（全國版）2020年中考數(shù)學熱點專題沖刺2 規(guī)律探究問題

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1、熱點專題２ 規(guī)律探究問題 數(shù)學中的所謂歸納，是指從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法。探索規(guī)律性問題就是根據(jù)新課程標準“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終”的要求，近年中考數(shù)學經(jīng)常出現(xiàn)的考題. 歸納規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關數(shù)學對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析

2、、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般（再到特殊）”的數(shù)學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力. 結(jié)合2019年全國各地中考的實例，我們從下面八方面探討歸納規(guī)律性問題的解法：（1）根據(jù)數(shù)的排列或運算規(guī)律歸納；（2）根據(jù)式的排列或運算規(guī)律歸納；（3）根據(jù)圖的變化規(guī)律歸納；（4）根據(jù)尋找的循環(huán)規(guī)律歸納；（5）根據(jù)代數(shù)式拆分規(guī)律歸納；（6）根據(jù)一階遞推規(guī)律歸納；（7）根據(jù)二階遞推規(guī)律歸納；（8）根據(jù)乘方規(guī)律歸納. 考向1 數(shù)字類規(guī)律探究型問題 1. (2019·海南)有2019個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩個數(shù)

3、的和，如果第一個數(shù)是0，第二個數(shù)是1，那么前6個數(shù)的和是______，這2019個數(shù)的和是______. 【答案】0，2 【解析】根據(jù)題目的規(guī)則，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6個數(shù)是一個循環(huán)單位，∴前6個數(shù)的和是0，2019÷6=336…3，∴這2019個數(shù)的和=0+1+1=2. 2.（2019·黃石）將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個三角形數(shù)陣 則第20行第19個數(shù)是_____________________． 【答案】625 【解析】由圖可得，第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)，…，則前

4、20行的數(shù)字有：1+2+3+…+19+20=210個數(shù)，∴第20行第20個數(shù)是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19個數(shù)是：628﹣3=625． 3. （2019·武威）已知一列數(shù)，，，，，，，按照這個規(guī)律寫下去，第9個數(shù)是 ． 【答案】 【解析】 由題意知第7個數(shù)是，第8個數(shù)是，第9個數(shù)是，故答案為． 4. （2019·云南）按一定規(guī)律排列的單項式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n個單項式是（ ） A.（－1）n－1x2n－1 B.（－1）nx2n－1 C.（－1）n－1x2n＋1 D.（－1）nx2n＋1 【答案】C 【解析】本題

5、考查了通過探究規(guī)律性列代數(shù)式的能力，∵x3=（﹣1）1﹣1x2×1+1， ﹣x5=（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7=（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9=（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11=（﹣1）5﹣1x2×5+1，…… 由上可知，第n個單項式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，因此本題選C． 5. (2019·聊城) 數(shù)軸上O，A兩點的距離為4，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動:第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An(n≥3，n是整數(shù))處，那么線段AnA的長度為___

6、_____(n≥3，n是整數(shù)). 【答案】4－ 【解析】∵AO=4，∴OA1=2，OA2=1，OA3=，OA4=，可推測OAn=，∴AnA=AO－OAn=4－. 6．（2019·安順）將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第7列的數(shù)是　 ?。? 【答案】2019 【解析】觀察圖表可知：第n行第一個數(shù)是n2，∴第45行第一個數(shù)是2025，∴第45行、第7列的數(shù)是2025﹣6=2019，故答案為2019． 7. （2019·永州）我們知道，很多數(shù)學知識相互之間都是有聯(lián)系的．如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行

7、兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上數(shù)之和；圖二是二項和的乘方(a＋b)n的展開式(按b的升冪排列)．經(jīng)觀察：圖二中某個二項和的乘方的展開式中，各項的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應，且這種關系可一直對應下去．將(s＋x)15的展開式按x的升冪排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15． 依上述規(guī)律，解決下列問題： (1)若s=1，則a2= ． (2)若s=2，則a0＋a1＋a2＋…＋a15= ． 【答案】(1)105 (2)315 【解析】(1)當s=1時， (1＋x)1=1＋x (1＋

