向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算教案.doc

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8.1 向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo)：了解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐標(biāo)表示方法及其運(yùn)算法則；掌握向量模的求法，知道模的幾何意義；理解并掌握兩個(gè)非零向量平行的充要條件，鞏固加深充要條件的證明方式 能力目標(biāo)：會(huì)用兩向量的坐標(biāo)形式的和、差及實(shí)數(shù)與向量的積等運(yùn)算解決相關(guān)問(wèn)題；會(huì)用平行的充要條件解決點(diǎn)共線問(wèn)題 情感目標(biāo)：感知數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)、變化、相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，加深對(duì)辯證唯物主義觀點(diǎn)的體驗(yàn)；發(fā)展從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問(wèn)題的能力，以及通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、慎密的思維習(xí)慣. 教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：如何寫(xiě)向量的坐標(biāo)以及向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算及其應(yīng)用 難點(diǎn)：向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算及其應(yīng)用 一、新課引入：　　 上海市莘莊中學(xué)的健美操隊(duì)四名隊(duì)員A、B、C、D在一個(gè)長(zhǎng)10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進(jìn)行健美操表演. （1）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于點(diǎn)F處，隊(duì)員B在邊FG上距F點(diǎn)3米處，隊(duì)員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ [說(shuō)明] 此時(shí)隊(duì)員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個(gè)圖形比較特殊，學(xué)生很快就會(huì)得到答案，這時(shí)教師引入第二個(gè)問(wèn)題. （2）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ [說(shuō)明] 不要求學(xué)生寫(xiě)出結(jié)果，只引導(dǎo)學(xué)生思考.這個(gè)圖形更為一般一些，學(xué)生解決的可能不是很順，這時(shí)，教師就可以說(shuō)，這一節(jié)我們就來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容：向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，學(xué)習(xí)了這個(gè)內(nèi)容之后，同學(xué)們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時(shí)間就可以解決這個(gè)問(wèn)題了，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的欲望. 二、新課講授 1、向量的正交分解 （1）基本單位向量：我們稱(chēng)在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個(gè)單位向量叫做基本單位向量，分別記為。 （2）位置向量：如圖，稱(chēng)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量為位置向量，如下圖左，即為一個(gè)位置向量. 思考1：對(duì)于任一位置向量，我們能用基本單位向量來(lái)表示它嗎？ 如上圖右，設(shè)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來(lái)表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來(lái)表示嗎？（依向量與實(shí)數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得： （3）向量的正交分解：由上面這個(gè)式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個(gè)相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱(chēng)為向量的正交分解. 2、向量的坐標(biāo)表示 思考2：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個(gè)向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 由于任意一個(gè)位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個(gè)向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即： == 為了簡(jiǎn)便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來(lái)，得到有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）.可知有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）與向量的位置向量是一一對(duì)應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示向量，并稱(chēng)（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作： =（x,y） [說(shuō)明]（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量的終點(diǎn)A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量的起點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點(diǎn)與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 顯然，依上面的表示法，我們有：. 3、例題舉隅 例1.（課本例題）如圖，寫(xiě)出向量的坐標(biāo). 解：由圖知，與向量相等的位置向量為，可知， 與向量相等的位置向量為，可知 [說(shuō)明] 對(duì)于位置向量，它的終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)；對(duì)于起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們是通過(guò)先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo).那么，有沒(méi)有不通過(guò)位置向量，直接就寫(xiě)出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡(jiǎn)便，但我們需幾分鐘后再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算： 4、向量的坐標(biāo)表示運(yùn)算 我們學(xué)過(guò)向量的運(yùn)算，知道向量有加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘法等運(yùn)算，那么，在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們?cè)趺从孟蛄康淖鴺?biāo)形式來(lái)表示這些運(yùn)算呢？ 設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)， 由于 所以 于是有： （1）向量的和（差）： （2）數(shù)與向量的積： [說(shuō)明]上面第一個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：兩個(gè)向量的和(差)的橫坐標(biāo)等于它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的和(差)，兩個(gè)向量的和(差)的縱坐標(biāo)也等于它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的和(差)，可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為：兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；同樣，第二個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積，數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積，也可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為：數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的積. 5、例題舉隅 例2、如下圖左，設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，如何用P、Q的坐標(biāo)來(lái)表示向量？ 解：如上圖右，向量 從而有 [說(shuō)明]①平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它起點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點(diǎn)的縱坐標(biāo)與它起點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，可簡(jiǎn)稱(chēng)為“任意向量坐標(biāo)=終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)”. 例3、如圖，平面上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、. （1）寫(xiě)出向量的坐標(biāo)； （2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo). 解：（1） （2）在上圖中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，于是有 又 ，故 由此可得 解得 因此點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 例4、已知向量與，求的坐標(biāo). 解：因?yàn)椋? 所以 例5、已知平面內(nèi)兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（-2,4）、（2,1），求的單位向量 解：因?yàn)?，故? 所以 7、向量的平行 （1）向量平行的概念：對(duì)任意兩個(gè)向量，若存在一個(gè)常數(shù)，使得成立，則兩向量與向量平行，記為：. 思考1：在坐標(biāo)平面上描出下列三點(diǎn),完成下列問(wèn)題： ①請(qǐng)把下列向量的坐標(biāo)與模填在表格內(nèi)： 向量坐標(biāo) (1,2) (2,4) (3,6) 向量的模 ②通過(guò)畫(huà)圖，你得出什么結(jié)論？ 三點(diǎn)A、B、C在一條直線上 ③分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么？ ④分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？ ，， ⑤分析表格中向量坐標(biāo)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？ 向量坐標(biāo)之間存在比例關(guān)系. 思考3：如果向量用坐標(biāo)表示為，則是的（ ）條件. A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要 （2）判斷三點(diǎn)共線的方法 方法一：計(jì)算三個(gè)向量的模長(zhǎng)關(guān)系. 方法二：看兩個(gè)非零向量之間是否存在非零常數(shù).（向量的坐標(biāo)存在比例關(guān)系） 例5、若是兩個(gè)非零向量，且，則的充要條件是. 證明：分兩步證明， （Ⅰ）先證必要性： 非零向量存在非零實(shí)數(shù)，使得，即 ，化簡(jiǎn)整理可得：，消去即得 （Ⅱ）再證充分性： （1）若,則、、、全不為零，顯然有，即 （2）若，則、、、中至少有兩個(gè)為零. ①如果，則由是非零向量得出一定有，， 又由是非零向量得出，從而，此時(shí)存在使，即 ②如果，則有，同理可證 綜上，當(dāng)時(shí)，總有 所以，命題得證. ①兩向量平行的充要條件：若是兩個(gè)非零向量，且，則的充要條件是. 8、例題舉隅 例6、已知P是直線上的一點(diǎn)，且（為任意實(shí)數(shù)，且），、的坐標(biāo)分別為、，求點(diǎn)P的坐標(biāo) 解：由，可知 由于，所以解得 ②向量的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： 特別地，當(dāng)時(shí)，P為、的中點(diǎn)，中點(diǎn)的坐標(biāo)公式為 例7、已知平面上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，G是△ABC的重心，求點(diǎn)G的坐標(biāo) 解：設(shè)D為A、B的中點(diǎn)，那么， 因?yàn)镚是△ABC的重心，所以，由定比分點(diǎn)公式可得 故 ③三角形重心的坐標(biāo)公式：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，G是△ABC的重心，那么 三、課堂小結(jié) 1、向量的正交分解： （1）基本單位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解 2、向量的坐標(biāo)表示 3、向量的坐標(biāo)表示運(yùn)算 4、兩向量平行的充要條件 5、兩點(diǎn)定比分點(diǎn)公式及中點(diǎn)公式 6、三角形重心的坐標(biāo)公式 四、作業(yè)布置 同步練習(xí)8.1AB、周末卷