奧數(shù)專題 時鐘問題

word 奧數(shù)專題 時鐘問題 第一局部 根底知識點局部 【開門見山 這一段話多半錄自百度百科】 時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追與或相遇問題，不過這里的兩個“人〞分別是時鐘的分針和時針。不同在于時鐘問題有別于其他行程問題是：它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度〞或者“每分鐘走多少小格〞。對于正常的時鐘： 1.整個鐘面為360度，上面有12個大格，每個大格為30度；60個小格，每個小格為6度。 分針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，每分鐘走6度； 速度差：每分鐘6-0.5=5.5度；每分鐘1-1/12=11/12小格 2.需要注意的是在許多時鐘問題中，往往遇到各種“怪鐘〞、“壞了的鐘〞，它們的時針和分針每分鐘走的度數(shù)會與常規(guī)的時鐘不同，但是在題目中總會給出標(biāo)準(zhǔn)時鐘與特殊鐘表的比例關(guān)系，在獨立分析的根底上必須要學(xué)會十字交叉法。當(dāng)你做過一個題目后，這個十字交叉法其實沒有啥精妙之處，與濃度問題中的十字交叉類似，實際就是個一元一次方程變種格式而已。 【溫故知新】追擊問題的三個特點：同時出發(fā)；同向而行；同時停止。追擊問題的重要公式：路程差除以時間差=追擊時間。常用的等量關(guān)系：快者路程-慢者路程=距離；在實際題目中，路程差相對變化多一些，主要的類型有：重合問題〔路程〕 例如：時鐘問題需要記住標(biāo)準(zhǔn)的鐘，時針與分針從一次重合到下一次重合，所需時間為65又11分之5 分。 認(rèn)識鐘面： 時鐘問題解法與算法公式：時鐘問題的關(guān)鍵點： 　　時針每小時走30度;　　分針每分鐘走6度 分針走一分鐘〔轉(zhuǎn)6度〕時，時針走0．5度，分針與時針的速度差為5．5度。 *************************************************************************** 第二局部 以知促行 　　【例題1】從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機會有： 　　A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【解析】 　　時針與分針成直角，即時針與分針的角度差為90度或者為270度，理論上講應(yīng)為２次，還要驗證： 　　根據(jù)角度差/速度差 =分鐘數(shù)，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示經(jīng)過16又4/11分鐘，時針與分針第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示經(jīng)過49又1/11分鐘，時針與分針第二次垂直。經(jīng)驗證，選B可以。 　　【例題2】在某時刻，某鐘表時針在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，如此此時刻為----。 【解法1】 　　時針10—11點之間的刻度應(yīng)和分針20—25分鐘的刻度相對，所以要想時針與分針成一條直線，如此分針必在這一X圍，而選項中加上6分鐘后在這一X圍的只有10點15分，所以 　　【解法2】常規(guī)方法 　　設(shè)此時刻為X分鐘。如此6分鐘后分針轉(zhuǎn)的角度為6〔X+6〕度，如此此時刻3分鐘前的時針轉(zhuǎn)的角度為0．5〔Ｘ＋3〕度，以0點為起始來算此時時針的角度為0．5〔Ｘ—3〕+10×30度。所謂“時針與分針成一條直線〞即0．5〔Ｘ—3〕+10×30—6〔Ｘ+6〕=180度，解得Ｘ=15分鐘。 著名數(shù)學(xué)難題：時鐘的時針和分針〔了解〕 由時鐘的時針與分針的特殊關(guān)系，產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，介紹幾例，研究解法。 例1 在鐘表正常走動的時候，有多少個時針和分針重合的位置？它們分別表示什么時刻？ 解：鐘表上把一個圓分成了60等分，假設(shè)時針從12點開始走過了x個刻度，那么分針就要走過12x個刻度，即分針走了12x分鐘。兩針在12點重合后，當(dāng)分針比時針多走60個刻度時，出現(xiàn)第一次分針和時針重合；當(dāng)分針又比時針多走60個刻度時，出現(xiàn)第二次分針和時針重合；……直至回到12點兩針又重合后，又開始重復(fù)出現(xiàn)以上情況。用數(shù)學(xué)式子來表示，即為： 12x－x=60m，其中m=1，2，…． 度為1小時，對分針來說1個刻度就是1分鐘。所以，12點以后出現(xiàn)第四、五、六、七、八、九、十次重合的時間不難算出它們 : 如果用m=11代入，解得x=60，出現(xiàn)第十一次重合的時間是12點，這樣就回到了開始的時刻，可見，以上共有11次出現(xiàn)兩針重合的時間。 1、二點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合？ 分析：兩點鐘的時候，分針指向12，時針指向2，分針在時針后5×2＝10〔小格〕。