奧數(shù)專題 時(shí)鐘問題

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1、word 奧數(shù)專題 時(shí)鐘問題 第一局部 根底知識(shí)點(diǎn)局部 【開門見山 這一段話多半錄自百度百科】 時(shí)鐘問題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追與或相遇問題，不過這里的兩個(gè)“人〞分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。不同在于時(shí)鐘問題有別于其他行程問題是：它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時(shí)，而是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度〞或者“每分鐘走多少小格〞。對(duì)于正常的時(shí)鐘： 1.整個(gè)鐘面為360度，上面有12個(gè)大格，每個(gè)大格為30度；60個(gè)小格，每個(gè)小格為6度。 分針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，每分鐘走6度； 速度差：每分鐘6-0.5=5.5度；每分鐘1-1/12=11/12小格

2、 2.需要注意的是在許多時(shí)鐘問題中，往往遇到各種“怪鐘〞、“壞了的鐘〞，它們的時(shí)針和分針每分鐘走的度數(shù)會(huì)與常規(guī)的時(shí)鐘不同，但是在題目中總會(huì)給出標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘與特殊鐘表的比例關(guān)系，在獨(dú)立分析的根底上必須要學(xué)會(huì)十字交叉法。當(dāng)你做過一個(gè)題目后，這個(gè)十字交叉法其實(shí)沒有啥精妙之處，與濃度問題中的十字交叉類似，實(shí)際就是個(gè)一元一次方程變種格式而已。 【溫故知新】追擊問題的三個(gè)特點(diǎn)：同時(shí)出發(fā)；同向而行；同時(shí)停止。追擊問題的重要公式：路程差除以時(shí)間差=追擊時(shí)間。常用的等量關(guān)系：快者路程-慢者路程=距離；在實(shí)際題目中，路程差相對(duì)變化多一些，主要的類型有：重合問題〔路程〕 例如：時(shí)鐘問題需要記住標(biāo)準(zhǔn)的鐘，時(shí)針與分針

3、從一次重合到下一次重合，所需時(shí)間為65又11分之5 分。 認(rèn)識(shí)鐘面： 時(shí)鐘問題解法與算法公式：時(shí)鐘問題的關(guān)鍵點(diǎn)： 　　時(shí)針每小時(shí)走30度;　　分針每分鐘走6度 分針走一分鐘〔轉(zhuǎn)6度〕時(shí)，時(shí)針走0．5度，分針與時(shí)針的速度差為5．5度。 *************************************************************************** 第二局部 以知促行 　　【例題1】從12時(shí)到13時(shí)，鐘的時(shí)針與分針可成直角的機(jī)會(huì)有： 　　A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【解析】 　　時(shí)針與分針成直角，即時(shí)針與分針的角度

4、差為90度或者為270度，理論上講應(yīng)為２次，還要驗(yàn)證： 　　根據(jù)角度差/速度差 =分鐘數(shù)，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示經(jīng)過16又4/11分鐘，時(shí)針與分針第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示經(jīng)過49又1/11分鐘，時(shí)針與分針第二次垂直。經(jīng)驗(yàn)證，選B可以。 　　【例題2】在某時(shí)刻，某鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，如此此時(shí)刻為----。 【解法1】 　　時(shí)針10—11點(diǎn)之間的刻度應(yīng)和分針20—25分鐘的刻度相對(duì)，所以要想時(shí)針與分針成一條直線，如此分針必在這一X圍，而選項(xiàng)中

5、加上6分鐘后在這一X圍的只有10點(diǎn)15分，所以 　　【解法2】常規(guī)方法 　　設(shè)此時(shí)刻為X分鐘。如此6分鐘后分針轉(zhuǎn)的角度為6〔X+6〕度，如此此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針轉(zhuǎn)的角度為0．5〔Ｘ＋3〕度，以0點(diǎn)為起始來算此時(shí)時(shí)針的角度為0．5〔Ｘ—3〕+10×30度。所謂“時(shí)針與分針成一條直線〞即0．5〔Ｘ—3〕+10×30—6〔Ｘ+6〕=180度，解得Ｘ=15分鐘。 著名數(shù)學(xué)難題：時(shí)鐘的時(shí)針和分針〔了解〕 由時(shí)鐘的時(shí)針與分針的特殊關(guān)系，產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，介紹幾例，研究解法。 例1 在鐘表正常走動(dòng)的時(shí)候，有多少個(gè)時(shí)針和分針重合的位置？它們分別表示什么時(shí)刻？ 解：鐘表上把一個(gè)圓分成了

