福建師范大學21秋《常微分方程》平時作業(yè)一參考答案75

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1、福建師范大學21秋《常微分方程》平時作業(yè)一參考答案 1. 根據(jù)研究對象的不同性質，預測模型可以分為( )。 A．比例關系模型 B．時間關系模型 C．相關關系模型 D．結構 根據(jù)研究對象的不同性質，預測模型可以分為(??)。 ??A．比例關系模型??B．時間關系模型 ??C．相關關系模型??D．結構關系模型 ??E．發(fā)展關系模型 BC 2. 無窮小量是一種很小的量。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案：B 3. 下列集合中為空集的是( ) A.{x|e^x=1} B.{0} C.{(x，y)|x^2+y^2=0} D.{x|x^

2、2+1=0，x∈R} 參考答案：D 4. 函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)是減函數(shù)。( ) A.錯誤 B.正確 參考答案：B 5. 設X是度量空間，f：X→．證明f連續(xù)的充要條件是對每個a∈，集合{x∈X：f(x)≤a}與{x∈X：f(x)≥a}都是閉集． 設X是度量空間，f：X→．證明f連續(xù)的充要條件是對每個a∈，集合{x∈X：f(x)≤a}與{x∈X：f(x)≥a}都是閉集． [證明]方法1 必要性 ?設f連續(xù)，則 ? ?{x∈X：f(x)≥a}=f-1([a，∞))與 ? ?{x∈X：f(x)≤a}=f-1((-∞，a])

3、? ?都是閉集的逆像，從而都是閉集． ? ?充分性 ?設X的度量拓撲為τρ，上的通常拓撲為τ．由題設有 ? ?f-1((-∞，a))=f-1([a，∞)c)=(f-1([a，∞)))c∈τρ ? ?f-1((a，∞))=f-1((-∞，a]c)=(f-1((-∞，a]))c∈τρ ? ?從而對c，d∈，c＜d，f-1((c，d))=f-1((c，∞))∩f-1((-∞，d))∈τρ由于每個V∈τ是若干個形如(-∞，a)，(a，∞)，(c，d)類型的開區(qū)間之并，故對每個V∈τ，有f-1(V)∈τρ．因此f是連續(xù)的． ? ?方法2 令Ga={x：f(x)≤a}，Ha=

4、{x：f(x)≥a}． ? ?必要性 ?設{xn}Ga，xn→x0(n→∞)，則f(xn)≤a．令n→∞，由f連續(xù)得f(x0)≤a，故x0∈Ga．這表明Ga是閉集．同理可知Ha是閉集． ? ?充分性 ?假設f在某點x0∈X不連續(xù)，則ε0＞0，n∈，xn∈X，ρ(xn，x0)＜1/n，但f(xn)-f(x0)|≥ε0．于是 ? ?xn→x0(n→∞)且 ? ?由是閉集得出x0∈，即f(x0)＞≥f(x0)+ε0與f(x0)≤f(x0)-ε0必有一個成立，這是矛盾的．因此f在X上連續(xù)． 6. 給定環(huán)({5x|x∈Z}，+，·)，其中Z是整數(shù)集，+和·是普通的加法和

5、乘法，它______整環(huán)，因為______ 給定環(huán)({5x|x∈Z}，+，·)，其中Z是整數(shù)集，+和·是普通的加法和乘法，它______整環(huán)，因為______ 不是$沒有乘單位元素 7. f(x)=|cosx|+|sinx|的最小正周期是( ) A.π/4 B.π/2 C.π D.2π 參考答案：B 8. 標志變異指標是反映統(tǒng)計數(shù)列中以______為中心總體各單位標志值的______。 標志變異指標是反映統(tǒng)計數(shù)列中以______為中心總體各單位標志值的______。 平均數(shù)$差異大小范圍或差離程度 9. 曲線y=x^2+x-2在點(1.5，

