奧數(shù)專題 時鐘問題
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1、word 奧數(shù)專題 時鐘問題 第一局部 根底知識點局部 【開門見山 這一段話多半錄自百度百科】 時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追與或相遇問題,不過這里的兩個“人〞分別是時鐘的分針和時針。不同在于時鐘問題有別于其他行程問題是:它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時,而是2個指針“每分鐘走多少角度〞或者“每分鐘走多少小格〞。對于正常的時鐘: 1.整個鐘面為360度,上面有12個大格,每個大格為30度;60個小格,每個小格為6度。 分針速度:每分鐘走1小格,每分鐘走6度; 速度差:每分鐘6-0.5=5.5度;每分鐘1-1/12=11/12小格
2、 2.需要注意的是在許多時鐘問題中,往往遇到各種“怪鐘〞、“壞了的鐘〞,它們的時針和分針每分鐘走的度數(shù)會與常規(guī)的時鐘不同,但是在題目中總會給出標準時鐘與特殊鐘表的比例關系,在獨立分析的根底上必須要學會十字交叉法。當你做過一個題目后,這個十字交叉法其實沒有啥精妙之處,與濃度問題中的十字交叉類似,實際就是個一元一次方程變種格式而已。 【溫故知新】追擊問題的三個特點:同時出發(fā);同向而行;同時停止。追擊問題的重要公式:路程差除以時間差=追擊時間。常用的等量關系:快者路程-慢者路程=距離;在實際題目中,路程差相對變化多一些,主要的類型有:重合問題〔路程〕 例如:時鐘問題需要記住標準的鐘,時針與分針
3、從一次重合到下一次重合,所需時間為65又11分之5 分。 認識鐘面: 時鐘問題解法與算法公式:時鐘問題的關鍵點: 時針每小時走30度; 分針每分鐘走6度 分針走一分鐘〔轉6度〕時,時針走0.5度,分針與時針的速度差為5.5度。 *************************************************************************** 第二局部 以知促行 【例題1】從12時到13時,鐘的時針與分針可成直角的機會有: A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【解析】 時針與分針成直角,即時針與分針的角度
4、差為90度或者為270度,理論上講應為2次,還要驗證: 根據(jù)角度差/速度差 =分鐘數(shù),可得 90/5.5= 16又4/11<60,表示經過16又4/11分鐘,時針與分針第一次垂直;同理,270/5.5 = 49又1/11<60,表示經過49又1/11分鐘,時針與分針第二次垂直。經驗證,選B可以。 【例題2】在某時刻,某鐘表時針在10點到11點之間,此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上,如此此時刻為----。 【解法1】 時針10—11點之間的刻度應和分針20—25分鐘的刻度相對,所以要想時針與分針成一條直線,如此分針必在這一X圍,而選項中
5、加上6分鐘后在這一X圍的只有10點15分,所以 【解法2】常規(guī)方法 設此時刻為X分鐘。如此6分鐘后分針轉的角度為6〔X+6〕度,如此此時刻3分鐘前的時針轉的角度為0.5〔X+3〕度,以0點為起始來算此時時針的角度為0.5〔X—3〕+10×30度。所謂“時針與分針成一條直線〞即0.5〔X—3〕+10×30—6〔X+6〕=180度,解得X=15分鐘。 著名數(shù)學難題:時鐘的時針和分針〔了解〕 由時鐘的時針與分針的特殊關系,產生了許多有趣的數(shù)學問題,介紹幾例,研究解法。 例1 在鐘表正常走動的時候,有多少個時針和分針重合的位置?它們分別表示什么時刻? 解:鐘表上把一個圓分成了
6、60等分,假設時針從12點開始走過了x個刻度,那么分針就要走過12x個刻度,即分針走了12x分鐘。兩針在12點重合后,當分針比時針多走60個刻度時,出現(xiàn)第一次分針和時針重合;當分針又比時針多走60個刻度時,出現(xiàn)第二次分針和時針重合;……直至回到12點兩針又重合后,又開始重復出現(xiàn)以上情況。用數(shù)學式子來表示,即為: 12x-x=60m,其中m=1,2,…. 度為1小時,對分針來說1個刻度就是1分鐘。所以,12點以后出現(xiàn)第四、五、六、七、八、九、十次重合的時間不難算出它們 : 如果用m=11代入,解得x=60,出現(xiàn)第十一次重合的時間是12點,這樣就回到了開始的時刻,可見,以上共有11次出現(xiàn)兩
