【全國百強(qiáng)?！亢邶埥」枮I市第六中學(xué)2016屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

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哈爾濱市第六中學(xué)2016屆高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 考試說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上. 2.做答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效. 3.做答第Ⅱ卷時(shí)，請(qǐng)按題號(hào)順序在各題目規(guī)定的答題區(qū)域內(nèi)做答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效. 4.保持答題卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)用涂改液、修正帶、刮紙刀. 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ） （A） （B） （C） （D） 2．集合，則的子集個(gè)數(shù)為（ ） （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）4個(gè) （D）8個(gè) 3．有下列四個(gè)說法： ①命題“”的否定是“”； ②“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件； ③命題“已知，若或，則”的逆命題為真命題； ④在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為； 其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．已知滿足約束條件，則的最大值是（ ） （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 5．已知，則向量與的夾角為（ ） （A） （B） （C） （D） 6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積比為（ ） （A） （B） （C）2＋1 （D） 7．甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員近幾場比賽得分統(tǒng)計(jì)成莖葉圖如圖，甲乙兩人的平均數(shù)與中位數(shù)分別相等，則為（ ） （A）3:2 （B）2:3 （C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5 開始 輸入十進(jìn)制x n=0 x除以6取商y余數(shù)z y=0？ zn=z 結(jié)束 x=y zn=z n=n+1 輸出數(shù)碼znzn-1…z1z0 是 否 8．已知某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則隨機(jī)變量X落在區(qū)間內(nèi)的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 9．中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為， 若成等差數(shù)列，且， 則等于（ ） （A） （B） （C） （D） 10．老師為哈六中某位同學(xué)的高考成績?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖， 執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的數(shù)碼為， 則這位同學(xué)的高考分?jǐn)?shù)是（ ） （A）682 （B）683 （C）692 （D）693 11．已知且，，下列關(guān)于三個(gè)函數(shù)的說法 正確的是（ ） （A）三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性總相同 （B）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， （C）當(dāng)時(shí)，三個(gè)函數(shù)沒有公共點(diǎn) （D）任意，三個(gè)函數(shù)都與直線相交 12．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過作的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線交于，若到直線的距離不小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22題~24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)與的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)相等，其中為銳角，則= 14．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________ 15．長方體中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)，，則長度最小值為______________ 16．已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________ 三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟． （17）（本小題滿分12分） 正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：． （18）（本小題滿分12分） 哈六中數(shù)學(xué)組推出微信訂閱號(hào)（公眾號(hào)hl15645101785）后，受到家長和學(xué)生們的關(guān)注，為了更好的為學(xué)生和家長提供幫助，我們?cè)谀硶r(shí)間段在線調(diào)查了60位更關(guān)注欄目1或欄目2（2選一）的群體身份樣本得到如下列聯(lián)表，已知在樣本中關(guān)注欄目1與關(guān)注欄目2的人數(shù)比為2:1，在關(guān)注欄目1中的家長與學(xué)生人數(shù)比為5:3，在關(guān)注欄目2中的家長與學(xué)生人數(shù)比為1:3 欄目1 欄目2 合計(jì) 家長 學(xué)生 合計(jì) （1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“更關(guān)注欄目1或欄目2與群體身份有關(guān)系”； （2）如果把樣本頻率視為概率，隨機(jī)回訪兩位關(guān)注者，更關(guān)注欄目1的人數(shù)記為隨機(jī)變量，求的分布列和期望； （3）由調(diào)查樣本對(duì)兩個(gè)欄目的關(guān)注度，請(qǐng)你為數(shù)學(xué)組教師提供建議應(yīng)該更側(cè)重充實(shí)哪個(gè)欄目的內(nèi)容，并簡要說明理由． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中.） （19）（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，， P A B C D E ， ，平面，側(cè)面底面 （1）求的值； （2）求直線與面所成角的大?。? （20）（本小題滿分12分） 拋物線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值為2 （1）求拋物線的方程； （2）直線上的點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程． （21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍； （3）證明：，使得． 請(qǐng)考生在題（22）（23）（24）中任選一題作答，如果多做，則按所做的的第一題計(jì)分．做題時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑． （22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖，正中，點(diǎn)在邊上，在邊上，且， A B E D C F G ，，相交于點(diǎn) （1）證明：四點(diǎn)共圓； （2）當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求線段的長度． （23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線， 曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于兩點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)，且最大值為 （1）將曲線與曲線化成極坐標(biāo)方程，并求的值； （2）射線與曲線交于兩點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值． （24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知均為正數(shù)，且 （1）證明：； （2）求的最大值． 理科數(shù)學(xué) 1-12 ACCDB ADAAC CB 13. 14. 15. 16. 17.（1）時(shí)， 時(shí)，因?yàn)?，，所? 得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以 ……6分 （2）， 所以， ， 所以 ……6分 18.（1）因?yàn)闃颖救萘?0，關(guān)注欄目1與關(guān)注欄目2的人數(shù)比為2:1，在關(guān)注欄目1中的家長與學(xué)生人數(shù)比為5:3，所以，列聯(lián)表如圖 欄目1 欄目2 合計(jì) 家長 25 5 30 學(xué)生 15 15 30 合計(jì) 40 20 60 ，所以能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為“更關(guān)注欄目1或欄目2與群體身份有關(guān)系”。 ……5分 （2）的取值為0,1,2，由題意，， 所以，，，分布列如下 0 1 2 期望 ……5分 （3）關(guān)注欄目1與關(guān)注欄目2的人數(shù)比為2:1，關(guān)注欄目1的人數(shù)多，所以應(yīng)該充實(shí)欄目1的內(nèi)容. ……2分 19.（1）因?yàn)椋娴酌?，面面，所以面，所以，因?yàn)槠矫婷?，所以，，所以面，過點(diǎn)做的平行線為軸，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，由得，所以 ……5分 （2）設(shè)面法向量為，，， 解得，，所以線面角為 ……7分 20.（1）①當(dāng)時(shí)， ， ， ②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)與聯(lián)立，得， ，所以當(dāng)時(shí)面積最小， 所以，拋物線方程為 ……6分 （2）設(shè)， ①當(dāng)時(shí)， ，，點(diǎn) ②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)與聯(lián)立，得， ，，，由 得=，因?yàn)椋?，化簡得，也符合? 所以點(diǎn)的軌跡方程為 ……6分 21（1） ①當(dāng)時(shí)，，所以的增區(qū)間為 ②當(dāng)時(shí)，，解得， 的增區(qū)間為，減區(qū)間 ……4分 （2）因?yàn)?，所以是的最小值，由題意， 由（1）增區(qū)間為，減區(qū)間 所以或，解得 ……4分 （3）因?yàn)? ①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以存在，成立； ②當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以存在，成立； ③當(dāng)時(shí)，，在上遞減，所以存在，成立； 綜上，總存在，使得 ……4分 22.（1） ，又， 四點(diǎn)共圓 ……4分 （2）連接， 以為直徑的圓圓心為 ， ……6分 23.（1）， =， ， ……4分 （2） 當(dāng)時(shí)，面積的最大值為 ……6分 24.（1） 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 ……4分 （2） 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立 ……6分 哈六中2016屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工類） 第10 頁 共4頁