8、x)2=1＋2x＋x2 a2=1 (1＋x)3=1＋3x＋3x2＋x3 a2=3=1＋2 (1＋x)4=1＋4x＋6x2＋4x3＋x4 a2=6=1＋2＋3 (1＋x)5=1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5 a2=10=1＋2＋3＋4 (1＋x)6=1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6 a2=15=1＋2＋3＋4＋5 當n=15時，a2=1＋2＋3＋4＋……＋14=×(1＋14)×14=105． (2)若s=2，令x=1，則(2＋1)15= a0＋a1＋a2＋…＋a15，即a0＋a1＋a2＋…＋a15=315． 考向2 幾

9、何圖形類規(guī)律探究型問題 1．（2019·畢節(jié)）下面擺放的圖案，從第二個起，每個都是前一個按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2019個圖案中箭頭的指向是（　　） A．上方 B．右方 C．下方 D．左方 【答案】C 【解析】如圖所示：每旋轉(zhuǎn)4次一周，2019÷4=504…3， 則第2019個圖案中箭頭的指向與第3個圖案方向一致，箭頭的指向是下方．故選C． 2.（2019·天水）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個圖形中共有　 　個〇． 【答案】6058 【解析】 由圖可得，第1個圖象中〇的個數(shù)為：1+3×1=4， 第2個圖象中〇的

10、個數(shù)為：1+3×2=7，第3個圖象中〇的個數(shù)為：1+3×3=10， 第4個圖象中〇的個數(shù)為：1+3×4=13，…… ∴第2019個圖形中共有：1+3×2019=1+6057=6058個〇，故答案為：6058． 3. （2019·甘肅）如圖，每一圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個菱形，第2幅圖中有3個菱形，第3幅圖中有5個菱形，如果第幅圖中有2019個菱形，則__________． 【答案】1010 【解析】解：根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個． 第2幅圖中有個．第3幅圖中有個． 第4幅圖中有個．．可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個． 故第幅圖中共有個．當圖中

11、有2019個菱形時， ，，故答案為1010． 4. (2019·大慶)歸納"T"字形，用棋子擺成的"T"字形如圖所示，按照圖①，圖②的規(guī)律擺下去，擺成第n個"T"字形需要的棋子個數(shù)為______. 【答案】3n+2 【解析】第1個圖形有5個棋子，第2個圖形有8個棋子，第3個圖形有11個棋子，所以第n個圖形有(3n+2)個棋子 5. （2019·龍東地區(qū)）如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3，再以對角線OA3為邊作第

12、三個正方形OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，記△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面積分別為S1，S2，S3…，如此下去，則S2019=________． 【答案】22017. 【解析】△AA1A2中，AA1=1，AA1邊上的高是1，它的面積S1=×1×1； △A1A2A3中，A1A2=1×，A1A2邊上的高是1×，它的面積S2=×1××1×； △A2A3A4中，A2A3=1××，A2A3邊上的高是1××，它的面積S3=×1×××1××； …如此下去，△A2018A2019A2020中，A2018A2019==，A2018A2019邊上的高是，它的

13、面積S2019=××=22017. 6. （2019 ·揚州）如圖，在中，，，若進行以下操作，在邊上從左到右依次取點、、、、；過點作、的平行線分別交、于點、；過點作、的平行線分別交、于點、；過點作、的平行線分別交、于點、，則__________． 【答案】40380 【解析】，，，即， ，，， 同理，，， ； 故答案為40380． 考向3 點的坐標變化的規(guī)律探究型問題 1.（2019 ·河南）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（－3，4），B（3，4）.將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（

14、） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10） 【答案】D 【解題】延長DA交x軸于點M∵A（-3，4），B（3，4），∴AB=6，AB∥x軸， ∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 連結(jié)OD，Rt△DMO中，MO=3 DM=10 則D點的坐標為（-3，10） 將△OAB和正方形ABCD繞點O每次順時針旋轉(zhuǎn)90°，Rt△DMO也同步繞點O每次順時針旋轉(zhuǎn)90° 當圖形繞點O順時針第一次旋轉(zhuǎn)90°后， D點的坐標為（10，3）， 當圖形繞點