而分針每分鐘可追與1－＝〔小格〕，要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應(yīng)為〔10÷〕分鐘。 解： 〔5×2〕÷〔1－〕＝10÷＝10〔分〕 答：2點10分時，兩針重合。 2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什么時候在同一條直線上？ 分析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候，分針指向12，時針指向4，分針在時針后5×4＝20〔小格〕。因分針比時針?biāo)俣瓤?，要成直線，分針必須追上時針〔20小格〕并超過時針〔30小格〕后，才能成一條直線。因此，需追與〔20＋30〕小格。 解： 〔5×4＋30〕÷〔1－〕＝50÷＝54〔分〕 答：在4點54分時，分針和時針在同一條直線上。 3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構(gòu)成直角？ 分析：分針與時針成直角，相差15小格〔或在前或在后〕，一點時分針在時針后5×1＝5小格，在成直角，分針必須追與并超過時針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追與〔5×1＋15〕小格或追與〔5×1＋45〕小格。 解： 〔5×1＋15〕÷〔1－〕＝20÷＝21〔分〕 或〔5×1＋45〕÷〔1－〕＝50÷＝54〔分〕 答：在1點21分和1點54分時，兩針都成直角。 4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上。看完書之后，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。〔每整點，是幾點敲幾下；半點敲一下〕請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點完畢的？ 分析：連半點敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針： 第一次成一條直線時刻是：〔0＋30〕÷〔1－〕＝30÷＝32〔分〕即12點32分。 第二次成一條直線時刻是：〔5×1＋30〕÷〔1－〕＝35÷＝38〔分〕即 1點38分。 第三次成一條直線的時刻是：〔5×2＋30〕÷〔1－ 〕＝40÷＝43〔分〕即 2點43分。 如果從12點32分開始，到1點38分，只敲2下，到2點43分，就共敲5下〔不合題意〕 如果從1點38分開始到2點43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點38分開始看書，到2點43分時完畢的。 5、此掛鐘走到5點30分，按標(biāo)準(zhǔn)時間還要走27分，因它的速度是標(biāo)準(zhǔn)時鐘速度的，實際走完這27分所要時間應(yīng)是27÷。 解： 5×〔17－12〕 ＝27 〔分〕 27÷＝30〔分〕 答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點30分。 解題關(guān)鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追與問題。鐘面上按“時〞分為12大格，按“分〞分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊?，分針每小時可追與。 【其他例題】 例1：從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線? 　　5時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間隔為25個小格(外表上每個數(shù)字之間為5個小格)，如果要成直線，如此分針要超過時針30個小格，所以在此時間段內(nèi)，分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時針與分針第一次成了直線。 　例2：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合? 　　6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為30個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。 例3：在8時多少分，時針與分針垂直? 　　8時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為40個小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個是第一次垂直，此時兩者間隔為15個小格(分針落后時針)，也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為25/(11/12)=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時兩者間隔仍為15個小格(但分針超過時針)，也就是分針比時針多走了55個小格，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，時間變?yōu)?時，超過了題意的8時多少分要求，所以在8時300/11分時，分針與時針垂直。 