文檔：圓錐曲線教案 雙曲線的定義及其標(biāo)準方程 教案

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1、 第二章? 圓錐曲線教案 雙曲線的定義及其標(biāo)準方程教案 ? 教學(xué)目標(biāo) 1．通過教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準方程的探索推導(dǎo)過程． 2．在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，培養(yǎng)學(xué)生會合情猜測，進一步提高分析、歸納、推理的能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，獨立思考、勇于探索精神及實事求是的科學(xué)態(tài)度． 教學(xué)重點與難點 雙曲線的定義和標(biāo)準方程及其探索推導(dǎo)過程是本課的重點．定義中的“差的絕對值〞，a與c的關(guān)系的理解是難點． 教學(xué)過程 師：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準方程是什么？ (學(xué)生口述橢

2、圓的兩個定義，標(biāo)準方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準方程和圖象放出來．) 師：橢圓的兩個定義雖然都是由軌跡的問題引出來的，但所采用的方法是不同的．定義二是在認識上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來，在掌握了坐標(biāo)法根底上利用坐標(biāo)方法建立軌跡方程．這是通過方程去認識軌跡曲線．定義中設(shè)定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對橢圓有什么影響？ 生：當(dāng)a=c時，相應(yīng)的軌跡是線段F1F2．當(dāng)a＜c時，軌跡不存在．這是因為a、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系． 師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和〞改寫為“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差〞，那么點的軌跡會怎樣？它

3、的方程又是怎樣的呢？ (師生共同做一個簡單的實驗，請同學(xué)們把準備好的實驗用具拿出來，一起做實驗．教師把教具掛在黑板上，同時板書：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之差為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？邊畫、邊操作、邊說明．) 師：做法是：適中選取兩定點F1、F2，將拉鎖拉開一段，其中一邊的端點固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(＜F1F2)，作為動點M到兩定點F1和F2距離之差．而后把它固定在F2處．這時將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸翻開鉛筆就徐徐畫出一條曲線；同理可畫出另一支．如圖2-36． 師：通過這個實驗，你們發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：所畫的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只

4、是位置不同．其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個定點的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常數(shù)的條件畫圖的． 師：所畫出圖象與橢圓完全不同，能說出屬于哪一類曲線嗎？ 生：屬于雙曲型曲線． 師：很好！我們把這類曲線就叫做雙曲線．我們思考以下幾個問題： 1．|MF1|和|MF2|哪個大？ 生：不一定．當(dāng)點M在雙曲線右支時，有|MF1|＞|MF2|，當(dāng)點M在雙曲線左支時，|MF1|＜|MF2|． 師：2．點M與點F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|？ 生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|． 師：如何表示這兩種情況？ 生：假設(shè)要同時表示這兩種情

5、況，正確的表示是應(yīng)||MF1|-|MF2||．無論哪種情況總是成立的． 師：3．點M與點F1、F2的距離之差的絕對值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？ 生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|F1F2|．否那么作不出圖形． 在上述討論的根底上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義，教師板書課題． (學(xué)生試表達，教師協(xié)助完成．) 一、雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)2a(a＞0且小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，這兩個焦點間的距離叫做焦距，記作2c(c＞0)． 通過學(xué)生自己動手畫圖，得到了雙曲線定義，同時進一步讓學(xué)生在實驗

6、中觀察定義中兩個常數(shù)間大小關(guān)系對于動點M的軌跡的影響．激發(fā)學(xué)生探求知識的興趣，調(diào)動學(xué)生的求知的渴望．師生共同歸納： 師：由定義知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并設(shè)動點為M，請大家討論以下幾個問題： (1)當(dāng)0＜a＜c時，動點M的軌跡是什么？ 學(xué)生略思考一下，答復(fù)出是雙曲線． (2)當(dāng)a=c時，動點M的軌跡是什么？ 分析? 假設(shè)a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如圖2-37所示： 可以看出，動點M的軌跡是分別以點F1、F2為端點，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線． (3)當(dāng)a＞c＞0時，動點M的軌跡是什么？ 由前面歸納動點M的軌跡不存

7、在．這是因為a、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)． 二、雙曲線的標(biāo)準方程 師：現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以參照求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．首先建立直角坐標(biāo)系，即以兩定點連線為x軸，兩定點的垂直平分線為y軸．然后，觀察雙曲線的特征，猜測雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處？(如圖2-38) 當(dāng)點M移動到x軸上點A1、A2時，如何求點A1、A2的坐標(biāo)？ 生：點A1、A2是關(guān)于原點對稱的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a． 所以點A1和A2的坐標(biāo)分別是(-a，0

