中考數(shù)學試卷分類匯編尺規(guī)作圖.doc

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尺規(guī)作圖 一．選擇題 1.（2013四川遂寧，10，4分）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　　） ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；作圖—基本作圖． 分析： ①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線； ②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30，則由直角三角形的性質來求∠ADC的度數(shù)； ③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上； ④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比． 解答： 解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線． 故①正確； ②如圖，∵在△ABC中，∠C=90，∠B=30， ∴∠CAB=60． 又∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠1=∠2=∠CAB=30， ∴∠3=90﹣∠2=60，即∠ADC=60． 故②正確； ③∵∠1=∠B=30， ∴AD=BD， ∴點D在AB的中垂線上． 故③正確； ④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3． 故④正確． 綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個． 故選D． 點評： 本題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及作圖﹣基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質． 2．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖，在平面直角坐標系中，以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關系為（　　） 　 A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1 考點： 作圖—基本作圖；坐標與圖形性質；角平分線的性質． 分析： 根據(jù)作圖過程可得P在第二象限角平分線上，有角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得|2a|=|b+1|，再根據(jù)P點所在象限可得橫縱坐標的和為0，進而得到a與b的數(shù)量關系． 解答： 解：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限角平分線上， 則P點橫縱坐標的和為0， 故2a+b+1=0， 整理得：2a+b=﹣1， 故選：B． 點評： 此題主要考查了每個象限內點的坐標特點，以及角平分線的性質，關鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標特點|橫坐標|=|縱坐標|． 　 . 3（2013福建福州，8，4分）如圖，已知△ABC，以點B為圓心，AC長為半徑畫?。灰渣cC為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，且點A，點D在BC異側，連結AD，量一量線段AD的長，約為（ ） A B C A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm 【答案】B 【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質對角線相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺進行測量即可． 【方法指導】此題主要考查了復雜作圖以及平行四邊形的判定和性質，關鍵是正確理解題意，畫出圖形． 二．填空題 三．解答題 1．（2013白銀，21，8分）兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號反射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡） 考點： 作圖—應用與設計作圖． 分析： 仔細分析題意，尋求問題的解決方案． 到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C． 由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點C有2個． 解答： 解：（1）作出線段AB的垂直平分線； （2）作出角的平分線（2條）； 它們的交點即為所求作的點C（2個）． 點評： 本題借助實際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質及應用．題中符合條件的點C有2個，注意避免漏解． 2．（2013蘭州，22，8分）如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在∠AOB的內部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結論） 考點：作圖—應用與設計作圖． 分析：根據(jù)點P到∠AOB兩邊距離相等，到點C、D的距離也相等，點P既在∠AOB的角平分線上，又在CD垂直平分線上，即∠AOB的角平分線和CD垂直平分線的交點處即為點P． 解答：解：如圖所示：作CD的垂直平分線，∠AOB的角平分線的交點P即為所求． 點評：此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．　 3．（2013貴州省六盤水，24，10分）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值． 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為　?。? （2）實踐運用 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　　． （3）拓展延伸 如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法． 考點： 圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題． 分析： （1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得CE=； （2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值； 由于的度數(shù)為60，點B是的中點得到∠BOC=30，∠AOC=60，所以∠AOE=60+30=90，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=； （3）拓展延伸：分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F，然后連結EF，EF交AB于M、交BC于N． 解答： 解：（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值， ∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點 ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30，BE=1， ∴CE=BE=； 故答案為； （2）實踐運用 如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB， ∵BE⊥CD， ∴CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱， ∵的度數(shù)為60，點B是的中點， ∴∠BOC=30，∠AOC=60， ∴∠EOC=30， ∴∠AOE=60+30=90， ∵OA=OE=1， ∴AE=OA=， ∵AE的長就是BP+AP的最小值． 故答案為； （3）拓展延伸 如圖（4）． 點評： 本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關系以及圓周角定理在有關圓的幾何證明中經常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質以及軸對稱﹣最短路徑問題． 　 4. （2013湖北宜昌，18，7分）如圖，點E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF． （1）請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由； （2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60，求線段EF的長． 考點： 菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質． 分析： （1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形； （2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長． 