6、1.75)處的切線方程為( ) A.16x-4y-17=0 B.16x+4y-31=0 C.2x-8y+11=0 D.2x+8y-17=0 參考答案：A 10. 計算下列曲線圍成的平面圖形的面積： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0； (3) y＝x2，y＝x，y＝2 計算下列曲線圍成的平面圖形的面積： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0； (3) y＝x2，y＝x，y＝2x； (4)y2＝12(x＋3)，y2＝－1 正確答案：解 (1)另所求平面圖形面積為A如圖6—12所示則\r\n

7、 解(1)另所求平面圖形面積為A,如圖6—12所示,則 11. 設S={a，b}，定義二元運算：*為a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，證明(S，*)是半群． 設S={a，b}，定義二元運算：*為a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，證明(S，*)是半群． 由條件可知滿足封閉性，且滿足結合律． ? ?(a*b)*a=b*a=a， ? ?a*(b*a)=a*a=a； ? ?(b*a)*a=a*a=a， ? ?b*(a*a)=b*a=a； ? ?(a*b)*b=b*b=b， ? ?a*(b*b)=a*b=b； ? ?(b*a)*b=a*b=b， ? ?b

8、*(a*b)=b*b=b； ? ?故是半群． 12. 設函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且在[a，b]區(qū)間積分∫f(x)dx=∫g(x)dx，則( ) A.f(x)在[a，b]上恒等于g(x) B.在[a，b]上至少有一個使f(x)≡g(x)的子區(qū)間 C.在[a，b]上至少有一點x，使f(x)=g(x) D.在[a，b]上不一定存在x，使f(x)=g(x) 參考答案：C 13. 描繪函數(shù)y=e-x2圖形(圖3-1)。 描繪函數(shù)y=e-x2圖形(圖3-1)。 該函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，且函數(shù)為偶函數(shù)，因此，只要作出它在(0，+∞)

9、內的圖形，即可根據(jù)其對稱性得到它的全部圖形。 ? ?求其一、二階導數(shù)，得 ? ?y'=-2xe-x2 ? ? y″=2e-x2(2x2-1)， ? ?令y'=0，得駐點x=0， ? ?令y″=0，得， ? ?當x→∞時y→0，所以y=0為該函數(shù)圖形的水平漸近線。 ? ?討論y'，y″的正負情況，確定函數(shù)y=e-x2的增減區(qū)間和極值、凹凸區(qū)間和拐點，將上述結果歸結為表3-16。 ? ? ? ?根據(jù)以上討論，即可描繪所給函數(shù)的圖形。 ? ? 14. 已知f(x)在點x0處可導，且f&39;(x0)=2，求極限 已知f(x)在點x0處可

10、導，且f'(x0)=2，求極限 原式= 15. 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論： 設在[0，1]上f"(x)＞0，則f&39;(0)，f&39;(1)，f(1)－f(0) 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論： ??設在[0，1]上f"(x)＞0，則f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個數(shù)的大小順序為(??)． ??(A) f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)??(B) f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0) ??(C) f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)??(D) f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)

11、 B 16. 設(ξ，η)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求： 設(ξ，η)的聯(lián)合密度函數(shù)為 ?? ??試求： $因為Cov(ξ，η)≠0，所以ξ與η不獨立． ? ?相關系數(shù)為 17. 定積分是微分的逆運算。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案：B 18. 已知P(A)=P(B)=，則下列結論肯定正確的是( ) A．P(A+B)=1 B． C． D． 已知P(A)=P(B)=，則下列結論肯定正確的是(??) ??A．P(A+B)=1 B．?C．D． D 19. 證明下列方程(組)存在唯一的

12、穩(wěn)定極限環(huán)： 證明下列方程(組)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)： 將方程組轉化為二階方程： ? ? ? ?此為李納方程f(x)=3x2-1，g(x)=x+x5．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且f(0)=-1＜0，xg(x)=x2+x6＞0，同時有唯一正零點x=1，當x≥1時F(x)單調增加，且當x→±∞時F(x)→±∞．方程存在唯一穩(wěn)定極限環(huán)．$f(x)=α(x2n-β)，g(x)=γx2m-1，． 20. 設原問題為 min f=5x1-6x2+7x3+4x4， s．t．x1+2x2-x3-x4=-7， 6x1-3x2+x3-7x4≥14， -28x1-17x

