高三數(shù)學第一篇二 函數(shù)與導數(shù)刺 第3講 導數(shù)及其應用第1課時 導數(shù)與函數(shù)性質(zhì) 文

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1、第第1 1課時導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)課時導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)考情分析考情分析總綱目錄考點一 導數(shù)的幾何意義考點二 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考點三 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)1.導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)是曲線f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率,曲線f(x)在點P處的切線的斜率k=f (x0),相應的切線方程為y-f(x0)=f (x0)(x-x0).第第1 1課時導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)課時導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)考點一 導數(shù)的幾何意義2.四個易錯導數(shù)公式(1)(sin x)=cos x;(2)(cos x)=-sin x;(3)(ax)=axln a(a0且a1);(4)(logax)=(a0且

2、a1).1lnxa典型例題典型例題(1)(2017課標全國,14,5分)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為 .(2)(2017云南第一次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=axln x+b(a,bR),若f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y=0,則a+b= .1x答案答案(1)x-y+1=0(2)4解析解析(1)y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.(2)由題意,得f (x)=aln x+a,所以f (1)=a,因為函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,則21-b=0,所以b=2,故a+b

3、=4.1x21x方法歸納方法歸納求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0,y0),求切線方程求出切線的斜率f (x0),由點斜式寫出方程;(2)已知切線的斜率k,求切線方程設(shè)切點P(x0,y0),通過方程k=f (x0)解得x0,再由點斜式寫出方程;(3)已知切線上一點(非切點),求切線方程設(shè)切點P(x0,y0),利用導數(shù)求得切線斜率f (x0),再由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點斜式或兩點式寫出方程.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017廣東廣州綜合測試(一)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線方程為x+y=0

4、,則點P的坐標為()A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)答案答案 D由題意知,f (x)=3x2+2ax,所以曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率為f (x0)=3+2ax0,又切線方程為x+y=0,所以x00,且解得或所以當時,點P的坐標為(1,-1);當時,點P的坐標為(-1,1),故選D.20 x20032000321,0,xaxxxax 02,1ax 02,1,ax 01,2xa 01,2xa 2.(2017四川成都第二次檢測)若曲線y=f(x)=ln x+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,則實數(shù)a的取值范圍是()A

5、. B.C.(0,+) D.0,+)1,21,2答案答案 D f (x)=+2ax=(x0),根據(jù)題意有f (x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即2a-(x0)恒成立,所以a0,故實數(shù)a的取值范圍為0,+).故選D.1x221axx21x3.(2017四川成都第一次檢測)已知曲線C1:y2=tx(y0,t0)在點M處的切線與曲線C2:y=ex+1+1也相切,則t的值為()A.4e2 B.4eC. D. 4,2t2e4e4答案答案 A由y=,得y=,則切線斜率為k=,所以切線方程為y-2=.即y=x+1.設(shè)切線與曲線y=ex+1+1的切點為(x0,y0).由y=ex+1+1

6、,得y=ex+1,則由=,得切點坐標為,故切線方程又可表示為y-1=,即y=x-ln+1,所以由題意,得-ln+1=1,即ln=2,解得t=4e2,故選A.tx2ttx4t4t4xt4t01ex 4tln1,144tt4t4tln14tx4t4t4t2t4t4t2t4t考點二 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f (x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件,如函數(shù)f(x)=x3在(-,+)上單調(diào)遞增,但f (x)0.(2)f (x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件,當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f (x)=0時,則f(x)為常數(shù)函數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性.典型例題典型例題(2017課

7、標全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)0,求a的取值范圍.解析解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-,+),f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,則f(x)=e2x,在(-,+)單調(diào)遞增.若a0,則由f (x)=0得x=ln a.當x(-,ln a)時, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增.若a0,則由f (x)=0得x=ln.當x時,f (x)0.故f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,則由