由上面三個例題可以看出，求解此類問題(經(jīng)過多少時間，分針與時間成多少夾角)時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關(guān)鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格，而不論兩者分別走了多少個小格。 下面再通過幾個例題來介紹這種方法的用法和要點。 　　關(guān)于時鐘的問題有：求某一時刻時針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。要解答時鐘問題就要了解、熟悉時針和分針的運動規(guī)律和特點。 　　一個鐘表一圈有60個小格，這里計算就以小格為單位。1分鐘時間，分針走1個小格，時針指走了1/60*5=1/12個小格，所以每分鐘分針比時針多走11/12個小格，以此作為后續(xù)計算的根底，對于解決類似經(jīng)過多長時間時針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。 　　例4：從9點整開始，經(jīng)過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線? 　　9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走15個小格，此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘。 　　例5：一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘? 　　9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/(11/12)=540/11分鐘。 　　例6：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線? 　　時針和分針重合，也就是兩者間隔為0個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。 1.設(shè)時鐘一圈分成了12格，如此時針每小時轉(zhuǎn)1格，分針每小時轉(zhuǎn)12格。 2.時針一晝夜〔24小時〕轉(zhuǎn)2圈，分針一晝夜轉(zhuǎn)24圈。 °，時針與分針成某個角度一般都有對稱的兩種情況。 4.時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。 【例1】清晨5點時，時鐘的時針和分針的夾角是多少度？〔〕 A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度［答案］D ［解析］清晨5點時，時針和分針相差5格，如此5×30°＝150°。 【例2】中午12點整時，鐘面上時針與分針完全重合。那么到當(dāng)晚12點時，時針與分針還要重合了多少次？〔〕A. 10 B. 11 C. 12 D. 13［答案］B ［解一］從中午12點到晚上12點，時針走了1圈，分針走了12圈，比時針多走了11圈。因此，時針與分針重合了11次。選擇B。 ［解二］根據(jù)根本知識點：由于時針和分針24小時內(nèi)重合22次，所以12小時內(nèi)重合11次。 【例3】小李開了一個多小時會議，會議開始時看了手表，會議完畢時又看了手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針恰好互換了位置。問這次會議大約開了1小時多少分？〔〕 #中國公務(wù)員考試信息網(wǎng) A. 51 B. 47C. 45 D. 43［答案］A ［解析］根據(jù)題意，會議開了1個多小時，那么分針應(yīng)該轉(zhuǎn)了1圈多不到2圈，時針轉(zhuǎn)了1格多不到2格。由于“時針和分針恰好互換了位置〞，所以時針和分針?biāo)D(zhuǎn)角度之和應(yīng)該是整整兩圈。假設(shè)這個過程經(jīng)過了T小時，時針12小時轉(zhuǎn)一圈，那么T小時應(yīng)該轉(zhuǎn)了T/12圈；分針1小時轉(zhuǎn)一圈，T小時應(yīng)該轉(zhuǎn)了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小時，約合1小時51分。 【例4】某時刻鐘表時針在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘后分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，如此此時刻為幾點幾分？〔〕 A. 10點15分 B. 10點19分 C. 10點20分 D. 10點25分［答案］A ［解析］代入B、C、D，很明顯，這三個時刻的3分鐘之前都還是10點多，因此時針在鐘面上的“10〞與“11〞之間，而這三個時刻6分鐘之后已經(jīng)至少是25分了，即分針已經(jīng)在鐘面上的“5〞上或者之后了。我們知道，鐘面上的“10〞與“11〞之間反過來對應(yīng)的是“4〞與“5〞之間，所以這三個選項對應(yīng)的時間與條件不符，所以選擇A。 核心提示 鐘面問題很多本質(zhì)上是追與問題，可選用公式T＝T0+111T0，其中：T為追與時間，即分針和時針要“達(dá)到條件要求〞的真實時間。T0為靜態(tài)時間，即假設(shè)時針不動，分針和時針“達(dá)到條件要求〞的時間。 