13、2+4x3+2x4≤-3, 設原問題為 ??min?f=5x1-6x2+7x3+4x4， ??s．t．x1+2x2-x3-x4=-7， ??6x1-3x2+x3-7x4≥14， ??-28x1-17x2+4x3+2x4≤-3, x1，x2≥0，x3，x4無符號限制．把不等式約束統(tǒng)一成≥的形式．為清楚起見，列出表格，如表3-4所示． ? ?表3-4 ? ? ?于是可寫出它的對偶規(guī)劃為 ? ?max ?g=-7u1+14u2+3u3， ? ?s.t． u1+6u2+28u3≤5, ? ?2u1-3u2+17u3≤-6， ? ?-u1+u2-4

14、u3=7， ? ?-u1-7u2-2u3=4， ? ?u1無符號限制，u2≥0，u3≥0． 21. 給定三點Ai(xi，yi)，i=1，2，3． 求證按最小二乘擬合這三點的直線過△A1A2A3的重心． 給定三點Ai(xi，yi)，i=1，2，3． 求證按最小二乘擬合這三點的直線過△A1A2A3的重心． 記，，則為△A1A2A3的重心． ? ?設擬合直線為 ? ?y=a+bx， ?(5.7) ? ?則a，b滿足正規(guī)方程組 ? ? ? ?其中s0=3，，，，．考慮第一個方程 ? ? ? ?兩邊同除以3得，即點在直線(5.7)式上

15、．因而按最小二乘擬合三點Ai(i=1，2，3)的直線過△A1A2A3的重心． 22. 兩個無窮小的差也為無窮小。( ) 兩個無窮小的差也為無窮小。( ) 正確答案： √ 23. ( )是函數(shù)f(x)=1/2x的原函數(shù)。 A.F(x)=ln2x B.F(x)=-1/x^2 C.F(x)=ln(2+x) D.F(x)=lnx/2 參考答案：D 24. 已知基金F以利息力函數(shù)(t≥0)累積，基金G以利息力函數(shù)(t≥0)累積．若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t≥0)時 已知基金F以利息力函數(shù)(t≥0)累積，基金G以利息力函數(shù)(

16、t≥0)累積．若分別用aF(t)和aG(t)表示兩個基金在t(t≥0)時刻的累積函數(shù)，并令h(t)=aF(t)-aG(t)，試計算使h(t)達到最大的時刻T． 由題設條件有 ? ? ? ? ? ?根據(jù)h(t)定義得 ? ?h(t)=t-2t2， ? ?由此求出． 25. 設數(shù)項級數(shù)收斂，則( )必收斂。 A． B． C． D． 設數(shù)項級數(shù)收斂，則(??)必收斂。 ??A．??B．?C．?D． B 26. 求兩平行平面π1：3x＋2y＋6z－35=0；π2：3x＋2y＋6z－56=0之間的距離． 求兩平行平面π1：3x+2y+

17、6z-35=0；π2：3x+2y+6z-56=0之間的距離． 27. 函數(shù)y=cosx+tan2x的值域是所有實數(shù)。( ) A.正確 B.錯誤 參考答案：A 28. 當x→0時，確定無窮小量y的主要部分cxn(c是常數(shù))：y=tan(sinx)-sin(tanx) 當x→0時，確定無窮小量y的主要部分cxn(c是常數(shù))：y=tan(sinx)-sin(tanx) 首先建立展式 ? ? ? ?事實上，將tanx表為 ? ? ? ?并利用展式2)、3)、4)，得 ? ?即為所求的結果． ? ?利用此公式以及先前的展式得

