM 即點E沿AC方向下滑時，點D'在射線CD上移動， ∴當E'D'⊥AC時，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝

25、（12﹣6）cm ∴當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm 如圖，連接BD'，AD'， ∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C ∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N 當E'D'⊥AC時，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2． 10.（2019?四川省廣安市）如圖，在四邊形中，∥，,直線.當直線沿射線方向，從點開始向右平移時，直線與四邊形的邊分別相交于點、.設直線向右平移的距離為，線段的長為，且與的函數關系如圖所

26、示，則四邊形的周長是 . 【答案】 【解析】由題意和圖像易知BC=5，AD=7-4=3 當BE=4時（即F與A重合），EF=2，又因為且∠B=30°，所以AB=， 因為當F與A重合時，把CD平移到E點位置可得三角形AED′為正三角形，所以CD=2，故答案時. 11．（2019?山東濰坊）如圖，直線y＝x+1與拋物線y＝x2﹣4x+5交于A，B兩點，點P是y軸上的一個動點，當△PAB的周長最小時，S△PAB＝　 ?。? 【答案】． 【解析】本題考查二次函數的性質、一次函數的性質、軸對稱﹣最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答． 根

27、據軸對稱，可以求得使得△PAB的周長最小時點P的坐標，然后求出點P到直線AB的距離和AB的長度，即可求得△PAB的面積，本題得以解決． ， 解得，或， ∴點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（4，5）， ∴AB＝＝3， 作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B與y軸的交于P，則此時△PAB的周長最小， 點A′的坐標為（﹣1，2），點B的坐標為（4，5）， 設直線A′B的函數解析式為y＝kx+b， ，得， ∴直線A′B的函數解析式為y＝x+， 當x＝0時，y＝， 即點P的坐標為（0，）， 將x＝0代入直線y＝x+1中，得y＝1， ∵直線y＝x+1與y軸的夾角是45°，

28、∴點P到直線AB的距離是：（﹣1）×sin45°＝＝， ∴△PAB的面積是：＝， 三、解答題 12.（2019?湖北省仙桃市）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．設運動的時間為t秒，PQ2＝y(tǒng)． （1）直接寫出y關于t的函數解析式及t的取值范圍：　 ??； （2）當PQ＝3時，求t的值； （3）連接OB交PQ于點D，若雙曲線y＝（k≠0）經過點D，問k的值是否變化？

29、若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質、平行線的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）利用勾股定理，找出y關于t的函數解析式；（2）通過解一元二次方程，求出當PQ＝3時t的值；（3）利用相似三角形的性質及解直角三角形，找出點D的坐標． （1）過點P作PE⊥BC于點E，如圖1所示． 當運動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點P的坐標為（3t，0），點Q的坐標為（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|， ∴PQ2＝PE2+EQ2＝6

30、2+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100， ∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案為：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）當PQ＝3時，25t2﹣80t+100＝（3）2， 整理，得：5t2﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2＝． （3）經過點D的雙曲線y＝（k≠0）的k值不變． 連接OB，交PQ于點D，過點D作DF⊥OA于點F，如圖2所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB＝＝10． ∵BQ∥OP， ∴△BDQ∽△ODP， ∴＝＝＝， ∴OD＝6． ∵CB∥OA， ∴∠DOF＝∠OBC． 在Rt△OBC中，sin∠OBC

31、＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝， ∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝6×＝， ∴點D的坐標為（，）， ∴經過點D的雙曲線y＝（k≠0）的k值為×＝． 13．（2019?山東青島）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE⊥AB，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，分別交AD，OD于點F，G．連接OP，EG．設運動時間為t（

32、s）（0＜t＜5），解答下列問題： （1）當t為何值時，點E在∠BAC的平分線上？ （2）設四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式； （3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由； （4）連接OE，OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． 【答案】見解析。 【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型． （1）在Rt△A

33、BC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴AC＝＝6（cm）， ∵OD垂直平分線段AC， ∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCO， ∵∠DOC＝∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴CD＝5（cm），OD＝4（cm）， ∵PB＝t，PE⊥AB， 易知：PE＝t，BE＝t， 當點E在∠BAC的平分線上時， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE＝EC， ∴t＝8﹣t， ∴t＝4． ∴當t為4秒時，點E在∠BAC的平分線上． （2）如圖，連接OE，PC． S四邊形OPEG＝S△O

34、EG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC） ＝?（4﹣t）?3+[?3?（8﹣t）+?（8﹣t）?t﹣?3?（8﹣t） ＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）． （3）存在． ∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5）， ∴t＝時，四邊形OPEG的面積最大，最大值為． （4）存在．如圖，連接OQ． ∵OE⊥OQ， ∴∠EOC+∠QOC＝90°， ∵∠QOC+∠QOG＝90°， ∴∠EOC＝∠QOG， ∴tan∠EOC＝tan∠QOG， ∴＝， ∴＝， 整理得：5t2﹣66t+160＝0， 解得t＝或10（舍棄） ∴當t＝秒時，OE⊥OQ． 14