7、針重合的時間。 1、二點到三點鐘之間,分針與時針什么時候重合? 分析:兩點鐘的時候,分針指向12,時針指向2,分針在時針后5×2=10〔小格〕。而分針每分鐘可追與1-=〔小格〕,要兩針重合,分針必須追上10小格,這樣所需要時間應為〔10÷〕分鐘。 解: 〔5×2〕÷〔1-〕=10÷=10〔分〕 答:2點10分時,兩針重合。 2、在4點鐘至5點鐘之間,分針和時針在什么時候在同一條直線上? 分析:分針與時針成一條直線時,兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候,分針指向12,時針指向4,分針在時針后5×4=20〔小格〕。因分針比時針速度快,要成直線,分針必須追上時針〔20小格〕并超過時針〔
8、30小格〕后,才能成一條直線。因此,需追與〔20+30〕小格。 解: 〔5×4+30〕÷〔1-〕=50÷=54〔分〕 答:在4點54分時,分針和時針在同一條直線上。 3、在一點到二點之間,分針什么時候與時針構成直角? 分析:分針與時針成直角,相差15小格〔或在前或在后〕,一點時分針在時針后5×1=5小格,在成直角,分針必須追與并超過時針,才能構成直角。所以分針需追與〔5×1+15〕小格或追與〔5×1+45〕小格。 解: 〔5×1+15〕÷〔1-〕=20÷=21〔分〕 或〔5×1+45〕÷〔1-〕=50÷=54〔分〕 答:在1點21分和1點54分時,兩針都成直角。 4、星期天,小
9、明在室內陽光下看書,看書之前,小明看了一眼掛鐘,發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上??赐陼螅傻煤?,時針與分針又恰好在同一條直線上??磿陂g,小明聽到掛鐘一共敲過三下?!裁空c,是幾點敲幾下;半點敲一下〕請你算一算小明從幾點開始看書?看到幾點完畢的? 分析:連半點敲聲在內,一共敲了三下,說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針: 第一次成一條直線時刻是:〔0+30〕÷〔1-〕=30÷=32〔分〕即12點32分。 第二次成一條直線時刻是:〔5×1+30〕÷〔1-〕=35÷=38〔分〕即 1點38分。 第三次成一條直線的時刻是:〔5×2+30〕÷〔1- 〕=40÷=43
10、〔分〕即 2點43分。 如果從12點32分開始,到1點38分,只敲2下,到2點43分,就共敲5下〔不合題意〕 如果從1點38分開始到2點43分,共敲3下。因此,小明應從1點38分開始看書,到2點43分時完畢的。 5、此掛鐘走到5點30分,按標準時間還要走27分,因它的速度是標準時鐘速度的,實際走完這27分所要時間應是27÷。 解: 5×〔17-12〕 =27 〔分〕 27÷=30〔分〕 答:再經過30分鐘,該掛鐘才能走到5點30分。 解題關鍵:時鐘問題屬于行程問題中的追與問題。鐘面上按“時〞分為12大格,按“分〞分為60小格。每小時,時針走1大格合5小格,分針走12大格合60小格,
11、時針的轉速是分針的,兩針速度差是分針的速度的,分針每小時可追與。 【其他例題】 例1:從5時整開始,經過多長時間后,時針與分針第一次成了直線? 5時整時,分針指向正上方,時針指向右下方,此時兩者之間間隔為25個小格(外表上每個數(shù)字之間為5個小格),如果要成直線,如此分針要超過時針30個小格,所以在此時間段內,分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知,此段時間為55/(11/12)=60分鐘,也就是經過60分鐘時針與分針第一次成了直線。 例2:從6時整開始,經過多少分鐘后,時針與分針第一次重合? 6時整時,分針指向正上方,時針指向正下方,兩者
12、之間間隔為30個小格。如果要第一次重合,也就是兩者之間間隔變?yōu)?,那么分針要比時針多走30個小格,此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。 例3:在8時多少分,時針與分針垂直? 8時整時,分針指向正上方,時針指向左下方,兩者之間間隔為40個小格。如果要兩者垂直,有兩種情況,一個是第一次垂直,此時兩者間隔為15個小格(分針落后時針),也就是分針比時針多走了25個小格,此段時間為25/(11/12)=300/11分鐘;另一次是第二次垂直,此時兩者間隔仍為15個小格(但分針超過時針),也就是分針比時針多走了55個小格,此段時間為55/(11/12)=60分鐘,時間變?yōu)?時,超過了題
