（山西專用）2019中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 閱讀與思考習(xí)題

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1、專題五　閱讀與思考 類型一　數(shù)學(xué)文化 1.我國古代秦漢時期有一部數(shù)學(xué)著作,堪稱世界數(shù)學(xué)經(jīng)典名著.它的出現(xiàn),標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)體系的正式確立.它采用按類分章的問題集的形式進(jìn)行編排.其中方程的解法和正負(fù)數(shù)加減運算法則在世界上遙遙領(lǐng)先,這部著作的名稱是(　　) A.《九章算術(shù)》 B.《海島算經(jīng)》 C.《孫子算經(jīng)》 D.《五經(jīng)算術(shù)》 2.(2017·山西)公元前5世紀(jì),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)2,導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機.2是無理數(shù)的證明如下: 假設(shè)2是有理數(shù),那么它可以表示成qp(p與q是互質(zhì)的兩個正整數(shù)).于是qp2=(2)2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶數(shù),

2、進(jìn)而q是偶數(shù).從而可設(shè)q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶數(shù).這與“p與q是互質(zhì)的兩個正整數(shù)”矛盾,從而可知“2是有理數(shù)”的假設(shè)不成立,所以2是無理數(shù). 這種證明“2是無理數(shù)”的方法是(　　) A.綜合法 B.反證法 C.舉反例法 D.數(shù)學(xué)歸納法 3.(2018·太原一模)魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù),為計算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法:作圓內(nèi)接正多邊形,當(dāng)正多邊形的邊數(shù)不斷增加時,其周長就無限接近圓的周長,進(jìn)而可用正多邊形的周長圓的直徑來求得較為精確的圓周率,祖沖之在劉徽的基礎(chǔ)上繼續(xù)努力,當(dāng)正多邊形的邊數(shù)到24 576時,得到了精確到小數(shù)點后七位

3、的圓周率,這一成就在當(dāng)時領(lǐng)先其他國家一千多年,如圖,依據(jù)“割圓術(shù)”,由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是(　　) A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.14 4.(2018·山西晉中模擬)為了證明數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù),老師給學(xué)生們設(shè)計了如下材料:如圖,直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周,圓上一點由原點(記為點O)到達(dá)點A,點A對應(yīng)的數(shù)是多少?從圖中可以看出OA的長是這個圓的周長π,所以點A對應(yīng)的數(shù)是π,這樣,無理數(shù)π可以用數(shù)軸上的點表示出來,上述材料體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是(　　) A.方程思想 B.從特殊到一般的思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.分類思想 5.(201

4、8·自貢)回顧初中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)過程,從函數(shù)解析式到函數(shù)圖象,再利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),這種研究方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是(　　) A.數(shù)形結(jié)合 B.類比 C.演繹 D.公理化 6.閱讀與計算:請閱讀以下材料,并完成相應(yīng)的任務(wù). 古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”:如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c,設(shè)p=a+b+c2,則三角形的面積S=p(p-a)(p-b)(p-c). 我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶,曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”(三斜求積術(shù)):如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c,則三角形的面積S=14a2b

5、2-a2+b2-c222. (1)若一個三角形的三邊長分別是5、6、7,則這個三角形的面積等于　　　　;? (2)若一個三角形的三邊長分別是5、6、7,求這個三角形的面積. 類型二　新材料學(xué)習(xí)型 7.定義:如果二次函數(shù)y1=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常數(shù))與y2=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常數(shù))滿足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,小明是這樣思考的:由函數(shù)y=-x2+3x-2可知a1=-1,b1=3,c1=-2,根據(jù)a1+a2=0,b1=b2,

6、c1+c2=0求出a2,b2,c2,就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 請參考小明的方法解決下面的問題: (1)寫出函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”; (2)若函數(shù)y1=x2-4n3x+n與y2=-x2+mx-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,求(m+n)2 019的值; (3)已知函數(shù)y=2(x+1)(x-4)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1、B1、C1,請指出圖象經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與y=2(x+1)(x-4)是否互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 8.(2017·太原一模)請閱讀以下材料,并完成相應(yīng)的任務(wù). 如圖1,A,B兩

7、點在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點C,D,求證:AD=BC. 下面是小明同學(xué)的部分證明過程: 證明:如圖2,過點A作AM⊥y軸于點M,過點B作BN⊥x軸于點N. 設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n,A,B兩點的橫坐標(biāo)分別為a,b,則ka=ma+n,kb=mb+n,解得m=-kab,n=k(a+b)ab. ∴直線AB的表達(dá)式為y=-kabx+k(a+b)ab. 當(dāng)x=0時,y=k(a+b)ab,∴點D的坐標(biāo)為0,k(a+b)ab, ∴DM=k(a+b)ab-ka=kb…… (1)請補全小明的證明過程; (2)如圖3,直線AB與反比例函數(shù)y=kx(x

8、>0)的圖象交于點A12,9和點C,與x軸交于點D,連接OC.若點B的坐標(biāo)為(0,10),則點C的坐標(biāo)為　,? △OCD的面積為　　　　.? 9.(2017·山西一模)閱讀與思考 　　婆羅摩笈多(Brahmagupta),是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書籍,他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位,他的負(fù)數(shù)概念及加減法運算僅晚于中國《九章算術(shù)》,而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的,他還提出了著名的婆羅摩笈多定理,該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下: 已知:如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,對角線AC⊥B