35、.（(2019山西）綜合與探究 如圖，拋物線經過點A（-2，0），B（4，0）兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為.連接AC，BC，DB，DC. （1） 求拋物線的函數表達式； （2） △BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值； （3） 在（2）的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】見解析。 【解析】（1）拋物線經過點A（-2，0），B（4，0）， ∴，解得， ∴拋物線的函數表達式為 （2）

36、作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F. ∵點A的坐標為（-2，0），∴OA=2 由，得，∴點C的坐標為（0，6），∴OC=6 ∴S△OAC=，∵S△BCD=S△AOC= 設直線BC的函數表達式為， 由B，C兩點的坐標得，解得 ∴直線BC的函數表達式為. ∴點G的坐標為 ∴ ∵點B的坐標為（4，0），∴OB=4 S△BCD=S△CDG+S△BDG= = ∴，解得（舍），，∴的值為3 （3） 如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖 以BD為邊進行構圖，有3種情況，采用構造全等發(fā)進行求解. ∵D點坐標為，所以的縱坐標為

37、 ，解得（舍） 可得 ∴的縱坐標為時， ∴， 以BD為對角線進行構圖，有1種情況，采用中點坐標公式進行求解. ∵ 15.（2019?湖南岳陽）操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E.F分別在邊AD.BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C′處．點P為直線EF上一動點（不與E.F重合），過點P分別作直線BE.BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN． （1）如圖1，求證：BE＝BF； （2）特例感知：如圖2，若DE＝5，CF＝2，當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長； （3）類比探究：若DE＝a

38、，CF＝b． ①如圖3，當點P在線段EF的延長線上運動時，試用含A.b的式子表示QM與QN之間的數量關系，并證明； ②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，請直接用含A.b的式子表示QM與QN之間的數量關系．（不要求寫證明過程） 【答案】見解析。 【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質和判定，翻折變換，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，學會利用面積法證明線段之間的關系，屬于中考壓軸題． （1）證明∠BEF＝∠BFE即可解決問題（也可以利用全等三角形的性質解決問題即可）．證明：如圖1中，

39、 ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF． （2）如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形．利用面積法證明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解決問題． 如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH＝AB． ∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2， 在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝＝， ∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴?BF?EH＝?BE?

40、PM+?BF?PN， ∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝， ∵四邊形PMQN是平行四邊形， ∴四邊形PMQN的周長＝2（PM+PN）＝2． （3）①如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝，由此即可解決問題． ②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝． ①證明：如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H． ∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝， ∵S△EBP﹣

41、S△BFP＝S△EBF， ∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝， ∵四邊形PMQN是平行四邊形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝． ②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝． 16.（2019?湖南邵陽）如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過原點，與x軸的另一個交點為（8，0） （1）求該二次函數的解析式； （2）在x軸上方作x軸的平行線y1＝m，交二次函數圖象于A.B兩點，過A.B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為點D.點C．當矩形ABCD為正方形時，求m的值； （3）在（2）的條件下，動

42、點P從點A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E，交直線AC于點F，問：以A.E.F、Q四點為頂點構成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質、待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出

43、二次函數解析式；（2）利用正方形的性質，找出關于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三種情況，利用平行四邊形的性質找出關于t的一元二次方程． （1）將（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴該二次函數的解析式為y＝﹣x2+x． （2）當y＝m時，﹣x2+x＝m， 解得：x1＝4﹣，x2＝4+， ∴點A的坐標為（4﹣，m），點B的坐標為（4+，m）， ∴點D的坐標為（4﹣，0），點C的坐標為（4+，0）． ∵矩形ABCD為正方形， ∴4+﹣（4﹣）＝m， 解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴當矩形ABCD為正方形時，m的值為

44、4． （3）以A.E.F、Q四點為頂點構成的四邊形能為平行四邊形． 由（2）可知：點A的坐標為（2，4），點B的坐標為（6，4），點C的坐標為（6，0），點D的坐標為（2，0）． 設直線AC的解析式為y＝kx+a（k≠0）， 將A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得： ，解得：， ∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6． 當x＝2+t時，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴點E的坐標為（2+t，﹣t2+t+4），點F的坐標為（2+t，﹣t+4）． ∵以A.E.F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三種情況考慮： ①當0＜t≤4時，如圖1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t， ∴t＝﹣t2+t， 解得：t1＝0（舍去），t2＝4； ②當4＜t≤7時，如圖2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t， ∴t﹣4＝﹣t2+t， 解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6； ③當7＜t≤8時，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t， ∴t﹣4＝t2﹣t， 解得：t5＝5﹣（舍去），t6＝5+（舍去）． 綜上所述：當以A.E.F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6． 26