13、意的8時多少分要求,所以在8時300/11分時,分針與時針垂直。 由上面三個例題可以看出,求解此類問題(經過多少時間,分針與時間成多少夾角)時,采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的,解題過程形象易懂,結果正確率高,是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格,而不論兩者分別走了多少個小格。 下面再通過幾個例題來介紹這種方法的用法和要點。 關于時鐘的問題有:求某一時刻時針與分針的夾角,兩針重合,兩針垂直,兩針成直線等類型。要解答時鐘問題就要了解、熟悉時針和分針的運動規(guī)律和特點。 一個鐘表一圈有60個小格,這里計算就以小格為單位。1分鐘時間,分針走
14、1個小格,時針指走了1/60*5=1/12個小格,所以每分鐘分針比時針多走11/12個小格,以此作為后續(xù)計算的根底,對于解決類似經過多長時間時針、分針垂直或成直線的問題非常方便、快捷。 例4:從9點整開始,經過多少分,在幾點鐘,時針與分針第一次成直線? 9時整時,分針指向正上方,時針指向正右方,兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線,也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個小格,那么分針要比時針多走15個小格,此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘。 例5:一個指在九點鐘的時鐘,分針追上時針需要多少分鐘? 9時整時,分針指向正上方,時針指向正右方,兩者之間間隔為
15、45個小格。如果要分針追上時針,也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格,那么分針要比時針多走45個小格,此段時間為45/(11/12)=540/11分鐘。 例6:時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合,那么經過多少分鐘可以成一條直線? 時針和分針重合,也就是兩者間隔為0個小格,如果要成一條直線,也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格,那么分針要比時針多走30個小格,此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。 1.設時鐘一圈分成了12格,如此時針每小時轉1格,分針每小時轉12格。 2.時針一晝夜〔24小時〕轉2圈,分針一晝夜轉24圈。 °,時針與分針成某個角度一般都有對稱的兩種情況。 4
16、.時針與分針一晝夜重合22次,垂直44次,成180°也是22次。 【例1】清晨5點時,時鐘的時針和分針的夾角是多少度?〔〕 A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度[答案]D [解析]清晨5點時,時針和分針相差5格,如此5×30°=150°。 【例2】中午12點整時,鐘面上時針與分針完全重合。那么到當晚12點時,時針與分針還要重合了多少次?〔〕A. 10 B. 11 C. 12 D. 13[答案]B [解一]從中午12點到晚上12點,時針走了1圈,分針走了12圈,比時針多走了11圈。因此,時針與分針重合了11次。選擇B。 [解二]根據(jù)根本知識點:由于時針和分針2
17、4小時內重合22次,所以12小時內重合11次。 【例3】小李開了一個多小時會議,會議開始時看了手表,會議完畢時又看了手表,發(fā)現(xiàn)時針和分針恰好互換了位置。問這次會議大約開了1小時多少分?〔〕 #中國公務員考試信息網(wǎng) A. 51 B. 47C. 45 D. 43[答案]A [解析]根據(jù)題意,會議開了1個多小時,那么分針應該轉了1圈多不到2圈,時針轉了1格多不到2格。由于“時針和分針恰好互換了位置〞,所以時針和分針所轉角度之和應該是整整兩圈。假設這個過程經過了T小時,時針12小時轉一圈,那么T小時應該轉了T/12圈;分針1小時轉一圈,T小時應該轉了T圈,那么T+T/12=2,得到T=24/13小
18、時,約合1小時51分。 【例4】某時刻鐘表時針在10點到11點之間,此時刻再過6分鐘后分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上,如此此時刻為幾點幾分?〔〕 A. 10點15分 B. 10點19分 C. 10點20分 D. 10點25分[答案]A [解析]代入B、C、D,很明顯,這三個時刻的3分鐘之前都還是10點多,因此時針在鐘面上的“10〞與“11〞之間,而這三個時刻6分鐘之后已經至少是25分了,即分針已經在鐘面上的“5〞上或者之后了。我們知道,鐘面上的“10〞與“11〞之間反過來對應的是“4〞與“5〞之間,所以這三個選項對應的時間與條件不符,所以選擇A。 核心提示