8、(1)得,當x=ln a時, f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a2ln a,從而當且僅當-a2ln a0,即a1時, f(x)0.若a0).(1)當m=1時,求曲線y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程;(2)討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上的單調(diào)性.1xx 解析解析(1)當m=1時,y=f(x)g(x)=,y=,x=1時,切線的斜率k=y|x=1=,又切線過點(1,0),所以切線方程為y=(x-1),即x-2y-1=0.(2)由已知得,F(x)=mln x-,所以F(x)=-=,當m0時,F(x)0時,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,=(2m-1)2

9、-4m2=1-4m,當0,即m時,k(x)0恒成立,此時F(x)0,函數(shù)F(x)在(0,+)上單ln1xxx2(1 ln )(1)ln(1)x xxxx2ln1(1)xxx12121xx mx21(1)x22(1)(1)m xxx x22(21)(1)mxmxmx x14調(diào)遞增,當0,即0m時,方程mx2+(2m-1)x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,設(shè)為x1,x2,并令x1x2,則所以0 x11x2,其中x1=,x2=,此時,函數(shù)F(x)在(0,x1),(x2,+)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減.綜上所述,當m0時,F(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;當0m0,右側(cè)f (x)0,則f(x0

10、)為函數(shù)f(x)的極大值;若在x0附近左側(cè)f (x)0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,則f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.典型例題典型例題(2017山東,20,13分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2,aR.(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3, f(3)處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.解析(1)由題意f (x)=x2-ax,所以當a=2時, f(3)=0, f (x)=x2-2x,所以f (3)

11、=3,因此,曲線y=f(x)在點(3, f(3)處的切線方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因為g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x1312=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,則h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為h(0)=0,所以當x0時,h(x)0;當x0時,h(x)0.當a0時,g(x)=(x-a)(x-sin x),當x(-,a)時,x-a0,g(x)單調(diào)遞增;當x(a,0)時,x-a0,g(x)0,g

12、(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以當x=a時g(x)取到極大值,極大值是g(a)=-a3-sin a,當x=0時g(x)取到極小值,極小值是g(0)=-a.當a=0時,g(x)=x(x-sin x),當x(-,+)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值.當a0時,g(x)=(x-a)(x-sin x),當x(-,0)時,x-a0,g(x)單調(diào)遞增;當x(0,a)時,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以當x=0時g(x)取到極大值,極大值是g(0)=-a;16當x=a時g(x)取到極小值,極小值是g(a)=-a3-sin

13、 a.綜上所述:當a0時,函數(shù)g(x)在(-,0)和(a,+)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)=-a,極小值是g(a)=-a3-sin a.161616方法歸納方法歸納利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值,則先求方程f (x)=0的全部實根,再檢驗f (x)在方程根的左右兩側(cè)值的符號.(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f (x)=0的根的大小或存在情況,從而求解.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b的最值時,在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.跟蹤集訓跟蹤集訓(

14、2017北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=excos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解析(1)因為f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.當x時,h(x)0,所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.0,20,20,2所以對任意x有h(x)h

15、(0)=0,即f (x)0且x1, f (x)=-+=,記g(x)=x2-(m+2)x+1,x0,且x1,要使函數(shù)f(x)在(e,+)上有極值點,則方程x2-(m+2)x+1=0有兩個不同的實根x1,x2,=-(m+2)2-40,解得m0或me,所以0 x1e0,所以只需即解得me+-2.21mxmx(1)(1)(1)m xxx1mx2(1)mx1x22(2)1(1)xmxx x1e(e)0,10,egg 22e(2)e10,11(2)10,eemm 1e答案答案 1e2,e3.函數(shù)f(x)=x3+x2-3x-4在0,2上的最小值是 .13答案答案- 173解析解析 f (x)=x2+2x-3,令f (x)=0,得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-, f(2)=-,故f(x)在0,2上的最小值是f(1)=-.1731031734.若函數(shù)f(x)=-x3+x2+2ax在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則a的取值范圍是 .13122,3答案答案 1,9解析解析對f(x)求導,得f (x)=-x2+x+2a=-+2a.當x時, f (x)的最大值為f =+2a,令+2a0,解得a-.所以a的取值范圍是.212x142,3232929191,9