18、 ? ? ? ?由此得 29. 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是實系數(shù)多項式，n≥2，且某個ak=0(1≤k≤n-1)，及當i≠k時，ai≠0。證明：若f(x)有n個 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是實系數(shù)多項式，n≥2，且某個ak=0(1≤k≤n-1)，及當i≠k時，ai≠0。證明：若f(x)有n個相異的實根，則ak-1·ak+1＜0 證法1 ?由羅爾定理可知，在可導函數(shù)的兩個零點之間，其導數(shù)在某點為零,因此，如果f(k-1)(x)有n-k+1個相異的零點，則f(k)(x)有n-k個零點，且f(k)(x)的零點位

19、于f(k-1)(x)的每兩個相鄰零點之間 ? ?由于f(x)=anxn+…+a1x+a0，則 ? ?f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0, ? ?假設ak-1,ak+1同號，不妨設ak-1＞0，ak+1＞0，則f(k-1)(x)在點x=0的左方某鄰域內單調減少；在點x=0的右方某鄰域內單調增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C0＞0為f(k-1)(x)的極小值 ? ?若f(k)(x)無其他零點，則對任意x≠0，應有f(k-1)(x)＞f(k-1)(0)=C0＞0，因此f(

20、k-1)(x)也沒有零點，矛盾 ? ?若x0是f(k)(x)與x=0相鄰的零點，則在x=0與x0之間有f(k-1)(x)≥C0＞0，這與f(k-1)(x)在0與x0為端點的區(qū)間內存在零點矛盾 ? ?從而可知ak-1·ak+1＜0 ? ?證法2 ?由于 ? ?f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-1≠0,C1=k！ak=0， ? ?f(k-1)(x)有n-k+1個互異的零點，設為x1＜x2＜…＜xn-k+1， ? ?由于C0≠0，可見 ? ?x1·x2·…·xn-k+1≠0則多項式 ?

21、?ψ(x)=Cn-k+1+Cn-kx+…+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互異的零點由羅爾定理可知 ? ?有不相等的二實根但C1=0，因此 ? ? ? ?即 ? ?ak-1·ak+1＜0由前面幾題可以發(fā)現(xiàn)，討論方程根的存在性，常常利用函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理、羅爾定理以及綜合運用上述性質 30. F[x]中，不與x－1相伴的是A、2x－2B、3x－3C、3x＋3D、－2x＋2 F[x]中，不與x-1相伴的是 A、2x-2 B、3x-3 C、3x+3 D、-2x+2 正確答案： C 31.

22、已知4階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4 已知4階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組Ax=β的通解． 由可得 ? ?x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4，將α1=2α2-α3代入后整理可得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α1=0．而α2，α3，α4線性無關，則有 ? ?

23、 ? ?解得：，其中k為任意常數(shù)，此即方程組Ax=β的通解． 32. 設隨機變量，求函數(shù)y=1-3X的數(shù)學期望與方差． 設隨機變量，求函數(shù)y=1-3X的數(shù)學期望與方差． 函數(shù)的數(shù)字特征． ? ?用函數(shù)的數(shù)學期望公式，得 ? ? ? ? ? ?由方差公式，有 ? ? 33. 設總體X～N(8，22)，抽取樣本X1，X2，…，X10．求下列概率． 設總體X～N(8，22)，抽取樣本X1，X2，…，X10．求下列概率． $ 34. 設簡單圖Gi=(i=1，2，…，6)，其中V={a，b，c，d，

24、e}， E1={(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)}； E2={(a，b)，(b，e 設簡單圖Gi=i>(i=1，2，…，6)，其中V={a，b，c，d，e}， ??E1={(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)}； ??E2={(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)}； ??E3={(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)}； ??E4={(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(d，e)}； ??E5={(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)}； ??E6={(a，a)，(a

25、，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)}． ??做出各圖，試問： (1)其中圖②④⑤是有向圖，①③⑥是無向圖．$ ? ?圖⑤是強連通圖，圖④是單向連通圖，無弱連通圖． 35. 下列關于導數(shù)的結論正確的是( )。 A.兩個函數(shù)的和的導數(shù)等于兩個函數(shù)導數(shù)的和 B.兩個函數(shù)的差的導數(shù)等于兩個函數(shù)導數(shù)的差 C.反函數(shù)的導數(shù)等于原來函數(shù)導數(shù)的倒數(shù) D.兩個函數(shù)的積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，再加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù) 參考答案：ABCD 36. 有限多個函數(shù)的線性組合的不定積分等于他們不定積分的線性組合。( ) A.正確