6、60等分，假設(shè)時(shí)針從12點(diǎn)開始走過了x個(gè)刻度，那么分針就要走過12x個(gè)刻度，即分針走了12x分鐘。兩針在12點(diǎn)重合后，當(dāng)分針比時(shí)針多走60個(gè)刻度時(shí)，出現(xiàn)第一次分針和時(shí)針重合；當(dāng)分針又比時(shí)針多走60個(gè)刻度時(shí)，出現(xiàn)第二次分針和時(shí)針重合；……直至回到12點(diǎn)兩針又重合后，又開始重復(fù)出現(xiàn)以上情況。用數(shù)學(xué)式子來表示，即為： 12x－x=60m，其中m=1，2，…． 度為1小時(shí)，對(duì)分針來說1個(gè)刻度就是1分鐘。所以，12點(diǎn)以后出現(xiàn)第四、五、六、七、八、九、十次重合的時(shí)間不難算出它們 : 如果用m=11代入，解得x=60，出現(xiàn)第十一次重合的時(shí)間是12點(diǎn)，這樣就回到了開始的時(shí)刻，可見，以上共有11次出現(xiàn)兩

7、針重合的時(shí)間。 1、二點(diǎn)到三點(diǎn)鐘之間，分針與時(shí)針什么時(shí)候重合？ 分析：兩點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12，時(shí)針指向2，分針在時(shí)針后5×2＝10〔小格〕。而分針每分鐘可追與1－＝〔小格〕，要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時(shí)間應(yīng)為〔10÷〕分鐘。 解： 〔5×2〕÷〔1－〕＝10÷＝10〔分〕 答：2點(diǎn)10分時(shí)，兩針重合。 2、在4點(diǎn)鐘至5點(diǎn)鐘之間，分針和時(shí)針在什么時(shí)候在同一條直線上？ 分析：分針與時(shí)針成一條直線時(shí)，兩針之間相差30小格。在4點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12，時(shí)針指向4，分針在時(shí)針后5×4＝20〔小格〕。因分針比時(shí)針?biāo)俣瓤?，要成直線，分針必須追上時(shí)針〔20小格〕并超過時(shí)針〔

8、30小格〕后，才能成一條直線。因此，需追與〔20＋30〕小格。 解： 〔5×4＋30〕÷〔1－〕＝50÷＝54〔分〕 答：在4點(diǎn)54分時(shí)，分針和時(shí)針在同一條直線上。 3、在一點(diǎn)到二點(diǎn)之間，分針什么時(shí)候與時(shí)針構(gòu)成直角？ 分析：分針與時(shí)針成直角，相差15小格〔或在前或在后〕，一點(diǎn)時(shí)分針在時(shí)針后5×1＝5小格，在成直角，分針必須追與并超過時(shí)針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追與〔5×1＋15〕小格或追與〔5×1＋45〕小格。 解： 〔5×1＋15〕÷〔1－〕＝20÷＝21〔分〕 或〔5×1＋45〕÷〔1－〕＝50÷＝54〔分〕 答：在1點(diǎn)21分和1點(diǎn)54分時(shí)，兩針都成直角。 4、星期天，小

9、明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針正好處在一條直線上?？赐陼螅傻煤?，時(shí)針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。〔每整點(diǎn)，是幾點(diǎn)敲幾下；半點(diǎn)敲一下〕請(qǐng)你算一算小明從幾點(diǎn)開始看書？看到幾點(diǎn)完畢的？ 分析：連半點(diǎn)敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時(shí)間是在中午12點(diǎn)以后。12點(diǎn)以后時(shí)針與分針： 第一次成一條直線時(shí)刻是：〔0＋30〕÷〔1－〕＝30÷＝32〔分〕即12點(diǎn)32分。 第二次成一條直線時(shí)刻是：〔5×1＋30〕÷〔1－〕＝35÷＝38〔分〕即 1點(diǎn)38分。 第三次成一條直線的時(shí)刻是：〔5×2＋30〕÷〔1－ 〕＝40÷＝43