解答： 解：（1）菱形． 理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF， ∴四邊形AEDF是菱形； （2）連接EF， ∵AE=AF，∠A=60， ∴△EAF是等邊三角形， ∴EF=AE=8厘米． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 5．（2013鞍山，21，6分）如圖，已知線段a及∠O，只用直尺和圓規(guī)，求做△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（在指定作圖區(qū)域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法） 考點：作圖—復雜作圖． 分析：先作一個角等于已知角，即∠MBN＝∠O，在邊BN上截取BC＝a，以射線CB為一邊，C為頂點，作∠PCB＝2∠O，CP交BM于點A，△ABC即為所求． 解答：解：如圖所示：． 點評：本題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握作一個角等于已知角的基本作圖方法．　 6. （2013杭州8分）如圖，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）．連結QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請寫出一條． 【思路分析】根據(jù)角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出Q點位置，進而利用垂直平分線的作法得出答案即可． 【解析】如圖所示：發(fā)現(xiàn)：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等． 【方法指導】此題主要考查了復雜作圖以及線段垂直平分線的作法和性質等知識，熟練應用其性質得出系等量關系是解題關鍵． 2. 2013?嘉興12分）小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)． （1）請寫出這種做法的理由； （2）小明在此基礎上又進行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點A，D；②連結AD并延長交直線a于點B，請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說明理由； （3）請在圖3畫板內作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡． 【思路分析】1）根據(jù)平行線的性質得出即可； （2）根據(jù)題意，有3個角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質，可知∠PAB=∠PDA；又對頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形． 【解析】（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）； （2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1， 如圖，∵PA=PD， ∴∠PAB=∠PDA， ∵∠BDC=∠PDA（對頂角相等）， 又∵PC∥a， ∴∠PDA=∠1， ∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形． 【方法指導】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質，（2）等腰三角形的性質，（3）對頂角的性質，（4）垂直平分線的性質等．本題借助實際問題場景考查了學生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答． 7.（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，點E是AC的中點。 （1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。 ①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長交AM于點F。 【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。 ②連接BE并延長交AM于點F。 （2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由。 【解析】解：AF∥BC且AF=BC 理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C 由作圖可知：∠DAC=2∠FAC ∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC. ∵E是AC的中點， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC. 8.（2013四川樂山，18，9分）如圖，已知線段AB。 （1）用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）； （2）在（1）中所作的直線l上任意取兩點M、N（線段AB的上方），連接AM、AN。BM、BN。 求證：∠MAN=∠MBN。 9．（2013江西南昌，17，6分）如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點C在半圓外；圖2中，點C在半圓內，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖． （1）在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點； （2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高． 【思路分析】圖1點C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點B作AC的垂線，過點A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具（無刻度的直尺，只能作直線或連接線段），說明必須用所給圖形本身的性質來畫圖（這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在），作高就是要構造90度角，顯然由圓的直徑就應聯(lián)想到“直徑所對的圓周角為90度”.設AC與圓的交點為E, 連接BE,就得到AC邊上的高BE；同理設BC與圓的交點為D, 連接AD,就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點就是△ABC的三條高的交點；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點，受題（1）的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點P，再作射線PC與AB交于點D，則CD就是所求作的AB邊上的高． [解]在圖1中，點P即為所求；在圖2中，CD即為所求． 【方法指導】本題屬創(chuàng)新作圖題，是江西近年熱點題型之一.考查考生對圓的性質的理解、讀圖能力，題（1）是要作點，題（2）是要作高，都是要解決直角問題，用到的知識就是“直徑所對的圓周角為直角”． 10．（2013山東德州,23,10分） （1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD。請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡） （2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關系？簡單說明理由； （3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題： 如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長。 【思路分析】（1）根據(jù)題目要求進行尺規(guī)作圖，并加以證明其它結論；（2）用三角形全等分析BE與CD相等關系；（3）構件建幾何模型解（添加輔助線、運用勾股定理）決實際問題. 【解】（1）完成作圖，字母標注正確。 證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形。 ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （2）BE=CD 理由同（1）： ∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （3）由（1）（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD =900，則AD＝AB＝1000，∠ABD＝450， ∴BD＝100 連接CD，則由（2）可得BE＝CD。 ∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900， 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100 ∴CD＝＝100 ∴BE的長為100米 【方法指導】本題考查了與等邊三角形、正方形的全等應用實踐操作、探究題.圖形與幾何的實踐、探究題，是新中考比較熱點的命題方向.