26、 B.錯誤 參考答案：A 37. 設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(Q)=Q2+24Q+8500，求： 設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(Q)=Q2+24Q+8500，求： 邊際成本函數(shù)為 ? ?C'(Q)=(Q2+24Q+8500)'=Q+24．$當Q=50時，總成本為C(50)=10950；半均成本為；邊際成本為C'(50)=74． ? ?C'(50)=74表示當產(chǎn)量Q=50時，再多(少)生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品，成本增加(減少)50個單位． 38. 下列論斷哪些是對的，哪些是錯的?對于錯的舉出反例，并且把錯誤的論斷改正過來． (i) (ii) (iii)

27、 (iv) 下列論斷哪些是對的，哪些是錯的?對于錯的舉出反例，并且把錯誤的論斷改正過來．? ??(i) ??(ii) ??(iii) ??(iv) (i)對． ? ? ?(ii)錯． 例如，A={1，2}，B={2)應改為 ? ?(iii)錯． 例如，以、B同(ii)所設，應改為 ? ?(iv)對． 39. 設曲線y=e-x(x≥0)， (1)把曲線y=e-x，x軸，y軸和直線x=ξ(ξ＞0)所圍成平面圖形繞x軸旋轉一周，得一旋轉體，求此旋 設曲線y=e-x(x≥0)， ??(1)把曲線y=e-x，x軸，y軸和直線x=ξ(ξ＞0)所圍成平面

28、圖形繞x軸旋轉一周，得一旋轉體，求此旋轉體體積V(ξ)；求滿足的a． ??(2)在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積． 這是微分學與積分學的綜合題，按步驟逐個求解便可． ? ?(1)如下圖所示， ? ? ? ? ? ? ? ?易知 ?，故從 ? ?解出 ? ? ? ?(2)如下圖所示，設A為曲線y=e-x上的切點，則因y'(a)=-e-a，可以求出切線方程為 ? ? ? ?y-e-a=-e-a(x-a) ? ?令x=0，得切線與y軸交點為(0，(1+a)·e-a)；令y=0，得切線與x

29、軸交點為(1+a，0)，從而切線與坐標軸所圍圖形面積為 ? ? ? ?令，得駐點a=1(a=-1舍去)．分析S'(a)的符號可知，S(a)在0＜a＜1時單調增，在a＞1時單調減，故是所求的最大面積． 40. 有兩臺用來充裝凈容量為16.0(盎司)的塑料瓶的機器．充裝過程假定為正態(tài)的，其標準差為σ1=0.015和σ2=0.018．質 有兩臺用來充裝凈容量為16.0(盎司)的塑料瓶的機器．充裝過程假定為正態(tài)的，其標準差為σ1=0.015和σ2=0.018．質量管理部門懷疑那兩臺機器是否充裝同樣的16.0盎司凈容量．從機器的產(chǎn)品中各取一個隨機樣本． ??機器1：16.03?

30、16.04?16.05?16.05?16.02?16.01?15.96?15.98?16.02?15.99 ??機器2：16.02 15.97?15.96?16.01?15.99 16.03 16.04 16.02 16.01?16.00 ??在顯著水平α=0.05下，質量管理部門的懷疑是正確的嗎? 41. 設f(x)是可導函數(shù)，則( ) A.∫f(x)dx=f'(x)+C B.∫[f'(x)+C]dx=f(x) C.[∫f(x)dx]'=f(x) D.[∫f(x)dx]'=f(x)+C 參考答案：C 42. 系統(tǒng)的熱力學能的絕對值(U)______

