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1、
提分專練(四) 二次函數(shù)簡單綜合問題
|類型1| 二次函數(shù)與方程(不等式)的綜合
1.[2018·南京] 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)).
(1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn);
(2)當(dāng)m取什么值時(shí),該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方?
|類型2| 二次函數(shù)與直線的綜合
2.[2019·北京] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx-1a與y軸交于點(diǎn)A,將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B,點(diǎn)B在拋物線上.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)求拋物線的對稱軸;
(
2、3)已知點(diǎn)P12,-1a,Q(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.
|類型3| 二次函數(shù)的最值問題
3.[2019·臺州] 已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,4).
(1)求b,c滿足的關(guān)系式;
(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n),當(dāng)b的值變化時(shí),求n關(guān)于m的函數(shù)解析式;
(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,當(dāng)-5≤x≤1時(shí),函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.
|類型4| 二次函數(shù)與平行四邊形的綜合
4.[2019·孝感節(jié)選] 如圖T4-1①,在
3、平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2-2ax-8a與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,線段AC的長為 ,拋物線的解析式為 .?
(2)點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果在x軸上存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
①
圖T4-1
|類型5| 二次函數(shù)與相似三角形的綜合
5.[2019·鎮(zhèn)江] 如圖T4-2,二次函數(shù)y=-x2+4x+5的圖象的頂點(diǎn)為D,對稱軸是直線l,一次函數(shù)y=25x+1的圖象與x軸交
4、于點(diǎn)A,且與直線DA關(guān)于l的對稱直線交于點(diǎn)B.
(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 .?
(2)直線l與直線AB交于點(diǎn)C,N是線段DC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)D,C重合),點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為n.過點(diǎn)N作直線與線段DA,DB分別交于點(diǎn)P,Q,使得△DPQ與△DAB相似.
①當(dāng)n=275時(shí),求DP的長;
②若對于每一個(gè)確定的n的值,有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似,請直接寫出n的取值范圍 .?
圖T4-2
【參考答案】
1.解:(1)證明:當(dāng)y=0時(shí),2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
當(dāng)m+3=1,即m=-2時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)
5、m+3≠1,即m≠-2時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以,不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn).
(2)當(dāng)x=0時(shí),y=2m+6,即該函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6.
當(dāng)2m+6>0,即m>-3時(shí),該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.
2.解:(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A,∴令x=0,得y=-1a,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,-1a.
∵點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,-1a.
(2)∵拋物線過點(diǎn)A0,-1a和點(diǎn)B2,-1a,由對稱性可得,拋物線對稱軸為直線x=0+22=1.
(3)根據(jù)題意可知,拋物線y=ax2+bx-1a經(jīng)過點(diǎn)A0,-1a,B
6、2,-1a.
①當(dāng)a>0時(shí),則-1a<0,
分析圖象可得:點(diǎn)P12,-1a在對稱軸左側(cè),拋物線上方,點(diǎn)Q(2,2)在對稱軸右側(cè),拋物線上方,此時(shí)線段PQ與拋物線沒有交點(diǎn).
②當(dāng)a<0時(shí),則-1a>0.
分析圖象可得:當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方或與點(diǎn)B重合時(shí),拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)-1a≤2,即a≤-12.
綜上所述,當(dāng)a≤-12時(shí),拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn).
3.解:(1)將(-2,4)代入y=x2+bx+c,
得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b,
∴b,c滿足的關(guān)系式是c=2b.
(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,
得y=x2+bx+2b,
∵頂點(diǎn)坐
7、標(biāo)是(m,n),
∴n=m2+bm+2b,
且m=-b2,即b=-2m,
∴n=-m2-4m. ∴n關(guān)于m的函數(shù)解析式為n=-m2-4m.
(3)由(2)的結(jié)論,畫出函數(shù)y=x2+bx+c和函數(shù)y=-x2-4x的圖象.
∵函數(shù)y=x2+bx+c的圖象不經(jīng)過第三象限,
∴-4≤-b2≤0.
① 當(dāng)-4≤-b2≤-2,即4≤b≤8時(shí),如圖①所示,
當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取到最大值y=1+3b,當(dāng)x=-b2時(shí),函數(shù)取到最小值y=8b-b24,
∴(1+3b)-8b-b24=16,
即b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去);
②當(dāng)-2<-b2≤0,即0≤b<4時(shí),
8、如圖②所示,
當(dāng)x=-5時(shí),函數(shù)取到最大值y=25-3b,當(dāng)x=-b2時(shí),函數(shù)取到最小值y=8b-b24,
∴(25-3b)-8b-b24=16,
即b2-20b+36=0,
∴b1=2,b2=18(舍去).
綜上所述,b的值為2或6.
4.[解析](1)令y=0求得點(diǎn)A,B坐標(biāo),再由點(diǎn)C坐標(biāo)求得拋物線的解析式及線段AC的長;
(2)過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P,通過分類討論確定點(diǎn)Q坐標(biāo).
解:(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0);
線段AC的長為25, 拋物線的解析式為:y=12x2-x-4.
(2)過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P.
∵
9、點(diǎn)C(0,-4),∴-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,∴P(2,-4).
∴PC=2,若四邊形BCPQ為平行四邊形,則
BQ=CP=2,
∴OQ=OB+BQ=6,∴Q(6,0).
若四邊形BPCQ為平行四邊形,則BQ=CP=2,
∴OQ=OB-BQ=2,∴Q(2,0).
故以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0),(2,0).
5.[解析](1)直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可;
(2)由題意可知點(diǎn)C2,95,A-52,0,點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)為132,0,借助直線AD的解析式求得B(5,3);①當(dāng)n=275時(shí),N2,275,可求DA=95
10、2,DB=35,DN=185,CD=365.當(dāng)PQ∥AB時(shí),△DPQ∽△DAB,DP=954;當(dāng)PQ與AB不平行時(shí),DP=352;②當(dāng)PQ∥AB,
DB=DP時(shí),DB=35,DN=245,所以N2,215,則有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似時(shí),
95
11、
① 當(dāng)n=275時(shí),N2,275,
由D(2,9),A-52,0,B(5,3),C2,95,可得DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.
當(dāng)PQ∥AB時(shí),△DPQ∽△DAB,
∵PQ∥AB,∴△DAC∽△DPN,
∴DPDA=DNDC,
∴DP=954;
當(dāng)PQ與AB不平行時(shí),△DPQ∽△DBA,
易得△DNP∽△DCB,
∴DPDB=DNDC,
∴DP=352.
綜上所述,DP=954或352.
②95
（全國版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練04 二次函數(shù)簡單綜合問題