19、鐘面問題很多本質上是追與問題,可選用公式T=T0+111T0,其中:T為追與時間,即分針和時針要“達到條件要求〞的真實時間。T0為靜態(tài)時間,即假設時針不動,分針和時針“達到條件要求〞的時間。 例5 從鐘表的12點整開始,時針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時間是〔〕。 A. 43分鐘B. 45分鐘C. 49分鐘D. 61分鐘 [答案]C [解析]從12點整往后,時針與分針第一次垂直到再一次重疊的靜態(tài)時間T0=45〔分鐘〕,根據(jù)公式,其間隔時間T=T0+T0/11≈49〔分鐘〕。 【例6】〔國家2006一類-45、國家2006二類-45〕從12時到13時,鐘的時針與分針可成直
20、角的機會有多少次?〔〕A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次[答案]B [解一]從12時到13時,時針旋轉了30°;分針旋轉了360°。分針與時針所成的角度從0°變化到330°〔其中包括90°和270°〕,因此有2次成直角的機會。選擇B。 [解二]根據(jù)公式:從12點開始算,時針與分針成直角的“靜態(tài)時間〞為15分鐘或45分鐘,追與時間為15+1511=16411、45+4511=49111分鐘,所以垂直兩次。 【例7】〔某某2008年〕時針與分針在5點多少分第一次垂直?〔〕 A. 5點10分 B. 5點101011分 C. 5點11分 D. 5點12分[答案]B [解
21、析]根據(jù)公式:時針與分針5點后第一次成直角的“靜態(tài)時間〞為10分鐘,追與時間為10+1011=101011分鐘,所以選擇B。 強華公務員 【例8】時針與分針兩次垂直的間隔有多長時間?〔〕 A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分[答案]B [解一]根據(jù)公式:時針與分針兩次垂直間隔的“靜態(tài)時間〞為30分鐘,代入公式算得追與時間為 30+3011=32811分鐘,所以選擇B。 [解二]根據(jù)根本知識點:時針與分針24小時內垂直44次,所以垂直間隔為:24×6044=32811分鐘。 核心提示當時鐘問題涉與“壞表〞時,其本質是“比例問題〞。解題的關鍵是抓住“標準比〞,
22、按比例計算。 【例9】〔國家2005二類-46〕有一只鐘,每小時慢3分鐘,早晨4點30分的時候,把鐘對準了標準時間,如此鐘走到當天上午10點50分的時候,標準時間是多少?〔〕 A. 11點整 B. 11點5分 C. 11點10分 D. 11點15分[答案]C [解析]標準比:標準時間走60分鐘時,慢鐘走57分鐘。此時,慢鐘從4點30分走到10點50分,一共走了6小時20分,合380分鐘,假設標準時間走了x分鐘,那么:x∶380=60∶57,可得:x=400〔分鐘〕。說明標準時間比慢鐘快400-380=20分鐘,慢鐘走到了10點50分,實際上應該是11點10分了。 【例10】〔國家
23、2005一類-46〕一個快鐘每小時比標準時間快1分鐘,一個慢鐘每小時比標準時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調到標準時間,結果在24小時內,快鐘顯示10點整時,慢鐘恰好顯示9點整。如此此時的標準時間是多少?〔〕 A. 9點15分 B. 9點30分 C. 9點35分 D. 9點45分[答案]D [解析]快鐘、慢鐘與標準時間的差的標準比為1∶3。假設現(xiàn)在是9點x分〔快鐘顯示10點整,慢鐘顯示9點整〕,那么〔60-x〕∶〔x-0〕=1∶3,解得:x=45。所以標準時間是9點45分。 時鐘是我們日常生活中不可缺少的計時工具,生活中也時常會遇到與時鐘相關的問題。 關于時鐘的問題有:
24、 求時間差: 例:從上午五點十五分到下午兩點四十五分之間,共有多少時間? A.8小時 B.8小時30分 C.9小時30分 D.9小時50分 解析:這種屬于最簡單的時鐘問題。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢〔快〕表在幾小時后顯示什么時間? 例:有一只鐘,每小時慢3分鐘,早晨4點30分的時候,把鐘對準了標準時間,如此鐘走到當天上午10點50分的時候,標準時間是( )。 A.11點整 B.11點5分 c.1l點1O分 D.11點15分 解析:慢表顯示經過的時間是:10:50-4:30=6小時20分鐘=380分鐘,實際經過的時間應該是:380÷[〔60-3〕