10、〔分〕即 2點(diǎn)43分。 如果從12點(diǎn)32分開始，到1點(diǎn)38分，只敲2下，到2點(diǎn)43分，就共敲5下〔不合題意〕 如果從1點(diǎn)38分開始到2點(diǎn)43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點(diǎn)38分開始看書，到2點(diǎn)43分時(shí)完畢的。 5、此掛鐘走到5點(diǎn)30分，按標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間還要走27分，因它的速度是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘速度的，實(shí)際走完這27分所要時(shí)間應(yīng)是27÷。 解： 5×〔17－12〕 ＝27 〔分〕 27÷＝30〔分〕 答：再經(jīng)過30分鐘，該掛鐘才能走到5點(diǎn)30分。 解題關(guān)鍵：時(shí)鐘問題屬于行程問題中的追與問題。鐘面上按“時(shí)〞分為12大格，按“分〞分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，

11、時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊模轴樏啃r(shí)可追與。 【其他例題】 例1：從5時(shí)整開始，經(jīng)過多長時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線? 　　5時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向右下方，此時(shí)兩者之間間隔為25個(gè)小格(外表上每個(gè)數(shù)字之間為5個(gè)小格)，如果要成直線，如此分針要超過時(shí)針30個(gè)小格，所以在此時(shí)間段內(nèi)，分針一共比時(shí)針多走了55個(gè)小格。由每分鐘分針比時(shí)針都走11/12個(gè)小格可知，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時(shí)針與分針第一次成了直線。 　例2：從6時(shí)整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合? 　　6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者

12、之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。 例3：在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直? 　　8時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向左下方，兩者之間間隔為40個(gè)小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個(gè)是第一次垂直，此時(shí)兩者間隔為15個(gè)小格(分針落后時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了25個(gè)小格，此段時(shí)間為25/(11/12)=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時(shí)兩者間隔仍為15個(gè)小格(但分針超過時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了55個(gè)小格，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，時(shí)間變?yōu)?時(shí)，超過了題

13、意的8時(shí)多少分要求，所以在8時(shí)300/11分時(shí)，分針與時(shí)針垂直。 由上面三個(gè)例題可以看出，求解此類問題(經(jīng)過多少時(shí)間，分針與時(shí)間成多少夾角)時(shí)，采用上述方法是非常方便、簡(jiǎn)單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是抓住分針比時(shí)針多走了多少個(gè)小格，而不論兩者分別走了多少個(gè)小格。 下面再通過幾個(gè)例題來介紹這種方法的用法和要點(diǎn)。 　　關(guān)于時(shí)鐘的問題有：求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。要解答時(shí)鐘問題就要了解、熟悉時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)。 　　一個(gè)鐘表一圈有60個(gè)小格，這里計(jì)算就以小格為單位。1分鐘時(shí)間，分針走

14、1個(gè)小格，時(shí)針指走了1/60*5=1/12個(gè)小格，所以每分鐘分針比時(shí)針多走11/12個(gè)小格，以此作為后續(xù)計(jì)算的根底，對(duì)于解決類似經(jīng)過多長時(shí)間時(shí)針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。 　　例4：從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線? 　　9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走15個(gè)小格，此段時(shí)間為15/(11/12)=180/11分鐘。 　　例5：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘? 　　9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為

15、45個(gè)小格。如果要分針追上時(shí)針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/(11/12)=540/11分鐘。 　　例6：時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線? 　　時(shí)針和分針重合，也就是兩者間隔為0個(gè)小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。 1.設(shè)時(shí)鐘一圈分成了12格，如此時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)1格，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)12格。 2.時(shí)針一晝夜〔24小時(shí)〕轉(zhuǎn)2圈，分針一晝夜轉(zhuǎn)24圈。 °，時(shí)針與分針成某個(gè)角度一般都有對(duì)稱的兩種情況。 4

16、.時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。 【例1】清晨5點(diǎn)時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是多少度？〔〕 A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度［答案］D ［解析］清晨5點(diǎn)時(shí)，時(shí)針和分針相差5格，如此5×30°＝150°。 【例2】中午12點(diǎn)整時(shí)，鐘面上時(shí)針與分針完全重合。那么到當(dāng)晚12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針還要重合了多少次？〔〕A. 10 B. 11 C. 12 D. 13［答案］B ［解一］從中午12點(diǎn)到晚上12點(diǎn)，時(shí)針走了1圈，分針走了12圈，比時(shí)針多走了11圈。因此，時(shí)針與分針重合了11次。選擇B。 ［解二］根據(jù)根本知識(shí)點(diǎn)：由于時(shí)針和分針2

