2021中考數(shù)學(xué) 中檔題型訓(xùn)練五 圓的有關(guān)計(jì)算、證明與探究

圓的有關(guān)計(jì)算、證明與探究 圓的有關(guān)計(jì)算與證明是貴陽中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計(jì)算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時(shí)要注意已知條件之間的相互聯(lián)系． 　與圓的有關(guān)性質(zhì) 【例1】(黔西南中考)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求證：CB∥PD； (2)若BC＝3，sin∠P＝，求⊙O的直徑． 【解析】(1)通過圓周角轉(zhuǎn)換找出一組內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)通過連接直徑所對圓周角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解決直徑問題． 【學(xué)生解答】 1．(黃石中考)如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是的中點(diǎn)． (1)求證：AB平分∠OAC； (2)延長OA至P使得OA＝AP，連接PC，若⊙O的半徑R＝1，求PC的長． 　圓的切線的性質(zhì)與判定 【例2】(雅安中考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點(diǎn)，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點(diǎn)E. (1)求證：CD為⊙O的切線； (2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π) 【解析】(1)證∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S陰影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解． 【學(xué)生解答】 2．(黃岡中考)已知：如圖，在△ABC中 ，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)P.求證： (1)∠BCP＝∠BAN； (2)＝. 3．(深圳中考)如圖(1)，水平放置著一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，開始的時(shí)候BD＝1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動． (1)當(dāng)B和O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動的時(shí)間； (2)如圖(2)，當(dāng)AC與半圓相切時(shí)，求AD； (3)如圖(3)，當(dāng)AB和DE重合時(shí)，求證：CF2＝CG·CE. 4．(臨沂中考)如圖，點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD. (1)求證：AD平分∠BAC； (2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留π) 　圓與相似及三角函數(shù)綜合 【例3】(資陽中考)如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E，連接AD. (1)求證：△CDE∽△CAD； (2)若AB＝2，AC＝2，求AE的長． 【解析】(1)利用圓的知識證角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知識解決線段長度的計(jì)算． 【學(xué)生解答】 5．(樂山中考)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD＝DC，延長CB交⊙O于點(diǎn)E. (1)圖甲的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長？請說明理由； (2)如圖乙，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F. ①若CF＝CD時(shí)，求sin∠CAB的值； ②若CF＝aCD(a>0)時(shí)，試猜想sin∠CAB的值．(用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果)