例5 從鐘表的12點整開始，時針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時間是〔〕。 A. 43分鐘B. 45分鐘C. 49分鐘D. 61分鐘 ［答案］C ［解析］從12點整往后，時針與分針第一次垂直到再一次重疊的靜態(tài)時間T0＝45〔分鐘〕，根據(jù)公式，其間隔時間T＝T0+T0/11≈49〔分鐘〕。 【例6】〔國家2006一類-45、國家2006二類-45〕從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機會有多少次?〔〕A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次［答案］B ［解一］從12時到13時，時針旋轉(zhuǎn)了30°；分針旋轉(zhuǎn)了360°。分針與時針?biāo)傻慕嵌葟?°變化到330°〔其中包括90°和270°〕，因此有2次成直角的機會。選擇B。 ［解二］根據(jù)公式：從12點開始算，時針與分針成直角的“靜態(tài)時間〞為15分鐘或45分鐘，追與時間為15+1511=16411、45+4511=49111分鐘，所以垂直兩次。 【例7】〔某某2008年〕時針與分針在5點多少分第一次垂直？〔〕 A. 5點10分 B. 5點101011分 C. 5點11分 D. 5點12分［答案］B ［解析］根據(jù)公式：時針與分針5點后第一次成直角的“靜態(tài)時間〞為10分鐘，追與時間為10+1011=101011分鐘，所以選擇B。 強華公務(wù)員 【例8】時針與分針兩次垂直的間隔有多長時間？〔〕 A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分［答案］B ［解一］根據(jù)公式：時針與分針兩次垂直間隔的“靜態(tài)時間〞為30分鐘，代入公式算得追與時間為 30+3011=32811分鐘，所以選擇B。 ［解二］根據(jù)根本知識點：時針與分針24小時內(nèi)垂直44次，所以垂直間隔為：24×6044=32811分鐘。 核心提示當(dāng)時鐘問題涉與“壞表〞時，其本質(zhì)是“比例問題〞。解題的關(guān)鍵是抓住“標(biāo)準(zhǔn)比〞，按比例計算。 【例9】〔國家2005二類-46〕有一只鐘，每小時慢3分鐘，早晨4點30分的時候，把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時間，如此鐘走到當(dāng)天上午10點50分的時候，標(biāo)準(zhǔn)時間是多少?〔〕 A. 11點整 B. 11點5分 C. 11點10分 D. 11點15分［答案］C ［解析］標(biāo)準(zhǔn)比：標(biāo)準(zhǔn)時間走60分鐘時，慢鐘走57分鐘。此時，慢鐘從4點30分走到10點50分，一共走了6小時20分，合380分鐘，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)時間走了x分鐘，那么：x∶380=60∶57，可得：x＝400〔分鐘〕。說明標(biāo)準(zhǔn)時間比慢鐘快400-380＝20分鐘，慢鐘走到了10點50分，實際上應(yīng)該是11點10分了。 【例10】〔國家2005一類-46〕一個快鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘，一個慢鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間，結(jié)果在24小時內(nèi)，快鐘顯示10點整時，慢鐘恰好顯示9點整。如此此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是多少？〔〕 A. 9點15分 B. 9點30分 C. 9點35分 D. 9點45分［答案］D ［解析］快鐘、慢鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的差的標(biāo)準(zhǔn)比為1∶3。假設(shè)現(xiàn)在是9點x分〔快鐘顯示10點整，慢鐘顯示9點整〕，那么〔60-x〕∶〔x-0〕＝1∶3，解得：x＝45。所以標(biāo)準(zhǔn)時間是9點45分。 時鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠嫊r工具,生活中也時常會遇到與時鐘相關(guān)的問題。 關(guān)于時鐘的問題有： 求時間差： 例：從上午五點十五分到下午兩點四十五分之間，共有多少時間？ A.8小時 B.8小時30分 C.9小時30分 D.9小時50分 解析：這種屬于最簡單的時鐘問題。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢〔快〕表在幾小時后顯示什么時間？ 例：有一只鐘，每小時慢3分鐘，早晨4點30分的時候，把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時間，如此鐘走到當(dāng)天上午10點50分的時候，標(biāo)準(zhǔn)時間是( )。 A．11點整 B．11點5分 c．1l點1O分 D．11點15分 解析：慢表顯示經(jīng)過的時間是：10：50-4：30=6小時20分鐘=380分鐘，實際經(jīng)過的時間應(yīng)該是：380÷[〔60-3〕/60]=400分鐘=6小時40分鐘，答案為C：4：30+6：40=11：10。 