17、4小時(shí)內(nèi)重合22次，所以12小時(shí)內(nèi)重合11次。 【例3】小李開了一個(gè)多小時(shí)會(huì)議，會(huì)議開始時(shí)看了手表，會(huì)議完畢時(shí)又看了手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針恰好互換了位置。問這次會(huì)議大約開了1小時(shí)多少分？〔〕 #中國公務(wù)員考試信息網(wǎng) A. 51 B. 47C. 45 D. 43［答案］A ［解析］根據(jù)題意，會(huì)議開了1個(gè)多小時(shí)，那么分針應(yīng)該轉(zhuǎn)了1圈多不到2圈，時(shí)針轉(zhuǎn)了1格多不到2格。由于“時(shí)針和分針恰好互換了位置〞，所以時(shí)針和分針?biāo)D(zhuǎn)角度之和應(yīng)該是整整兩圈。假設(shè)這個(gè)過程經(jīng)過了T小時(shí)，時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，那么T小時(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)了T/12圈；分針1小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，T小時(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小

18、時(shí)，約合1小時(shí)51分。 【例4】某時(shí)刻鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，如此此時(shí)刻為幾點(diǎn)幾分？〔〕 A. 10點(diǎn)15分 B. 10點(diǎn)19分 C. 10點(diǎn)20分 D. 10點(diǎn)25分［答案］A ［解析］代入B、C、D，很明顯，這三個(gè)時(shí)刻的3分鐘之前都還是10點(diǎn)多，因此時(shí)針在鐘面上的“10〞與“11〞之間，而這三個(gè)時(shí)刻6分鐘之后已經(jīng)至少是25分了，即分針已經(jīng)在鐘面上的“5〞上或者之后了。我們知道，鐘面上的“10〞與“11〞之間反過來對(duì)應(yīng)的是“4〞與“5〞之間，所以這三個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間與條件不符，所以選擇A。 核心提示

19、鐘面問題很多本質(zhì)上是追與問題，可選用公式T＝T0+111T0，其中：T為追與時(shí)間，即分針和時(shí)針要“達(dá)到條件要求〞的真實(shí)時(shí)間。T0為靜態(tài)時(shí)間，即假設(shè)時(shí)針不動(dòng)，分針和時(shí)針“達(dá)到條件要求〞的時(shí)間。 例5 從鐘表的12點(diǎn)整開始，時(shí)針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時(shí)間是〔〕。 A. 43分鐘B. 45分鐘C. 49分鐘D. 61分鐘 ［答案］C ［解析］從12點(diǎn)整往后，時(shí)針與分針第一次垂直到再一次重疊的靜態(tài)時(shí)間T0＝45〔分鐘〕，根據(jù)公式，其間隔時(shí)間T＝T0+T0/11≈49〔分鐘〕。 【例6】〔國家2006一類-45、國家2006二類-45〕從12時(shí)到13時(shí)，鐘的時(shí)針與分針可成直

20、角的機(jī)會(huì)有多少次?〔〕A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次［答案］B ［解一］從12時(shí)到13時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30°；分針旋轉(zhuǎn)了360°。分針與時(shí)針?biāo)傻慕嵌葟?°變化到330°〔其中包括90°和270°〕，因此有2次成直角的機(jī)會(huì)。選擇B。 ［解二］根據(jù)公式：從12點(diǎn)開始算，時(shí)針與分針成直角的“靜態(tài)時(shí)間〞為15分鐘或45分鐘，追與時(shí)間為15+1511=16411、45+4511=49111分鐘，所以垂直兩次。 【例7】〔某某2008年〕時(shí)針與分針在5點(diǎn)多少分第一次垂直？〔〕 A. 5點(diǎn)10分 B. 5點(diǎn)101011分 C. 5點(diǎn)11分 D. 5點(diǎn)12分［答案］B ［解