8、)和(a，0)． 師：請同學(xué)們對照橢圓的定義及其標(biāo)準方程推導(dǎo)過程導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準方程． 生：1．建立直角坐標(biāo)系． 2．設(shè)雙曲線上任意一點的坐標(biāo)為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)． 3．由兩點間距離公式，得 4．由雙曲線定義，得 |MF1|-|MF2|=±2a，即 5．化簡方程 兩邊平方，得 化簡得： 兩邊再平方，整理得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (為使方程簡化，更為對稱和諧起見．) 由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得 b2x

9、2-a2y2＝a2b2， 也就是 師：利用橢圓標(biāo)準方程推導(dǎo)類比地推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準方程，它同樣具有方程簡單、對稱，具有和諧美的特點，便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì)．這一簡化的方程稱為雙曲線的標(biāo)準方程． 結(jié)合圖形再一次理解方程中a＞b＞0的條件是不可缺少的．b的選取不僅使方程得到了簡化、和諧，也有實際的幾何意義．具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處． 師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點在y軸上，這時雙曲線的標(biāo)準方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫的圖形上觀察，比照來看一看互相間的轉(zhuǎn)化．(圖2-39、圖2-40)

10、 生：從圖形的對稱來看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時針翻轉(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點在y軸上的雙曲線． 師：從方程上來分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程 此方程也是雙曲線的標(biāo)準方程． 師：如何記憶這兩個標(biāo)準方程？ 生：雙曲線的方程右邊為1，左邊是兩個完全平方項，符號一正一負，為正的項相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實軸，焦點在該軸上，且分母為a2．負項相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸，且分母為b2． 師：用一句話概括“以正負定實虛〞． 三、舉例 例1? 兩點F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線上的點到兩個焦點的距離之差為6，求曲線方程．

11、 解? 由焦點坐標(biāo)可知c=4，2a=6， 所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7． 所以，所求的雙曲線方程為 例2? 求滿足以下條件的雙曲線方程 1．假設(shè)a=4，b=3，焦點在x軸上； 解? (1)因為a=4，b=3，并且焦點在x軸上， 所以所求的雙曲線方程為 (2)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準方程為： 所以代入雙曲線方程得 所以 b2=16， 所以所求的雙曲線的標(biāo)準方程為 例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演，并對照檢查對錯． 四、小結(jié)(師生共同參與完成) 1．知識方面 雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準方程；方程中的3個常數(shù)a、b、c間的關(guān)

12、系：c2=a2+b2． 理解“以正負定實虛〞的意義，會確定實軸、虛軸、焦點所在位置，會求雙曲線的標(biāo)準方程． 2．在教學(xué)中體會到數(shù)學(xué)知識的和諧美，幾何圖形的對稱美． 五、作業(yè)：第89頁習(xí)題七1，2． 六、課后思考題 2．結(jié)合圖形的演示，試討論||MF1|-|MF2||=2a，在2a趨近于零的過程中雙曲線的變化趨勢． 設(shè)計說明 1．關(guān)于教學(xué)目標(biāo) (1)由于雙曲線的定義及其標(biāo)準方程是本章的重點之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一． (2)MM教育方式的根本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與．每個環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動腦、動手、動口的時機．運用教具的演示，增強了數(shù)學(xué)教學(xué)

13、的直觀性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比擬、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語言的運用能力．對全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和3． 2．關(guān)于教學(xué)重點 為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分展現(xiàn)雙曲線的定義及其標(biāo)準方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識形成過程作為本節(jié)課的重點． 3．關(guān)于教學(xué)方法 按照MM教育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原那么〞和“二主方針〞，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用．運用問題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的時機，使學(xué)生在開放、民主、愉悅和諧的教學(xué)氣氛中獲取新知識，提高能力，促進思維開展．因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法． 4．關(guān)于教學(xué)

14、過程 (1)利用學(xué)生已清楚的知識，轉(zhuǎn)換條件提出問題，通過自己動手和聯(lián)想，為類比地探索雙曲線的定義奠定根底，最后推出雙曲線的定義． (2)在雙曲線的標(biāo)準方程的推導(dǎo)過程中，揭示科學(xué)實驗的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識引向新知識，使知識過渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來不感到困難．表達數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神． (3)例題比擬簡單，由學(xué)生自行解答，同時由學(xué)生板演，在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生合理地思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣．同時隨時注意糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的偏差． (4)以學(xué)生為主，教師協(xié)助的方式進行本節(jié)課的小結(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，提高學(xué)生分析、概括、綜合、抽象能力，注意把學(xué)生本節(jié)課所學(xué)到的新知識納入學(xué)生已有知識體系中，使學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何內(nèi)容形成一個知識結(jié)構(gòu)，對學(xué)生掌握解析幾何的學(xué)習(xí)是大有益處的．