31、____，但是系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)變化導致的熱力學能的變化值(△U)________ 系統(tǒng)的熱力學能的絕對值(U)__________，但是系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)變化導致的熱力學能的變化值(△U)__________。 正確答案：不可測量、可以測量 不可測量、可以測量 43. 下列函數(shù)F(x)是的一個原函數(shù)的為( )。 A．F(x)=ln2x B． C．F(x)=ln(2＋x) D． 設f（x）是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則（ ） A.當f（x）為單調函數(shù)時，F(xiàn)（x）必為單調函數(shù) B.當f（x）為奇函數(shù)時，F(xiàn)（x）必為偶函數(shù) C.當f（x）為有界函數(shù)時，F(xiàn)（

32、x）必為有界函數(shù) D.當f（x）為周期函數(shù)時，F(xiàn)（x）必為周期函數(shù) Ab 44. 極值反映的是函數(shù)的( )性質。 A.局部 B.全體 C.單調增加 D.單調減少 參考答案：A 45. 已知函數(shù)y=|x|/x，則下列結論正確的是( )。 A.在x=0處有極限 B.在x=0處連續(xù) C.在定義域內連續(xù)不可導 D.在定義域內連續(xù)可導 參考答案：D 46. 仿射變換把菱形變成________。 仿射變換把菱形變成________。 參考答案：平行四邊形 47. 設f(x)=lnx，給出如下數(shù)據(jù)，求f(0.6)的近似值。

33、 xi 0.4 0.5 0.7 0.8 f(xi) -0.91629 設f(x)=lnx，給出如下數(shù)據(jù)，求f(0.6)的近似值。 ??xi0.40.50.70.8f(xi)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144 ? ?同理可計算,, ? ? ? ?準確值ln0.6=-0.5108256 ? ?余項 ? ξ∈[0.4,0.8] ? ? 48. 若函數(shù)f(x)在(a，b)內存在原函數(shù)，則原函數(shù)有( )。 A.一個 B.兩個 C.無窮多個 D.其他選項都選

34、 參考答案：C 49. 試證明： 設m(E)＜∞，f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則{fk(x)}在E上依測度收斂于f( 試證明： ??設m(E)＜∞，f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則{fk(x)}在E上依測度收斂于f(x)的充分且必要條件是： ??． [證明] 必要性 ?依題設知，對任給ε＞0，α＜ε/2，存在N，使得 ? ?m({x∈E:|fk(x)-f(x)|＞α})＜ε/2 ?(k≥N). ? ?從而得α+m({x∈E：|fk(x)-f(x)|＞α}

35、)＜ε(k≥N)．對α取下確界更成立，再令k→∞也然，由此即得所證． ? ?充分性 ?記Ek(α)={x∈E：|fk(x)-f(x)|＞α}，由假設知，對任給ε＞0，存在N，當k≥N時有．從而對每個k：k≥N，可取αk＞0，使得αk+m(Ek(αk))＜ε，自然有αk＜ε(k≥N).現(xiàn)在令，則αε≤ε(k≥N)．因此，對任給ε＞0，0＜δ＜ε，存在N，使得 ? ?m({x∈E：|fk(x)-f(x)|＞δ)＜ε ?(k≥N)． ? ?這說明fk(x)在E上依測度收斂于f(x)． 50. 設f(x)=e3x，則f&39;&39;(0)=( )。 A．1 B．3

36、 C．9 D．9e 設f(x)=e3x，則f''(0)=(??)。 ??A．1??B．3??C．9??D．9e C 51. 已知是全微分表達式．則a=( )． (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2 已知是全微分表達式．則a=(??)． ??(A)?-1??(B)0??(C)?1??(D)?2 D用湊全微分法：由于分母是x+y的平方，故分子應湊為(x+y)及d(x+y)的形式為此考察 ? ?(x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy與(x+y)-2恰好構成全微分： ? ?因此a=2 ? ? ?