21、析］根據(jù)公式：時(shí)針與分針5點(diǎn)后第一次成直角的“靜態(tài)時(shí)間〞為10分鐘，追與時(shí)間為10+1011=101011分鐘，所以選擇B。 強(qiáng)華公務(wù)員 【例8】時(shí)針與分針兩次垂直的間隔有多長時(shí)間？〔〕 A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分［答案］B ［解一］根據(jù)公式：時(shí)針與分針兩次垂直間隔的“靜態(tài)時(shí)間〞為30分鐘，代入公式算得追與時(shí)間為 30+3011=32811分鐘，所以選擇B。 ［解二］根據(jù)根本知識(shí)點(diǎn)：時(shí)針與分針24小時(shí)內(nèi)垂直44次，所以垂直間隔為：24×6044=32811分鐘。 核心提示當(dāng)時(shí)鐘問題涉與“壞表〞時(shí)，其本質(zhì)是“比例問題〞。解題的關(guān)鍵是抓住“標(biāo)準(zhǔn)比〞，

22、按比例計(jì)算。 【例9】〔國家2005二類-46〕有一只鐘，每小時(shí)慢3分鐘，早晨4點(diǎn)30分的時(shí)候，把鐘對(duì)準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，如此鐘走到當(dāng)天上午10點(diǎn)50分的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?〔〕 A. 11點(diǎn)整 B. 11點(diǎn)5分 C. 11點(diǎn)10分 D. 11點(diǎn)15分［答案］C ［解析］標(biāo)準(zhǔn)比：標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分鐘時(shí)，慢鐘走57分鐘。此時(shí)，慢鐘從4點(diǎn)30分走到10點(diǎn)50分，一共走了6小時(shí)20分，合380分鐘，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走了x分鐘，那么：x∶380=60∶57，可得：x＝400〔分鐘〕。說明標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間比慢鐘快400-380＝20分鐘，慢鐘走到了10點(diǎn)50分，實(shí)際上應(yīng)該是11點(diǎn)10分了。 【例10】〔國家

23、2005一類-46〕一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。如將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示10點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示9點(diǎn)整。如此此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少？〔〕 A. 9點(diǎn)15分 B. 9點(diǎn)30分 C. 9點(diǎn)35分 D. 9點(diǎn)45分［答案］D ［解析］快鐘、慢鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的差的標(biāo)準(zhǔn)比為1∶3。假設(shè)現(xiàn)在是9點(diǎn)x分〔快鐘顯示10點(diǎn)整，慢鐘顯示9點(diǎn)整〕，那么〔60-x〕∶〔x-0〕＝1∶3，解得：x＝45。所以標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是9點(diǎn)45分。 時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具,生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問題。 關(guān)于時(shí)鐘的問題有：

24、 求時(shí)間差： 例：從上午五點(diǎn)十五分到下午兩點(diǎn)四十五分之間，共有多少時(shí)間？ A.8小時(shí) B.8小時(shí)30分 C.9小時(shí)30分 D.9小時(shí)50分 解析：這種屬于最簡(jiǎn)單的時(shí)鐘問題。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢〔快〕表在幾小時(shí)后顯示什么時(shí)間？ 例：有一只鐘，每小時(shí)慢3分鐘，早晨4點(diǎn)30分的時(shí)候，把鐘對(duì)準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，如此鐘走到當(dāng)天上午10點(diǎn)50分的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是( )。 A．11點(diǎn)整 B．11點(diǎn)5分 c．1l點(diǎn)1O分 D．11點(diǎn)15分 解析：慢表顯示經(jīng)過的時(shí)間是：10：50-4：30=6小時(shí)20分鐘=380分鐘，實(shí)際經(jīng)過的時(shí)間應(yīng)該是：380÷[〔60-3〕

25、/60]=400分鐘=6小時(shí)40分鐘，答案為C：4：30+6：40=11：10。 例：一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。如將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示10點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示9點(diǎn)整。如此此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是( )。 A．9點(diǎn)15分 B 9點(diǎn)30分 c．9點(diǎn)35分 D 9點(diǎn)45分 解析：這是2個(gè)不準(zhǔn)確的時(shí)鐘問題，也是這種問題的一個(gè)延伸。 我們可以看到，在一個(gè)小時(shí)內(nèi)，快鐘與慢鐘有4分鐘的差距，而4分鐘里面，1分鐘時(shí)快走造成的，3分鐘時(shí)慢走造成的。所以當(dāng)它們〔快慢鐘〕的差距有60分鐘時(shí)，那么一樣，1/4的時(shí)間=15分鐘時(shí)快走造成的