25、/60]=400分鐘=6小時40分鐘,答案為C:4:30+6:40=11:10。 例:一個快鐘每小時比標準時間快1分鐘,一個慢鐘每小時比標準時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調到標準時間,結果在24小時內,快鐘顯示10點整時,慢鐘恰好顯示9點整。如此此時的標準時間是( )。 A.9點15分 B 9點30分 c.9點35分 D 9點45分 解析:這是2個不準確的時鐘問題,也是這種問題的一個延伸。 我們可以看到,在一個小時內,快鐘與慢鐘有4分鐘的差距,而4分鐘里面,1分鐘時快走造成的,3分鐘時慢走造成的。所以當它們〔快慢鐘〕的差距有60分鐘時,那么一樣,1/4的時間=15分鐘時快走造成的
26、,3/4的時間〔45分鐘〕時慢走造成的。所以標準時間為9點45分,答案為D。 總結:其實這種類型題是較為簡單的,關鍵把握一點,就是不準確的時鐘與標準時間的比例關系,也就是常說的一小時慢〔快〕多少,然后再推廣到幾個小時后,而這種比例是不變的。 延伸:通過第二道例題,大家可以多少感覺到,有點像路程問題,其實這正是解決時鐘問題中較困難問題的一個核心思想。下面,我們繼續(xù)往下看,來看看時鐘問題中較為困難的類型。 求某一時刻時針與分針的夾角,兩針重合,兩針垂直,兩針成直線等類型。 例:中午12點,時針與分針完全重合,那么到下次12點,時針與分針重合多少次? 一個鐘表一圈有60個小格,這
27、里計算就以小格為單位。1小時時間,分針走60個小格,時針只走了5個小格,所以每小時分針比時針多走55個小格。 解析:就此題而言,可以看作是跑道同向相遇問題: 時針: v1=5格/小時 分針:v2=60格/小時 n*60=〔v2-v1〕*12 即:重合一次,多走60個格,假設重合了N次,所以多走了n*60;再有,一小時多走〔60-5〕個格,總共走了12小時,所以多走了〔60-5〕*12個格。解出:n=11 例:從6時整開始,經過多少分鐘后,時針與分針第一次重合? 解析:6時整時,分針指向正上方,時針指向正下方,兩者之間間隔為30個小格。如果要第一次重合,也就是兩者之間間隔變?yōu)?/p>
28、0,那么分針要比時針多走30個小格,此段時間為30/55=6/11小時=360/11分鐘。 例:一個指在九點鐘的時鐘,多少分鐘后時針與分針第一次重合? 解析:9時整時,分針指向正上方,時針指向正右方,兩者之間間隔為45個小格。如果要分針與時針重合,也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格,那么分針要比時針多走45個小格,此段時間為45/55小時=540/11分鐘。 總結:這類題型其本質就是追擊問題。我們知道在追擊問題中,關鍵是要知道路程差,速度差。而在時針與分針重合問題中,路程差就是時針分針之間有多少個小格,速度差就是一小時差55格〔前面已經分析過〕。所以本著這兩點,這類問題可以迎刃而解。
29、 大家可以看看下面這兩個問題:供大家思考,也是對這類問題的延伸。 例:爺爺家的老式鐘的時針與分針每隔66分鐘重合一次,這只鐘每晝夜慢多少分鐘? 解析:正常的鐘每隔(12/11)小時=(720/11)分鐘重合一次, 爺爺家的老式鐘是726/11分鐘重合一次,慢了6/11分鐘。 每小時這個鐘就會慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分鐘。 一晝夜共慢了1/2*24=12分鐘。 時針分針討論了不少,我們稍微換一換,看看分針和秒針的問題。 例:1個小時內分針和秒針共重疊〔 〕次。 A.60 B.59 C.61 D.55 這個題目很多人認為是61次,我們
30、來討論一下: 首先,從一個理想狀態(tài)來研究,因為理想狀態(tài)也是其中的符合條件的情況,比如正點時刻 分針和秒針都是在12上 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,。。。。。。。58,59,60 我們來仔細分析 當0分鐘時刻,分針秒針都是在一起,算1次重疊。但是在0~1之間卻是沒有重合的,因為當秒針從12轉一圈之后回到12,此時的分針已經偏離12,1格子的角度了。從1~2分鐘時刻開始,秒針和分針就開始在其每分鐘的間隙之間重疊了。當?shù)搅?9~60分鐘之間,最后是分針和秒針同時到達12上,形成了最后一次重復。在59~60間隙里面也是沒有重合的。 這樣我們就可以把開始0位置上的重合