37、?解2 ?用即可得a=2． ? ?解3 ?用待定系數(shù)法，原函數(shù)必為的形式，作全微分得 ? ? ? ? ? ? ? ?比較得A=1(B=0，C=-1)，因而a=2． 52. 設函數(shù)f和g分別為f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，試找出定義復合函數(shù)的數(shù)學公式． 設函數(shù)f和g分別為f(x)=2x+1，g(x)=x2-2，試找出定義復合函數(shù)的數(shù)學公式． 因為f(x)=2x+1，g(x)=x2-2， ? ?所以=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)2-2 ? ?=4x2+4x+1-2=4x2+4x-1． 53. A，B為兩個

38、事件，則( )成立。 A．(A∪B)-B=A B． C．(A-B)+B=A D． A，B為兩個事件，則(??)成立。 ??A．(A∪B)-B=A??B． ??C．(A-B)+B=A??D． B 54. 怎樣利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分∮LPdx+Qdy+Rdz? 怎樣利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分∮LPdx+Qdy+Rdz? 一般說來，當所給的曲線積∮LPdx+Qdy+Rdz滿足下列兩個條件時，可考慮用斯托克斯公式進行計算． ? ?(1)積分曲線L為一平面與一曲面的交線；(2)比較簡單． 55. 函數(shù)，則是( )概率密度 A．指數(shù)

39、分布 B．正態(tài)分布 C．均勻分布 D．泊松分布 函數(shù)，則是(??)概率密度 ??A．指數(shù)分布??B．正態(tài)分布??C．均勻分布??D．泊松分布 A 56. y=x3cos2x求一階、二階導數(shù)． y=x3cos2x求一階、二階導數(shù)． y'=3x2cos2x-2x2sin2x， ? ?y"=6xcos2x-6x2sin2x-6x2sin2x-4x3cos2x ? ?=(6x-4x3)cos2x-12x2sin2x． 57. 利用夾逼準則，求(a≥0)． 利用夾逼準則，求(a≥0)． 當a≥1時，，而(n→∞)，由夾逼準則知. ? ?當0≤

40、a＜1時，，而(n→∞)，由夾逼準則知．所以 ? ?． 58. 據(jù)理回答： (1)何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質? (2)何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和( 據(jù)理回答： (1)何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質? (2)何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和(或上和)都相等”的性質? (3)對于可積函數(shù)，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的結論? 正確答案： 59. 設有一代數(shù)系統(tǒng)(I，*)滿足封閉性，其中l(wèi)為整數(shù)集，運算“*”定義為：對于任意的a．b∈I，a*b=a+b-5．證明(I，*)是群． 設有一代數(shù)系統(tǒng)(I，*)滿足封閉性，其中l(wèi)

41、為整數(shù)集，運算“*”定義為：對于任意的a．b∈I，a*b=a+b-5．證明(I，*)是群． 證明 ?(1)(a*b)*c=(a+b-5)*c ? ?=a+b-5+c-5=a+b+c-10， ? ?a*(b*c)=a*(b+c-5) ? ?=a+b+c-5-5 ? ?=a+b+c-10． ? ?滿足結合律． ? ?(2)根據(jù)單位元素的定義有： ? ?a*e=e*a=aa+e-5e=5．單位元素為5． ? ?(3)找逆元素a-1： ? ?a*a-1=a-1*a=ea+a-1-5=5a-1=10-a ? ?故存在逆元素． ? ?由

42、(1)～(3)得：(I，*)是群．本題對“*”賦予具體的含義，證明時要找出符合本題的結合律、單位元素、逆元素(不是抽象的證明)． 60. 把長為ι的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大? 把長為ι的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大? 正確答案：設一段長為x則另一段長為ι-x矩形面積為f(x)=x(ι-x)則f\"(x)=ι-2x=0故x=ι/2f\"(x)=-2＜0故x=ι/2是f(x)的極大值點。 \r\n 故當兩段等長度截開時以這兩線段為邊所組成的矩形面積最大。 設一段長為x,則另一段長為ι-x,矩形面積為f(x)=x(ι-x),則f\"(x)=ι-2x=0,故x=ι/2,f\"(x)=-2＜0,故x=ι/2是f(x)的極大值點。故當兩段等長度截開時,以這兩線段為邊所組成的矩形面積最大。