26、，3/4的時(shí)間〔45分鐘〕時(shí)慢走造成的。所以標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為9點(diǎn)45分，答案為D。 總結(jié)：其實(shí)這種類型題是較為簡(jiǎn)單的，關(guān)鍵把握一點(diǎn)，就是不準(zhǔn)確的時(shí)鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的比例關(guān)系，也就是常說的一小時(shí)慢〔快〕多少，然后再推廣到幾個(gè)小時(shí)后，而這種比例是不變的。 延伸：通過第二道例題，大家可以多少感覺到，有點(diǎn)像路程問題，其實(shí)這正是解決時(shí)鐘問題中較困難問題的一個(gè)核心思想。下面，我們繼續(xù)往下看，來看看時(shí)鐘問題中較為困難的類型。 求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。 例：中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)，時(shí)針與分針重合多少次？ 一個(gè)鐘表一圈有60個(gè)小格，這

27、里計(jì)算就以小格為單位。1小時(shí)時(shí)間，分針走60個(gè)小格，時(shí)針只走了5個(gè)小格，所以每小時(shí)分針比時(shí)針多走55個(gè)小格。 解析：就此題而言，可以看作是跑道同向相遇問題： 時(shí)針: v1=5格/小時(shí) 分針：v2=60格/小時(shí) n*60=〔v2-v1〕*12 即：重合一次，多走60個(gè)格，假設(shè)重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小時(shí)多走〔60-5〕個(gè)格，總共走了12小時(shí)，所以多走了〔60-5〕*12個(gè)格。解出：n=11 例：從6時(shí)整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？ 解析：6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?/p>

28、0，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/55=6/11小時(shí)=360/11分鐘。 例：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，多少分鐘后時(shí)針與分針第一次重合？ 解析：9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要分針與時(shí)針重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/55小時(shí)=540/11分鐘。 總結(jié)：這類題型其本質(zhì)就是追擊問題。我們知道在追擊問題中，關(guān)鍵是要知道路程差，速度差。而在時(shí)針與分針重合問題中，路程差就是時(shí)針分針之間有多少個(gè)小格，速度差就是一小時(shí)差55格〔前面已經(jīng)分析過〕。所以本著這兩點(diǎn)，這類問題可以迎刃而解。

29、 大家可以看看下面這兩個(gè)問題：供大家思考，也是對(duì)這類問題的延伸。 例：爺爺家的老式鐘的時(shí)針與分針每隔66分鐘重合一次,這只鐘每晝夜慢多少分鐘? 解析：正常的鐘每隔(12/11)小時(shí)=(720/11)分鐘重合一次， 爺爺家的老式鐘是726/11分鐘重合一次，慢了6/11分鐘。 每小時(shí)這個(gè)鐘就會(huì)慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分鐘。 一晝夜共慢了1/2*24=12分鐘。 時(shí)針分針討論了不少，我們稍微換一換，看看分針和秒針的問題。 例：1個(gè)小時(shí)內(nèi)分針和秒針共重疊〔 〕次。 A.60 B.59 C.61 D.55 這個(gè)題目很多人認(rèn)為是61次，我們

30、來討論一下： 首先，從一個(gè)理想狀態(tài)來研究，因?yàn)槔硐霠顟B(tài)也是其中的符合條件的情況，比如正點(diǎn)時(shí)刻 分針和秒針都是在12上 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60 我們來仔細(xì)分析 當(dāng)0分鐘時(shí)刻，分針秒針都是在一起，算1次重疊。但是在0～1之間卻是沒有重合的，因?yàn)楫?dāng)秒針從12轉(zhuǎn)一圈之后回到12，此時(shí)的分針已經(jīng)偏離12，1格子的角度了。從1～2分鐘時(shí)刻開始，秒針和分針就開始在其每分鐘的間隙之間重疊了。當(dāng)?shù)搅?9～60分鐘之間，最后是分針和秒針同時(shí)到達(dá)12上，形成了最后一次重復(fù)。在59～60間隙里面也是沒有重合的。 這樣我們就可以把開始0位置上的重合