例：一個快鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間快1分鐘，一個慢鐘每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間，結(jié)果在24小時內(nèi)，快鐘顯示10點整時，慢鐘恰好顯示9點整。如此此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是( )。 A．9點15分 B 9點30分 c．9點35分 D 9點45分 解析：這是2個不準(zhǔn)確的時鐘問題，也是這種問題的一個延伸。 我們可以看到，在一個小時內(nèi)，快鐘與慢鐘有4分鐘的差距，而4分鐘里面，1分鐘時快走造成的，3分鐘時慢走造成的。所以當(dāng)它們〔快慢鐘〕的差距有60分鐘時，那么一樣，1/4的時間=15分鐘時快走造成的，3/4的時間〔45分鐘〕時慢走造成的。所以標(biāo)準(zhǔn)時間為9點45分，答案為D。 總結(jié)：其實這種類型題是較為簡單的，關(guān)鍵把握一點，就是不準(zhǔn)確的時鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的比例關(guān)系，也就是常說的一小時慢〔快〕多少，然后再推廣到幾個小時后，而這種比例是不變的。 延伸：通過第二道例題，大家可以多少感覺到，有點像路程問題，其實這正是解決時鐘問題中較困難問題的一個核心思想。下面，我們繼續(xù)往下看，來看看時鐘問題中較為困難的類型。 求某一時刻時針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。 例：中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點，時針與分針重合多少次？ 一個鐘表一圈有60個小格，這里計算就以小格為單位。1小時時間，分針走60個小格，時針只走了5個小格，所以每小時分針比時針多走55個小格。 解析：就此題而言，可以看作是跑道同向相遇問題： 時針: v1=5格/小時 分針：v2=60格/小時 n*60=〔v2-v1〕*12 即：重合一次，多走60個格，假設(shè)重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小時多走〔60-5〕個格，總共走了12小時，所以多走了〔60-5〕*12個格。解出：n=11 例：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？ 解析：6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為30個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/55=6/11小時=360/11分鐘。 例：一個指在九點鐘的時鐘，多少分鐘后時針與分針第一次重合？ 解析：9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針與時針重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/55小時=540/11分鐘。 總結(jié)：這類題型其本質(zhì)就是追擊問題。我們知道在追擊問題中，關(guān)鍵是要知道路程差，速度差。而在時針與分針重合問題中，路程差就是時針分針之間有多少個小格，速度差就是一小時差55格〔前面已經(jīng)分析過〕。所以本著這兩點，這類問題可以迎刃而解。 大家可以看看下面這兩個問題：供大家思考，也是對這類問題的延伸。 例：爺爺家的老式鐘的時針與分針每隔66分鐘重合一次,這只鐘每晝夜慢多少分鐘? 解析：正常的鐘每隔(12/11)小時=(720/11)分鐘重合一次， 爺爺家的老式鐘是726/11分鐘重合一次，慢了6/11分鐘。 每小時這個鐘就會慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分鐘。 一晝夜共慢了1/2*24=12分鐘。 時針分針討論了不少，我們稍微換一換，看看分針和秒針的問題。 例：1個小時內(nèi)分針和秒針共重疊〔 〕次。 A.60 B.59 C.61 D.55 這個題目很多人認(rèn)為是61次，我們來討論一下： 首先，從一個理想狀態(tài)來研究，因為理想狀態(tài)也是其中的符合條件的情況，比如正點時刻 分針和秒針都是在12上 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60 我們來仔細(xì)分析 當(dāng)0分鐘時刻，分針秒針都是在一起，算1次重疊。但是在0～1之間卻是沒有重合的，因為當(dāng)秒針從12轉(zhuǎn)一圈之后回到12，此時的分針已經(jīng)偏離12，1格子的角度了。從1～2分鐘時刻開始，秒針和分針就開始在其每分鐘的間隙之間重疊了。當(dāng)?shù)搅?9～60分鐘之間，最后是分針和秒針同時到達(dá)12上，形成了最后一次重復(fù)。在59～60間隙里面也是沒有重合的。 這樣我們就可以把開始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之間的重合，整個過程就發(fā)現(xiàn)就是60次。 其次：如果不是理想狀態(tài)。這個題目就出現(xiàn)了2個結(jié)果。就是看間隔。59個間隔至少有59次相遇。