《（江蘇專(zhuān)版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三單元 函數(shù) 課時(shí)訓(xùn)練15 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三單元 函數(shù) 課時(shí)訓(xùn)練15 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)訓(xùn)練(十五) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
(限時(shí):40分鐘)
|夯實(shí)基礎(chǔ)|
1.已知一個(gè)直角三角形兩直角邊之和為20 cm,則這個(gè)直角三角形的最大面積為 ( )
A.25 cm2 B.50 cm2
C.100 cm2 D.不確定
2.如圖K15-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以1 cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向C以2 cm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),那么經(jīng)過(guò)多少秒時(shí),四邊形APQC的面積最小? ( )
圖K15-1
2、
A.1 B.2 C.3 D.4
3.二次函數(shù)y=x2-8x+15的圖象與x軸相交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P在該函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng),能使△PMN的面積等于12的點(diǎn)P共有 個(gè).?
4.[2018·長(zhǎng)春]如圖K15-2,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=x2+mx交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A.點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'恰好落在拋物線(xiàn)上.過(guò)點(diǎn)A'作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)C.若點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為1,則A'C的長(zhǎng)為 .?
圖K15-2
5.[2019·長(zhǎng)春] 如圖K15-3,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+83(a>0)與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作
3、x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),若直線(xiàn)OP交直線(xiàn)AM于點(diǎn)B,且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),則a的值為 .?
圖K15-3
6.已知:如圖K15-4,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+x的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,頂點(diǎn)為A.點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),連接OA,OP.當(dāng)OA⊥OP時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
圖K15-4
7.已知邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE(如圖K15-5),其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積,求此時(shí)PM的長(zhǎng).
圖K15-5
8.如圖K15-6,矩形ABCD中,AB=
4、6 cm,BC=12 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng),如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā).
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,△PBQ的面積等于8 cm2?
(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,五邊形APQCD的面積最小,最小值是多少?
圖K15-6
|拓展提升|
9.如圖K15-7,拋物線(xiàn)m:y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線(xiàn)m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線(xiàn)n,它的頂點(diǎn)為C1,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1.若四邊形AC1A1C為矩形,則a,b應(yīng)滿(mǎn)
5、足的關(guān)系式為 ( )
圖K15-7
A.ab=-2 B.ab=-3
C.ab=-4 D.ab=-5
10.如圖K15-8,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=ax2上,☉P恒過(guò)點(diǎn)F(0,n),且與直線(xiàn)y=-n始終保持相切,則n= (用含a的代數(shù)式表示).?
圖K15-8
11.[2019·臨沂]在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.
(1)求a,b滿(mǎn)足的關(guān)系式及c的值.
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,求a的
6、取值范圍.
(3)如圖K15-9,當(dāng)a=-1時(shí),在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積為1?若存在,請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖K15-9
【參考答案】
1.B [解析]設(shè)一條直角邊為x cm,則另一條直角邊長(zhǎng)為(20-x)cm,
∴直角三角形的面積S=12x(20-x)=-12(x-10)2+50.
∵-12<0,
∴當(dāng)x=10時(shí),S最大=50 cm2.故選B.
2.C [解析]設(shè)P,Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t s,四邊形APQC的面積為S
7、cm2,則有:
S=S△ABC-S△PBQ=12×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.
∴當(dāng)t=3 s時(shí),S取得最小值.故選C.
3.4 [解析]二次函數(shù)y=x2-8x+15的圖象與x軸交點(diǎn)為(3,0)和(5,0),MN=2,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),y=x2-8x+15,
S△PMN=12=12MN·|y|,
可得y1=12,y2=-12.
當(dāng)y=12時(shí),x=8±62;
當(dāng)y=-12時(shí),x=8±22,
所以共有四個(gè)點(diǎn).
4.3 [解析]如圖,設(shè)A'C與y軸交于點(diǎn)D.
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng),
∴AB=A'B.
又A'C∥x軸
8、,
∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,
∴△ABO≌△A'BD,
∴AO=A'D,
∵點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為1,
∴A'D=AO=1,∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0).
把(-1,0)代入拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=x2+mx,得m=1,
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x2+x,
∴點(diǎn)A'坐標(biāo)為(1,2).
令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,
∴A'C=1-(-2)=3.