31、看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之間的重合，整個(gè)過程就發(fā)現(xiàn)就是60次。 其次：如果不是理想狀態(tài)。這個(gè)題目就出現(xiàn)了2個(gè)結(jié)果。就是看間隔。59個(gè)間隔至少有59次相遇。第一次的間隔沒有。 這里有一個(gè)問題，很多人認(rèn)為 當(dāng)出現(xiàn)整點(diǎn)到整點(diǎn)時(shí)刻是不是不包含兩端的端點(diǎn)時(shí)刻。如果題目沒有交代的情況下是包涵的，跟植樹問題是樣的。如果交代了，自然按照題目交代的情況來做。 時(shí)鐘問題經(jīng)典例題詳解 例：現(xiàn)在是2 點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？ 析：2 點(diǎn)時(shí)候，時(shí)針處在第10 格位置，分針處于第0 格，相差10 格，如此需經(jīng)過10 / 11/12 分鐘的時(shí)間。 例：中午12 點(diǎn)，時(shí)針

32、與分針完全重合，那么到下次12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？ 析：時(shí)針與分針重合后再追隨上，只可能分針追與了60 格，如此分針追趕時(shí)針一次，耗時(shí)60 /11/12 ＝720/11 分鐘，而12 小時(shí)能追隨與12*60 分鐘/ 720/11 分鐘/次=11 次，第11 次時(shí)， 時(shí)針與分針又完全重合在12 點(diǎn)。如果不算中午12 點(diǎn)第一次重合的次數(shù)，應(yīng)為11 次。如果題目是到下次12 點(diǎn)之前，重合幾次，應(yīng)為11-1 次，因?yàn)椴凰阕詈笠淮沃睾系拇螖?shù)。 2. 分針與秒針秒針每秒鐘走一格，分針每60 秒鐘走一格，如此分針每秒鐘走1/60 格，每秒鐘秒針比分針多走59/60 格 3. 例：中午12

33、點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1 點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？ 析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了60 格，如此秒針 追分針一次耗時(shí)，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 點(diǎn)時(shí)，總共有時(shí)間3600 秒，如此能追趕，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次時(shí)，共追趕了，59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分針走了60 格，即經(jīng)過1 小時(shí)后，兩針又重合在12 點(diǎn)。如此重合了59 次。 秒針每秒走一格，時(shí)針3600 秒走5格，如此時(shí)針每秒走1/720 格，每秒鐘秒針比時(shí)針多走719/720格。 例：中午

34、12 點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合了多少次? 析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針60 格，每秒鐘追719/720 格，如此要一次要追60 /719/720=43200/719 秒。而12 個(gè)小時(shí)有12*3600 秒時(shí)間，如此可以追12*3600/43200/719＝710次。此時(shí)重合在12 點(diǎn)位置上，即重合了719 次。 例：在時(shí)鐘盤面上，1 點(diǎn)45 分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？ 析：一點(diǎn)時(shí)，時(shí)針分針差5 格，到45 分時(shí)，分針比時(shí)針多走了11/12*45＝41.25 格，如此分針 此時(shí)在時(shí)針的右邊36.25 格，一格是360/60＝6 度

35、，如此成夾角是,36.25*6=217.5 度。 例：3 點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“3〞的距離相等，并且在“3〞的兩邊？ 析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時(shí)針以每分1/12 速度的速度，分針以每分1 格的速度相向而行，當(dāng) 時(shí)針和分針離3 距離相等，兩針相遇，行程15 格，如此耗時(shí)15 / 1+ 1/12 =180/13 分。 例：小明做作業(yè)的時(shí)間不足1 時(shí)，他發(fā)現(xiàn)完畢時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時(shí)間？ 析：只可能是這個(gè)圖形的情形，如此分針走了大弧B-A，時(shí)針走了小弧A-B，即這段時(shí)間時(shí)針和分針共走了60 格，而時(shí)針每分鐘1/12 格，分

36、針1 格，如此總共走了60/ (1/12+1)=720/13 分鐘，即花了720/13 分鐘。 鐘表上的追與問題加強(qiáng)內(nèi)容 一. 格數(shù)法：鐘外表的外周長被分為60個(gè)“分格〞，時(shí)針1小時(shí)走5個(gè)分格，所以時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)分格，分針一分鐘轉(zhuǎn)1個(gè)分格。因此可以利用時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格〞數(shù)來解決這個(gè)問題。 解析〔1〕設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針重合，如此分針走x個(gè)分格，時(shí)針走個(gè)分格。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15分格處，所以當(dāng)分針與時(shí)針在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間重合時(shí)，分針比時(shí)針多走15個(gè)分格，于是得方程，解得。 所以3點(diǎn)16分時(shí)，時(shí)針與分針重合。 〔2〕設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻

37、，時(shí)針在分針前15分格處，而在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成一平角時(shí)，分針在時(shí)針前30分格處，此時(shí)分針比時(shí)針多走了45分格，于是得方程，解得。 所以3點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。 〔3〕設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。此時(shí)分針在時(shí)針前15分格處，所以在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成直角時(shí)，分針比時(shí)針多走了30分格，于是得方程，解得。 所以3點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。 二. 度數(shù)法 對(duì)鐘表而言，時(shí)針12小時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈，分針1小時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈，轉(zhuǎn)過的角度都是360°°，分針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°。故也可以利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)來解決這道題。 °，分針旋轉(zhuǎn)的角度是6x°。整3點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的

38、夾角是90°，當(dāng)兩針重合時(shí)，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了90°，于是得方程，解得。 〔2〕設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了90°+180°=270°，于是得方程，解得。 〔3〕設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了，于是得方程，解得。 練一練 1. 鐘表上9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針重合？ 2. 鐘表上5點(diǎn)到6點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針互相垂直？ 3. 鐘表上3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成40°的角？ 4. 鐘表上2點(diǎn)到3點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成一直線？ 〔參考答案：1. 9點(diǎn)49分；2. 5點(diǎn)43或5點(diǎn)10分； 3. 3點(diǎn)9分或3點(diǎn)2

39、3分；4. 2點(diǎn)43分?！? 網(wǎng)絡(luò)上的經(jīng)典問題 【鐘表指針重疊問題】 中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？ 〔2006國家考題〕 A、10 B、11 C、12 D、13 答案B 2、中午12點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？ A、60 B、59 C、61 D、62 答案B 講講第2題，如果第2題弄懂了第1題也就懂了！ 給大家介紹我認(rèn)為網(wǎng)友比擬經(jīng)典的解法： 考友1.其實(shí)這個(gè)題目就是追擊問題，我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個(gè)單位，這時(shí)秒針的速度就是是分針?biāo)俣鹊?0倍，秒針和分針一起從12點(diǎn) 的刻度開始走，多久分針

40、追上時(shí)針呢？我們列個(gè)方程就可以了，設(shè)分針的速度為1格/秒，那么秒針的速度就是60格/秒，設(shè)追上的時(shí)候路程是S， 時(shí)間是t，方程為(1+60)t＝S 即61t＝S，中午12點(diǎn)到下午1點(diǎn)，秒針一共走了3600格，即S的X圍是0

41、說分針走了720格T(max)=720/61.8，取整數(shù)就是11。 1、鐘表指針重疊問題 中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？ A、10 B、11 C、12 D、13 考友2.這道題我是這么解,大家比擬一下: 解:可以看做追與問題,時(shí)針的速度是:1/12格/分 分針的速度是:1格/分. 追上一次的時(shí)間=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分 從12點(diǎn)到12點(diǎn)的總時(shí)間是720 分鐘,所以重合次數(shù)n=總時(shí)間/追上一次的時(shí)間=720/720/11 次 【關(guān)于成角度的問題，給力的公式與變式】設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X ， Y分時(shí)，

42、分針追時(shí)針5.5，設(shè)夾角為A.〔請(qǐng)大家掌握〕 鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時(shí)針走0.5度，能追5.5度。 1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示絕對(duì)值的意義〔求角度公式〕 變式與應(yīng)用 2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A 〔角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)的公式。 30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔〔X+12)-Y/5]＋Y/60}=A 說明變式3.實(shí)質(zhì)上完全等同變式2. 例題3〔2000年國家考題〕 某時(shí)刻鐘表時(shí)間在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)刻正好方向相反且在一條直線上，如此從時(shí)刻為〔〕 思路1.設(shè)時(shí)刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出 30×10－5.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,此題最接近A.(說明此國考題不夠嚴(yán)謹(jǐn)！〕 思路2.根據(jù)鐘表的特點(diǎn)：首先看時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上〞分針必在4點(diǎn)到5點(diǎn)之間〔相對(duì)時(shí)針而言〕，那么在6分鐘以前分針必在3點(diǎn)附近〔相對(duì)時(shí)針而言〕，運(yùn)用排除法選A 11 / 11