31、看作是0~1上的重合,60上的重合看作是59~60之間的重合,整個過程就發(fā)現(xiàn)就是60次。 其次:如果不是理想狀態(tài)。這個題目就出現(xiàn)了2個結果。就是看間隔。59個間隔至少有59次相遇。第一次的間隔沒有。 這里有一個問題,很多人認為 當出現(xiàn)整點到整點時刻是不是不包含兩端的端點時刻。如果題目沒有交代的情況下是包涵的,跟植樹問題是樣的。如果交代了,自然按照題目交代的情況來做。 時鐘問題經典例題詳解 例:現(xiàn)在是2 點,什么時候時針與分針第一次重合? 析:2 點時候,時針處在第10 格位置,分針處于第0 格,相差10 格,如此需經過10 / 11/12 分鐘的時間。 例:中午12 點,時針
32、與分針完全重合,那么到下次12 點時,時針與分針重合多少次? 析:時針與分針重合后再追隨上,只可能分針追與了60 格,如此分針追趕時針一次,耗時60 /11/12 =720/11 分鐘,而12 小時能追隨與12*60 分鐘/ 720/11 分鐘/次=11 次,第11 次時, 時針與分針又完全重合在12 點。如果不算中午12 點第一次重合的次數(shù),應為11 次。如果題目是到下次12 點之前,重合幾次,應為11-1 次,因為不算最后一次重合的次數(shù)。 2. 分針與秒針秒針每秒鐘走一格,分針每60 秒鐘走一格,如此分針每秒鐘走1/60 格,每秒鐘秒針比分針多走59/60 格 3. 例:中午12
33、點,秒針與分針完全重合,那么到下午1 點時,兩針重合多少次? 析:秒針與分針重合,秒針走比分針快,重合后再追上,只可能秒針追趕了60 格,如此秒針 追分針一次耗時,60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 點時,總共有時間3600 秒,如此能追趕,3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次時,共追趕了,59 次*3600/59 秒/次=3600 秒,分針走了60 格,即經過1 小時后,兩針又重合在12 點。如此重合了59 次。 秒針每秒走一格,時針3600 秒走5格,如此時針每秒走1/720 格,每秒鐘秒針比時針多走719/720格。 例:中午
34、12 點,秒針與時針完全重合,那么到下次12 點時,時針與秒針重合了多少次? 析:重合后再追上,只可能是秒針追趕了時針60 格,每秒鐘追719/720 格,如此要一次要追60 /719/720=43200/719 秒。而12 個小時有12*3600 秒時間,如此可以追12*3600/43200/719=710次。此時重合在12 點位置上,即重合了719 次。 例:在時鐘盤面上,1 點45 分時的時針與分針之間的夾角是多少? 析:一點時,時針分針差5 格,到45 分時,分針比時針多走了11/12*45=41.25 格,如此分針 此時在時針的右邊36.25 格,一格是360/60=6 度
35、,如此成夾角是,36.25*6=217.5 度。 例:3 點過多少分時,時針和分針離“3〞的距離相等,并且在“3〞的兩邊? 析:作圖,此題轉化為時針以每分1/12 速度的速度,分針以每分1 格的速度相向而行,當 時針和分針離3 距離相等,兩針相遇,行程15 格,如此耗時15 / 1+ 1/12 =180/13 分。 例:小明做作業(yè)的時間不足1 時,他發(fā)現(xiàn)完畢時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時間? 析:只可能是這個圖形的情形,如此分針走了大弧B-A,時針走了小弧A-B,即這段時間時針和分針共走了60 格,而時針每分鐘1/12 格,分
36、針1 格,如此總共走了60/ (1/12+1)=720/13 分鐘,即花了720/13 分鐘。 鐘表上的追與問題加強內容 一. 格數(shù)法:鐘外表的外周長被分為60個“分格〞,時針1小時走5個分格,所以時針一分鐘轉分格,分針一分鐘轉1個分格。因此可以利用時針與分針旋轉的“分格〞數(shù)來解決這個問題。 解析〔1〕設3點x分時,時針與分針重合,如此分針走x個分格,時針走個分格。因為在3點這一時刻,時針在分針前15分格處,所以當分針與時針在3點與4點之間重合時,分針比時針多走15個分格,于是得方程,解得。 所以3點16分時,時針與分針重合。 〔2〕設3點x分時,時針與分針成平角。因為在3點這一時刻
