備戰(zhàn)2014高考數(shù)學真題集錦：《三角化簡與求值》.doc

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2.【2010新課標全國理】如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，-），角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數(shù)圖像大致為 【答案】C 【解析】通過分析可知當時，點到x軸距離d為，于是可以排除答案A,D，再根據(jù)當時，可知點在x軸上此時點到x軸距離d為0,排除答案B，應選C. 命題意圖：本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時刻點的位置到到x軸距離來確定答案.本題也可以借助解析式來處理. 3.【2010新課標全國理】若，是第三象限的角，則 (A) (B) (C) 2 (D) -2 【命題意圖猜想】 1. 三角函數(shù)的化簡、求值及最值問題，主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，三角函數(shù)的誘導公式，和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時的應用，考查利用三角公式進行恒等變形的技能，以及基本運算的能力，特別突出算理方法的考查． 2.2011年的試題主要考查三角函數(shù)的概念、二倍角的余弦公式．2010年試題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運用、同角的三角函數(shù)關系等知識以及相應的運算能力. 通過這兩年試題來看，二倍角公式是必考的內容，是一個核心.2012年因為考查了一道三角函數(shù)的解答題，故小題中沒有涉及三角化簡求值，而是命制了一道三角函數(shù)的性質的題目，預測2013年高考題會考查三角函數(shù)的化簡與求值，但是題目難度為中低檔，且很有可能與三角函數(shù)的定義聯(lián)系到一起. 3.從近幾年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關系改變三角函數(shù)的名稱，利用誘導公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質、向量等知識綜合考查，既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中低檔題． 【最新考綱解讀】 1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念． (2)了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化． 2．和與差的三角函數(shù)公式 (1)會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式． (2)能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式． (3)能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系． 3．簡單的三角恒等變換 能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)． 【回歸課本整合】 一．三角函數(shù)誘導公式 1.對于形如即滿足中取偶數(shù)時：等于角的同名三角函數(shù)，前面加上一個把看成是銳角時，該角所在象限的符號； 2.對于形如即滿足中取奇數(shù)時：等于角的余名三角函數(shù)，前面加上一個把看成是銳角時，該角所在象限的符號. 3.口訣：奇變偶不變，符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）. 4.運用誘導公式轉化角的一般步驟： (1)負化正：當已知角為負角時，先利用負角的誘導公式把這個角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值； (2)正化負：當已知角是大于的角時，可用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內的三角函數(shù)值； (3)主化銳：當已知角是到內的角時，可利用的誘導公式把這個角的三角函數(shù)值化為到內的角. 二． 兩角和與差的三角函數(shù)公式 1. 兩角和與差的正弦公式：. 變形式： ； 2.兩角和與差的余弦公式： 變形式：； ； 3．兩角和與差的正切公式：. 變形式：. 注意：運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數(shù)關系，三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點. 三．二倍角公式的正弦、余弦、正切 1.二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . 2. 降冪公式：；；. 3.升冪公式：;;. 注意：在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換. 【方法技巧提煉】 1. 正、余弦三兄妹“、”的應用 與通過平方關系聯(lián)系到一起，即， 因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設條件有三者之一，就可以利用上述關系求出或轉化為另外兩個. 2.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得結構形式，這樣減少了變量，統(tǒng)一為“切”得表達式，進行求值. 常見的結構有: ① 的二次齊次式（如）的問題常采用“”代換法求解； ②的齊次分式（如）的問題常采用分式的基本性質進行變形． （2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般單獨出現(xiàn)正切、余切的時候，采用此技巧. 3.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路 基本思路是：一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結構特點.基本的技巧有: （1）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等. (2)三角函數(shù)名互化：切割化弦，弦的齊次結構化成切. (3)公式變形使用：如 (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升：降冪公式與升冪公式. (5)式子結構的轉化. (6)常值變換主要指“1”的變換：等. （7）輔助角公式： (其中角所在的象限由的符號確定，的值由 確定.在求最值、化簡時起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可. 如等. 【考場經(jīng)驗分享】 1．在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點．|OP|＝r一定是正值． 2．同角三角函數(shù)關系及誘導公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號，正確取舍． 3．