9、D于點P,PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N,求證:CN=DN. 證明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB, ∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°. ∴∠BAP=∠BPM. ∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC, ∴…… (1)請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程,完成剩余的證明部分; (2)已知:如圖2,△ABC內(nèi)接于☉O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,點D在☉O上,∠BCD=60°,連接AD,與BC交于點P,作PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N,則PN的長為　　　　.? 10.(2

10、017·山西模擬)請閱讀材料,并完成相應(yīng)的任務(wù). 已知點D在△ABC的邊BC上(點D不與點B,C重合),點P是AD上任意一點,連接BP,CP. 如圖1,若BDBC=12,顯然有S△ABP=S△ACP. 如圖2,若BDBC=13,那么S△ABP與S△ACP之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣的呢?下面是小李同學(xué)的部分求解過程: 如圖3,作BM⊥AD交AD的延長線于點M,作CN⊥AD于點N. ∴∠BMD=∠CND=90°. 在△BMD和△CND中, ∵∠BMD=∠CND,∠BDM=∠CDN, ∴△BMD∽△CND. …… (1)請把小李同學(xué)的求解過程補充完整; (2)猜想:若BDBC=1n

11、,則S△ABP與S△ACP之間的數(shù)量關(guān)系是　　　　.? 答案精解精析 1.A　2.B　3.B　4.C　5.A 6.解析　(1)p=a+b+c2=5+6+72=9, S=p(p-a)(p-b)(p-c) =9×(9-5)×(9-6)×(9-7) =66. 所以這個三角形的面積等于66. (2)S=14a2b2-a2+b2-c222 =14(5)2×(6)2-(5)2+(6)2-(7)222 =145×6-5+6-722 =14×(30-4) =262. 答:這個三角形的面積是262. 7.解析　(1)∵a1=-1,b1=3,c1=-2, ∴-

12、1+a2=0,b2=3,-2+c2=0, ∴a2=1,b2=3,c2=2, ∴函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x2+3x+2. (2)根據(jù)題意得-4n3=m,-3+n=0, 解得m=-4,n=3, ∴(m+n)2 019=(-4+3)2 019=-1. (3)當(dāng)x=0時,y=2(x+1)(x-4)=-8, 則C(0,-8), 當(dāng)y=0時,2(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4,則A(-1,0),B(4,0), ∵點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1,B1,C1, ∴A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,8), 設(shè)經(jīng)過點A1,B1,C1的二

13、次函數(shù)解析式為y=a2(x-1)(x+4),把C1(0,8)代入得a2·(-1)×4=8,解得a2=-2, ∴經(jīng)過點A1,B1,C1的二次函數(shù)解析式為y=-2(x-1)(x+4)=-2x2-6x+8, 而y=2(x+1)(x-4)=2x2-6x-8, ∴a1+a2=2+(-2)=0,b1=b2=-6,c1+c2=0, ∴圖象經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=2(x+1)(x-4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”. 8.解析　(1)證明:如圖2,過點A作AM⊥y軸于點M,過點B作BN⊥x軸于點N. 設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n,A,B兩點的橫坐標(biāo)分別為a,b, 則ka=ma+n,kb=

14、mb+n, 解得m=-kab,n=k(a+b)ab. ∴直線AB的表達(dá)式為y=-kabx+k(a+b)ab. 當(dāng)x=0時,y=k(a+b)ab,∴點D的坐標(biāo)為0,k(a+b)ab, ∴DM=k(a+b)ab-ka=kb, 當(dāng)y=0時,x=a+b, ∴點C的坐標(biāo)為(a+b,0), ∴CN=a+b-b=a, ∴AD=DM2+AM2=kb2+a2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b, CB=CN2+BN2=a2+kb2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b, ∴AD=BC. (2)把點A12,9代入反比例函數(shù)y=kx得k=92, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=92x, 把A1

15、2,9,B(0,10)代入y=mx+n,得9=12m+n,n=10, ∴m=-2,n=10, ∴直線AB的解析式為y=-2x+10, 由y=-2x+10,y=92x,得x=92,y=1或x=12,y=9, ∴C92,1, 在y=-2x+10中,令y=0,則x=5, ∴直線AB與x軸的交點為D(5,0), ∴S△OCD=12×5×1=52. 9.解析　(1)剩余的證明如下: ∴∠DPN=∠PDN, ∴DN=PN, 同理CN=PN, ∴CN=DN. (2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°, ∴∠ACD=45°+60°=105°, 又∵∠D=∠B=30°, ∴∠D

16、AC=180°-∠ACD-∠D=45°, ∴∠APC=180°-45°-45°=90°,△APC是等腰直角三角形, ∴PA=PC,∠CPD=90°, 在△CPD和△APB中, ∠CPD=∠APB,∠D=∠B,PC=PA, ∴△CPD≌△APB(AAS), ∴CD=AB=2, ∵∠CPD=90°,PM⊥AB于點M,延長MP交CD于點N, ∴同(1)得CN=DN, ∴PN=12CD=1. 10.解析　(1)補充的過程如下:∴BMCN=BDCD, ∵BDCD=12,∴BMCN=12, ∵S△ABP=12·BM·AP, S△ACP=12·CN·AP, ∴S△ABP=12S△ACP. (2)同(1)可得BMCN=1n-1, ∵S△ABP=12·BM·AP,S△APC=12·CN·AP, ∴S△ABP=1n-1S△ACP. 10