37、,時針在分針前15分格處,而在3點到4點之間,時針與分針成一平角時,分針在時針前30分格處,此時分針比時針多走了45分格,于是得方程,解得。 所以3點分時,時針與分針成平角。 〔3〕設3點x分時,時針與分針成直角。此時分針在時針前15分格處,所以在3點到4點之間,時針與分針成直角時,分針比時針多走了30分格,于是得方程,解得。 所以3點分時,時針與分針成直角。 二. 度數(shù)法 對鐘表而言,時針12小時旋轉一圈,分針1小時旋轉一圈,轉過的角度都是360°°,分針1分鐘轉過的角度是6°。故也可以利用時針與分針轉過的度數(shù)來解決這道題。 °,分針旋轉的角度是6x°。整3點時,時針與分針的
38、夾角是90°,當兩針重合時,分針比時針多轉了90°,于是得方程,解得。 〔2〕設3點x分時,時針與分針成平角。此時分針比時針多轉了90°+180°=270°,于是得方程,解得。 〔3〕設3點x分時,時針與分針成直角。此時分針比時針多轉了,于是得方程,解得。 練一練 1. 鐘表上9點到10點之間,什么時刻時針與分針重合? 2. 鐘表上5點到6點之間,什么時刻時針與分針互相垂直? 3. 鐘表上3點到4點之間,什么時刻時針與分針成40°的角? 4. 鐘表上2點到3點之間,什么時刻時針與分針成一直線? 〔參考答案:1. 9點49分;2. 5點43或5點10分; 3. 3點9分或3點2
39、3分;4. 2點43分?!? 網(wǎng)絡上的經典問題 【鐘表指針重疊問題】 中午12點,時針與分針完全重合,那么到下次12點時,時針與分針重合多少次? 〔2006國家考題〕 A、10 B、11 C、12 D、13 答案B 2、中午12點,秒針與分針完全重合,那么到下午1點時,兩針重合多少次? A、60 B、59 C、61 D、62 答案B 講講第2題,如果第2題弄懂了第1題也就懂了! 給大家介紹我認為網(wǎng)友比擬經典的解法: 考友1.其實這個題目就是追擊問題,我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個單位,這時秒針的速度就是是分針速度的60倍,秒針和分針一起從12點 的刻度開始走,多久分針
40、追上時針呢?我們列個方程就可以了,設分針的速度為1格/秒,那么秒針的速度就是60格/秒,設追上的時候路程是S,
時間是t,方程為(1+60)t=S 即61t=S,中午12點到下午1點,秒針一共走了3600格,即S的X圍是0
41、說分針走了720格T(max)=720/61.8,取整數(shù)就是11。 1、鐘表指針重疊問題 中午12點,時針與分針完全重合,那么到下次12點時,時針與分針重合多少次? A、10 B、11 C、12 D、13 考友2.這道題我是這么解,大家比擬一下: 解:可以看做追與問題,時針的速度是:1/12格/分 分針的速度是:1格/分. 追上一次的時間=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分 從12點到12點的總時間是720 分鐘,所以重合次數(shù)n=總時間/追上一次的時間=720/720/11 次 【關于成角度的問題,給力的公式與變式】設X時時,夾角為30X , Y分時,
42、分針追時針5.5,設夾角為A.〔請大家掌握〕 鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度,每過一分鐘分針走6度,時針走0.5度,能追5.5度。 1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】 【】表示絕對值的意義〔求角度公式〕 變式與應用 2.【30X-5.5Y】=A或是360-【30X-5.5Y】=A 〔角度或時針或分針求其中一個的公式。 30×〔(X-Y/5)+Y/60]=A或30×{〔〔X+12)-Y/5]+Y/60}=A 說明變式3.實質上完全等同變式2. 例題3〔2000年國家考題〕 某時刻鐘表時間在10點到11點之間,此時刻再過6分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時刻正好方向相反且在一條直線上,如此從時刻為〔〕 思路1.設時刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出 30×10-5.5Y=180 解出Y=21又9/11分,Y-6=15又9/11分,此題最接近A.(說明此國考題不夠嚴謹!〕 思路2.根據(jù)鐘表的特點:首先看時針在10點到11點之間,那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上〞分針必在4點到5點之間〔相對時針而言〕,那么在6分鐘以前分針必在3點附近〔相對時針而言〕,運用排除法選A 11 / 11
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