第一次的間隔沒有。 這里有一個問題，很多人認(rèn)為 當(dāng)出現(xiàn)整點到整點時刻是不是不包含兩端的端點時刻。如果題目沒有交代的情況下是包涵的，跟植樹問題是樣的。如果交代了，自然按照題目交代的情況來做。 時鐘問題經(jīng)典例題詳解 例：現(xiàn)在是2 點，什么時候時針與分針第一次重合？ 析：2 點時候，時針處在第10 格位置，分針處于第0 格，相差10 格，如此需經(jīng)過10 / 11/12 分鐘的時間。 例：中午12 點，時針與分針完全重合，那么到下次12 點時，時針與分針重合多少次？ 析：時針與分針重合后再追隨上，只可能分針追與了60 格，如此分針追趕時針一次，耗時60 /11/12 ＝720/11 分鐘，而12 小時能追隨與12*60 分鐘/ 720/11 分鐘/次=11 次，第11 次時， 時針與分針又完全重合在12 點。如果不算中午12 點第一次重合的次數(shù)，應(yīng)為11 次。如果題目是到下次12 點之前，重合幾次，應(yīng)為11-1 次，因為不算最后一次重合的次數(shù)。 2. 分針與秒針秒針每秒鐘走一格，分針每60 秒鐘走一格，如此分針每秒鐘走1/60 格，每秒鐘秒針比分針多走59/60 格 3. 例：中午12 點，秒針與分針完全重合，那么到下午1 點時，兩針重合多少次？ 析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了60 格，如此秒針 追分針一次耗時，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 點時，總共有時間3600 秒，如此能追趕，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次時，共追趕了，59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分針走了60 格，即經(jīng)過1 小時后，兩針又重合在12 點。如此重合了59 次。 秒針每秒走一格，時針3600 秒走5格，如此時針每秒走1/720 格，每秒鐘秒針比時針多走719/720格。 例：中午12 點，秒針與時針完全重合，那么到下次12 點時，時針與秒針重合了多少次? 析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時針60 格，每秒鐘追719/720 格，如此要一次要追60 /719/720=43200/719 秒。而12 個小時有12*3600 秒時間，如此可以追12*3600/43200/719＝710次。此時重合在12 點位置上，即重合了719 次。 例：在時鐘盤面上，1 點45 分時的時針與分針之間的夾角是多少？ 析：一點時，時針分針差5 格，到45 分時，分針比時針多走了11/12*45＝41.25 格，如此分針 此時在時針的右邊36.25 格，一格是360/60＝6 度，如此成夾角是,36.25*6=217.5 度。 例：3 點過多少分時，時針和分針離“3〞的距離相等，并且在“3〞的兩邊？ 析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時針以每分1/12 速度的速度，分針以每分1 格的速度相向而行，當(dāng) 時針和分針離3 距離相等，兩針相遇，行程15 格，如此耗時15 / 1+ 1/12 =180/13 分。 例：小明做作業(yè)的時間不足1 時，他發(fā)現(xiàn)完畢時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時間？ 析：只可能是這個圖形的情形，如此分針走了大弧B-A，時針走了小弧A-B，即這段時間時針和分針共走了60 格，而時針每分鐘1/12 格，分針1 格，如此總共走了60/ (1/12+1)=720/13 分鐘，即花了720/13 分鐘。 鐘表上的追與問題加強內(nèi)容 一. 格數(shù)法：鐘外表的外周長被分為60個“分格〞，時針1小時走5個分格，所以時針一分鐘轉(zhuǎn)分格，分針一分鐘轉(zhuǎn)1個分格。因此可以利用時針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格〞數(shù)來解決這個問題。 解析〔1〕設(shè)3點x分時，時針與分針重合，如此分針走x個分格，時針走個分格。因為在3點這一時刻，時針在分針前15分格處，所以當(dāng)分針與時針在3點與4點之間重合時，分針比時針多走15個分格，于是得方程，解得。 所以3點16分時，時針與分針重合。 〔2〕設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。因為在3點這一時刻，時針在分針前15分格處，而在3點到4點之間，時針與分針成一平角時，分針在時針前30分格處，此時分針比時針多走了45分格，于是得方程，解得。 所以3點分時，時針與分針成平角。 〔3〕設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。此時分針在時針前15分格處，所以在3點到4點之間，時針與分針成直角時，分針比時針多走了30分格，于是得方程，解得。 所以3點分時，時針與分針成直角。 二. 度數(shù)法 對鐘表而言，時針12小時旋轉(zhuǎn)一圈，分針1小時旋轉(zhuǎn)一圈，轉(zhuǎn)過的角度都是360°°，分針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°。