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1、課時訓練27 多邊形
限時：30分鐘
夯實基礎
1．[2018·大慶]一個正n邊形的每一個外角都是36°，則n＝( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．[2018·北京]若正多邊形的一個外角為60°，則該多邊形的內角和為( )
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．如圖K27－1是將一多邊形剪去一個角，則新多邊形的內角和( )
圖K27－1
A．比原多邊形少1
2、80° B．與原多邊形一樣
C．比原多邊形多360° D．比原多邊形多180°
4．[2017·萊蕪]一個多邊形的內角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形的對角線的條數(shù)是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
5．[2017·廈門思明區(qū)二模]如圖K27－2，正六邊形ABCDEF內接于☉O，☉O的半徑為2，則AC的長為( )
圖K27－2
A．2π B．4π3
3、 C．2π3 D．π3
6．如圖K27－3所示，在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是( )
圖K27－3
A．60° B．65° C．55° D．50°
7．[2018·山西]圖K27－4①是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美，圖②是從圖①冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝
4、 度．?
圖K27－4
8．[2018·寧德質檢]小明同學在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算了一個內角，結果得到的總和是800°，則少算的這個內角的度數(shù)為 °．?
9．如圖K27－5所示，正六邊形ABCDEF內接于半徑為4的圓，則B，E兩點間的距離為 ．?
圖K27－5
10．已知n邊形的內角和θ＝(n－2)×180°．
(1)甲同學說，θ能取360°；而乙同學說，θ也能取630°．甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n．若不對，說明理由．
(2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內角和增加了360°，用列方程的方法確定x．
5、
11．如圖K27－6所示，在五邊形ABCDE中，AE⊥DE，∠A＝120°，∠C＝60°，∠D－∠B＝30°．
(1)求∠D的度數(shù)．
(2)AB∥CD嗎？請說明理由．
圖K27－6
能力提升
12．[2018·銅仁]如果一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
13．如圖K27－7所示，將五邊形ABCDF沿AE對折，其中∠AEC＝72°，則∠CED'＝( )
圖K27－7
6、A．42° B．30° C．36° D．45°
14．[2018·三明質檢]如圖K27－8，在正八邊形ABCDEFGH中，連接AC，AE，則AEAC的值是( )
圖K27－8
A．22 B．2 C．3 D．2
15．如圖K27－9，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ ?。?
圖K27－9
16．[2018·南京]如圖K27－10，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1－∠2＝ °．?
7、
圖K27－10
17．[2018·南平質檢]如圖K27－11，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，則AC＝ ?。?
圖K27－11
拓展練習
18．[2017·咸寧]如圖K27－12，邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標原點O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉n次，每次旋轉60°，當n＝2017時，頂點A的坐標為 ?。?
圖K27－12
19．[2017·臺州]如圖K27－13，有一個邊長不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正
8、六邊形內部(包括邊界)，則正方形邊長a的取值范圍是 ?。?
圖K27－13
20．如圖K27－14所示，在六邊形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度數(shù)．
圖K27－14
參考答案
1．D 2．C
3．D [解析] 按題圖所示方式將一多邊形剪去一個角，則新多邊形的邊數(shù)增加一條，所以其內角和比原多邊形的內角和多180°，故選D．
4．C [解析] 設多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意，得(n－2)·180＝2×360＋180．
9、解得n＝7．
七邊形的對角線的條數(shù)是7×(7－3)2＝14．
5．B [解析] 如圖所示，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠AOB＝360°×16＝60°，∴∠AOC＝120°，∴AC的長＝120×π×2180＝43π．
故選B．
6．A 7．360 8．100 9．8
10．解：(1)甲對，乙不對．
∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360，解得n＝4．
∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630，解得n＝112．
∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°．
(2)依題意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180，解得x＝2．
11．解：(
10、1)∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°，∠A＝120°，∠C＝60°，∴∠B＋∠D＝270°，
∵∠D－∠B＝30°，∴∠B＝120°，∠D＝150°．
(2)AB∥CD．
理由：∵∠B＝120°，∠C＝60°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD．
12．A [解析] 設多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意，得：(n－2)·180＝3×360，解得n＝8．
13．C 14．B 15．540°
16．72 [解析] 如圖，過B點作BF∥l1，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝108°，∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，∴∠CB
11、F＝180°－∠1，∠ABF＝∠2，∴180°－∠1＋∠2＝∠ABC＝108°，∴∠1－∠2＝72°．故答案為72．
17．15
18．(2，23) [解析] 如圖所示，連接OA，設AF與y軸交于點M，則△AOB為等邊三角形．
∵正六邊形ABCDEF的邊長為4，
∴OA＝AB＝OB＝4，∠OAM＝60°．
∴點B的坐標為(－4，0)．
∵AF∥x軸，
∴∠AMO＝90°，
∴AM＝OA·cos∠OAM＝OA·cos60°＝4×12＝2，
OM＝OA·sin∠OAM＝OA·sin60°＝4×32＝23，
∴點A的坐標為(－2，23)．
∵正六邊形是軸對稱圖形，
∴
12、點C的坐標為(－2，－23)，點D的坐標為(2，－23)，點F的坐標為(2，23)，點E的坐標為(4，0)．
∵將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉n次，每次旋轉60°，
∴每旋轉6次，點A都回到初始位置．
當n＝2017時，
∵2017÷6＝336……1，
∴頂點A旋轉到點F的位置，
∴頂點A的坐標為(2，23)．
19．62≤a≤3-3 [解析] 如圖所示，根據(jù)題意，AC為正方形對角線，即當A，C分別是正六邊形平行的兩邊中點時，此時AC取最小值，也即正方形邊長最短，AC＝3，∴正方形邊長的最小值為3÷2＝62．當正方形四個頂點都在正六邊形各邊上時，設正六邊形與正方形的中心
13、為O，正方形與正六邊形某條邊的一個交點為F，正六邊形的一個頂點為Q，連接OF，OQ，OQ與正方形交于點P．則OQ⊥FP，∠FOP＝45°，∠FQP＝60°，設FP＝x，則OP＝x，PQ＝33x，∴OQ＝x＋33x＝1，∴x＝3－32，∴此時正方形邊長的最大值為3-3．綜上所述，正方形邊長a的取值范圍是62≤a≤3-3．
20．解：如圖所示，向兩邊延長AB，CD，EF，直線AB，EF交于點G，直線AB，CD交于點H，直線CD，EF交于點M．
因為∠BAF＝120°，∠ABC＝80°，
所以∠GAF＝60°，∠HBC＝100°．
又因為AF∥CD，所以∠H＝∠GAF＝60°．
因為∠BCD是△BHC的一個外角，
所以∠BCD＝∠H＋∠HBC＝160°．
因為AB∥DE，
所以∠EDM＝∠H＝60°．
由鄰補角的定義可得∠CDE＝180°－∠EDM＝120°．
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