15、O順時針第二次旋轉(zhuǎn)90°后， D點的坐標為（3，-10）， 當圖形繞點O順時針第三次旋轉(zhuǎn)90°后， D點的坐標為（-10，-3）， 當圖形繞點O順時針第四次旋轉(zhuǎn)90°后， D點的坐標為（-3，10）， 當圖形繞點O順時針第五次旋轉(zhuǎn)90°后， D點的坐標為（10，3）， ······ 每四次為一個循環(huán)，∵70÷4=17···2，∴旋轉(zhuǎn)70次后，D點的坐標為（3，-10）， 故選D. 2.（2019·菏澤）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到的指令是：從原點O出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點A1，第二次

16、移動到點A2……第n次移動到點An，則點A2019的坐標是（　?。? A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【答案】C 【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4=504…3， 所以A2019的坐標為（504×2+1，0）， 則A2019的坐標是（1009，0），故選C． 3. （2019?廣安）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以為直角邊作△，并使，再以為直角邊作△，并使，再以為直角邊作△，并使按此規(guī)律進行下去，則點的坐標為__________

17、． 【答案】，． 【解析】由題意得，的坐標為，的坐標為，的坐標為，， 的坐標為，的坐標為，的坐標為，的坐標為， 由上可知，點的方位是每6個循環(huán)， 與第一點方位相同的點在正半軸上，其橫坐標為，其縱坐標為0， 與第二點方位相同的點在第一象限內(nèi)，其橫坐標為，縱坐標為， 與第三點方位相同的點在第二象限內(nèi)，其橫坐標為，縱坐標為， 與第四點方位相同的點在負半軸上，其橫坐標為，縱坐標為0， 與第五點方位相同的點在第三象限內(nèi)，其橫坐標為，縱坐標為， 與第六點方位相同的點在第四象限內(nèi)，其橫坐標為，縱坐標為， ， 點的方位與點的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標為，縱坐標為， 故答

18、案為：，． 4. (2019·東營)如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，，過上的點A1（1，）作x軸的垂線交于點A2，過點A2作y軸的垂線交于點A3，過點A3作x軸的垂線交于點A4…，一次進行下去，則點的橫坐標為 . 【答案】：-31009 【解析】：本題考查坐標里的點規(guī)律探究題，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律： A1（1，），A2（1，）， A3（-3，），A4（-3，）， A5（9，），A6（9，）， A7（-27，），…… A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n為自然數(shù)），2019=1009×2+1，所以A2019的橫坐標為：(-3)1009=-31

19、009. 5. （2019·本溪）如圖，點B1在直線l：上，點B1的橫坐標為2，過點B1作B1A1⊥l，交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點A4；…；按照這個規(guī)律進行下去，點Cn的橫坐標為 【答案】. 【解題過程】如圖，過B1、C1點分別作x軸的垂線，垂足分別為M，N， ∵點B1在直線l：上，且點B1的橫坐標為2，∴B1（2，1）， ∴B1M=1，OM=2，∴

20、A1M=. ∵四邊形A1C1B2B1是正方形， ∴△A1B1M≌△C1A1N， ∴A1N=1， ∴C1的橫坐標為2+1+=2+， 在Rt△A1MB1中A1B1=， ∴OB2=，∴B2的坐標為（3，） 同理可得C2的橫坐標為3+×，B3（，），C3的橫坐標為+×，… Bn（2×，）， Cn的橫坐標為2×+×=， 故答案為. 6. （2019·齊齊哈爾） 如圖，直線l：y=分別交x軸、y軸于點A和點A1，過點A1作A1B1⊥l，交x軸于點B1，過點B1作B1A2⊥x軸，交直線L于點A2；過點A2作A2B2⊥l，交x軸于點B2，過點B2作B2A3⊥x軸，交直線L于點A3；依此規(guī)律...若圖中陰影△A1OB1的面積為S1，陰影△A2B1B2的面積S2，陰影△A3B2B3的面積S3...，則Sn=__________． 【答案】 【解析】由題意知OA=1，則OB1=，∴S1=； ∴A2(，)，∴A2B1=，B1B2=，∴S2=； ∴A3(，)，∴A2B1=，B1B2=，∴S2=；...∴Sn=