5.2 [解析]在y=ax2-2ax+83中,令x=0,可得y=83,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,83,
∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,83,
拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)
9、P的坐標(biāo)為1,83-a,
∴直線(xiàn)OP的解析式為y=83-ax,
令y=83,可得x=88-3a,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為88-3a,83.
∵M(jìn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),
∴88-3a=4,解得a=2.
6.解:∵拋物線(xiàn)y=ax2+x的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,
∴-12a=2,
∴a=-14,
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y=-14x2+x,
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為E.
如圖,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tan∠OAE=OEAE,tan∠EOP=PEOE,
∵OA⊥OP,
∴∠OAE=∠EOP,
∴OEAE=PEOE,
∵AE=1,OE=2,
10、
∴21=PE2,
解得PE=4,
∴P(2,-4).
7.解:設(shè)矩形PNDM的邊DN=x,NP=y,
則矩形PNDM的面積S=xy(2≤x≤4),
易知CN=4-x,EM=4-y,
作BQ⊥NP于Q,則有BQ=CN,PQ=NP-BC,
且有NP-BCCN=BFAF,
即y-34-x=12,
∴y=-12x+5,
∴S=xy=-12x2+5x(2≤x≤4),
此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下,
對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=5,
∴當(dāng)x≤5時(shí),S隨x的增大而增大.
∵2≤x≤4,
∴當(dāng)x=4,即PM=4時(shí),S有最大值.
8.解:(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則PB=6-t,BQ=2t,
11、則S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2t=8,
解得t=2或t=4,
故經(jīng)過(guò)2秒或4秒時(shí),△PBQ的面積等于8 cm2.
(2)S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2t=-t2+6t.
當(dāng)t=-b2a=3時(shí),S△PBQ最大=-364×(-1)=9,
故S五邊形APQCD最小=S矩形ABCD-S△PBQ最大=6×12-9=63(cm2).
故當(dāng)t=3秒時(shí),五邊形APQCD的面積最小,最小值是63 cm2.
9.B [解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).
令y=0,得ax2+b=0,∴x=±-ba,
∴A--ba,0,B-ba,0,
∴AB=2-ba
12、,BC=OC2+OB2=b2-ba.
要使四邊形AC1A1C是矩形,必須滿(mǎn)足AB=BC,
∴2-ba=b2-ba,
∴4×-ba=b2-ba,
∴ab=-3.
∴a,b應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式ab=-3.
故選B.
10.14a [解析]如圖,連接PF.設(shè)☉P與直線(xiàn)y=-n相切于點(diǎn)E,連接PE.則PE⊥AE.
∵動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=ax2上,
∴設(shè)P(m,am2).
∵☉P恒過(guò)點(diǎn)F(0,n),
∴PF=PE,即m2+(am2-n)2=am2+n.
∴n=14a.
11.[分析] (1)求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),即可求解;
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨
13、x的增大而增大,則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a≥0,由(1)知b=2a+1,即-2a+12a≥0,求解即可;
(3)假設(shè)存在符合題意的是P.過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點(diǎn)Q,作PH⊥AB于點(diǎn)H,易求∠QPH=45°,S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1,則|yP-yQ|=1,即可求解.
解:(1)根據(jù)直線(xiàn)y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,令x=0,則y=2,
令y=0,則x=-2,
故點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,2),將B(0,2)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,得c=2,
則函數(shù)表達(dá)式為:y=ax2+bx+2,
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入
14、上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,
則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a≥0,而b=2a+1,
即-2a+12a≥0,解得:0>a≥-12,
故a的取值范圍為:-12≤a<0.
(3)當(dāng)a=-1時(shí),二次函數(shù)表達(dá)式為:y=-x2-x+2,假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P,
過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點(diǎn)Q,作PH⊥AB于點(diǎn)H,
∵A(-2,0),B(0,2),
∴OA=OB,AB=22,
∴∠BAO=45°,
∴∠PQH=45°,
S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1,
解得PQ=1,
則yP-yQ=1,
在直線(xiàn)AB下方作直線(xiàn)m,使直線(xiàn)m和l與直線(xiàn)AB等距離,
則直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別與點(diǎn)A,B組成的三角形的面積也為1,
故|yP-yQ|=1,
設(shè)點(diǎn)P(m,-m2-m+2),則點(diǎn)Q(m,m+2),
∴-m2-m+2-m-2=±1,
解得:m=-1或-1±2,
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2)或(-1+2,2)或(-1-2,-2).
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