故也可以利用時針與分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)來解決這道題。 °，分針旋轉(zhuǎn)的角度是6x°。整3點時，時針與分針的夾角是90°，當(dāng)兩針重合時，分針比時針多轉(zhuǎn)了90°，于是得方程，解得。 〔2〕設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。此時分針比時針多轉(zhuǎn)了90°+180°=270°，于是得方程，解得。 〔3〕設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。此時分針比時針多轉(zhuǎn)了，于是得方程，解得。 練一練 1. 鐘表上9點到10點之間，什么時刻時針與分針重合？ 2. 鐘表上5點到6點之間，什么時刻時針與分針互相垂直？ 3. 鐘表上3點到4點之間，什么時刻時針與分針成40°的角？ 4. 鐘表上2點到3點之間，什么時刻時針與分針成一直線？ 〔參考答案：1. 9點49分；2. 5點43或5點10分； 3. 3點9分或3點23分；4. 2點43分?！? 網(wǎng)絡(luò)上的經(jīng)典問題 【鐘表指針重疊問題】 中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點時，時針與分針重合多少次？ 〔2006國家考題〕 A、10 B、11 C、12 D、13 答案B 2、中午12點，秒針與分針完全重合，那么到下午1點時，兩針重合多少次？ A、60 B、59 C、61 D、62 答案B 講講第2題，如果第2題弄懂了第1題也就懂了！ 給大家介紹我認(rèn)為網(wǎng)友比擬經(jīng)典的解法： 考友1.其實這個題目就是追擊問題，我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個單位，這時秒針的速度就是是分針?biāo)俣鹊?0倍，秒針和分針一起從12點 的刻度開始走，多久分針追上時針呢？我們列個方程就可以了，設(shè)分針的速度為1格/秒，那么秒針的速度就是60格/秒，設(shè)追上的時候路程是S， 時間是t，方程為(1+60)t＝S 即61t＝S，中午12點到下午1點，秒針一共走了3600格，即S的X圍是0<S<3600，那么t的X圍就是0<t<3600/61, 即0<t<59.02，因為t只能取整數(shù)，所以t為1～59，也就是他們相遇59次。 第1題跟這個思路是一樣的。 給大家一個公式 61T＝S 〔S為題目中最小的單位在題目所要求的時間內(nèi)所走的格數(shù)，確定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了〕 如第1題，題目中最小單位為分針，題目所要求的時間為12小時，也就是說分針走了720格T(max)=720/61.8，取整數(shù)就是11。 1、鐘表指針重疊問題 中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點時，時針與分針重合多少次？ A、10 B、11 C、12 D、13 考友2.這道題我是這么解,大家比擬一下: 解:可以看做追與問題,時針的速度是:1/12格/分 分針的速度是:1格/分. 追上一次的時間=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分 從12點到12點的總時間是720 分鐘,所以重合次數(shù)n=總時間/追上一次的時間=720/720/11 次 【關(guān)于成角度的問題，給力的公式與變式】設(shè)X時時，夾角為30X ， Y分時，分針追時針5.5，設(shè)夾角為A.〔請大家掌握〕 鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時針走0.5度，能追5.5度。 1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示絕對值的意義〔求角度公式〕 變式與應(yīng)用 2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A 〔角度或時針或分針求其中一個的公式。 30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔〔X+12)-Y/5]＋Y/60}=A 說明變式3.實質(zhì)上完全等同變式2. 例題3〔2000年國家考題〕 某時刻鐘表時間在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時刻正好方向相反且在一條直線上，如此從時刻為〔〕 思路1.設(shè)時刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出 30×10－5.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,此題最接近A.(說明此國考題不夠嚴(yán)謹(jǐn)！〕 思路2.根據(jù)鐘表的特點：首先看時針在10點到11點之間，那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上〞分針必在4點到5點之間〔相對時針而言〕，那么在6分鐘以前分針必在3點附近〔相對時針而言〕，運用排除法選A 11 / 11