使用誘導公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπα(k∈Z)的形式時，需要對k的取值進行分類討論，從而確定三角函數(shù)值的正負． 4.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角為：對角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃危? 5.本熱點一般難度不大，屬于得全分的題目，一般放在選擇題的中間位置.但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面，容易一時的思路堵塞，需冷靜處理.如果一時想不到化簡的方向，可暫且放一放，不要鉆牛角尖，否則可能造成心理負擔，情緒受到影響.因新課標高考對這個熱點考查難度已經(jīng)降低，同學們應有必勝的信心. 【新題預測演練】 1.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】 已知，，則（ ） A． B． C． D． 2.【廣東省華南師大附中2012-2013學年度高三第三次月考】設，，則的值（　?。? （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由，，不妨在角的終邊上取點，則，于是由定義可得，，所以，故選A． 3.【四川省綿陽南山中學高2013級第五期零診考試】若點P(3，y)是角α終邊上的一點，且滿足y<0，cosα＝，則tanα＝(　) A．- B. C. D. - 【答案】D　 【解析】 cosα＝＝，∴y2＝16.∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－. 4. [2012-2013學年云南省昆明市高三（上）摸底調研測試]已知，則sin2x的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】∵sin（x﹣）=（sinx﹣cosx）=， ∴sinx﹣cosx=， 兩邊平方得：（sinx﹣cosx）2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=， 則sin2x=． 故選B 6.【山東省煙臺市2012-2013學年度第一學期模塊檢測】已知，，則等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知 故選B. 7. 【天津一中2012-2013學年高三年級一月考】函數(shù)的最小值和最大值分別為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,因為，所以當時，函數(shù)有最大值，當時，函數(shù)有最小值，選C. 8.【河北省唐山市2012-2013學年度高三年級摸底考試】若tanθ=2，則cos2θ＝ （A）　?。˙）－　　（C）　?。―）－[ 【答案】D 【解析】 9.【山東省實驗中學2013屆高三第二次診斷性測試】已知，且，則等于 A. B. C. D. 10.【重慶市部分重點中學2012—2013年高三上學期第一次聯(lián)考】 當0＜x＜時,函數(shù)的最小值為 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】 ． ∵0＜x＜,∴tanx＞0． ∴． 當時,f(x)min=4．故選C． 11.【江西省2013屆百所重點高中階段性診斷考試】 已知，則等于 A. B. C. D. 13.【山東省泰安市2013屆高三上學期期中考試數(shù)學】已知，則等于 A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】由得，所以，即，所以，所以，所以，選A. 14.【2012-2013學年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】若，則的值是（　　） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵sin2θ+cos2θ=1， ∴便得出方程組 解這個關于sinθ與cosθ的2元2次方程組， ∴．所以tanθ=1． 故有． 答案：B． 15.【天津市新華中學2011-2012學年度第一學期第二次月考】 已知，則_____________________. 16.【天津一中2012-2013學年高三年級一月考】已知，sin()=－ sin則cos=________. 【答案】 【解析】因為，所以，所以，即.又，所以，即.又. 17.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】已知角,構成公差為的等差數(shù)列.若， 則=__________. 18.【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯(lián)考】 已知角a的終邊經(jīng)過點P(x,- 6),且tan a= ,則x的值為 ____. 【答案】10 【解析】根據(jù)題意，所以 19.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調研測試】設，且．則的值為 ． 【答案】 【解析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的恒等變換等. 法一：由得，，， 由，，所以. =. 法二：由得，，由法一可知，，. . 法三：由，得，，= . 20.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】已知 。 【答案】 【解析】因為所以，，，即，又，聯(lián)立解得，所以 22.【2012-2013學年江西省南昌市調研考試】（本小題滿分12分） 已知且，求. 【解析】：因為，所以，…………………………………2分 又，所以，…………8分 ………………11分 ……………………………………………………………12分 23.【廣東省潮州市2012-2013學年度第一學期期末質量檢測】（本小題共12分）已知函數(shù)，是的導函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小值及相應的值的集合； （2）若，求的值． 24.【北京市房山區(qū)2013屆高三上學期期末理】已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. （Ⅰ）由 ………………1分 得 ………………3分 所以函數(shù)的定義域為 ……………4分 （Ⅱ） 25.【北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學期期末理】如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于，兩點． （Ⅰ）若點的橫坐標是，點的縱坐標是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值. 解：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義得， ， ． ………………………………………………………2分 ∵的終邊在第一象限，∴． ……………………………………………3分 ∵的終邊在第二象限，∴ ．………………………………………4分 ∴==+=．……………7分 （Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||, ……………………………………9分 又∵，…………………11分