珍藏初中數(shù)學二次函數(shù)教案.doc
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6.1 二次函數(shù)(1) 教學目標: (1)能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。 (2)注重學生參與,聯(lián)系實際,豐富學生的感性認識,培養(yǎng)學生的良好的學習習慣 重點難點: 能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。 教學過程: 一、試一試 1.設矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為xm,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進而得出矩形的面積ym2.試將計算結果填寫在下表的空格中, AB長x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC長(m) 12 面積y(m2) 48 2.x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎? 3.我們發(fā)現(xiàn),當AB的長(x)確定后,矩形的面積(y)也隨之確定, y是x的函數(shù),試寫出這個函數(shù)的關系式, 對于1.,可讓學生根據(jù)表中給出的AB的長,填出相應的BC的長和面積,然后引導學生觀察表格中數(shù)據(jù)的變化情況,提出問題:(1)從所填表格中,你能發(fā)現(xiàn)什么?(2)對前面提出的問題的解答能作出什么猜想?讓學生思考、交流、發(fā)表意見,達成共識:當AB的長為5cm,BC的長為10m時,圍成的矩形面積最大;最大面積為50m2。 對于2,可讓學生分組討論、交流,然后各組派代表發(fā)表意見。形成共識,x的值不可以任意取,有限定范圍,其范圍是0 <x <10。 對于3,教師可提出問題,(1)當AB=xm時,BC長等于多少m?(2)面積y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0 <x <10)就是所求的函數(shù)關系式. 二、提出問題 某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售,一天可銷出約100件.該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤,經(jīng)過市場調查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元,其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時,能使銷售利潤最大? 在這個問題中,可提出如下問題供學生思考并回答: 1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系? [利潤=(售價-進價)銷售量] 2.如果不降低售價,該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元? [10-8=2(元),(10-8)100=200(元)] 3.若每件商品降價x元,則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品? [(10-8-x);(100+100x)] 4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取,請求出它的范圍, [x的值不能任意取,其范圍是0≤x≤2] 5.若設該商品每天的利潤為y元,求y與x的函數(shù)關系式。 [y=(10-8-x) (100+100x)(0≤x≤2)] 將函數(shù)關系式y(tǒng)=x(20-2x)(0 <x <10=化為: y=-2x2+20x (0<x<10)……………………………(1) 將函數(shù)關系式y(tǒng)=(10-8-x)(100+100x)(0≤x≤2)化為: y=-100x2+100x+20D (0≤x≤2)……………………(2) 三、觀察;概括 1.教師引導學生觀察函數(shù)關系式(1)和(2),提出以下問題讓學生思考回答; (1)函數(shù)關系式(1)和(2)的自變量各有幾個? (各有1個) (2)多項式-2x2+20和-100x2+100x+200分別是幾次多項式? (分別是二次多項式) (3)函數(shù)關系式(1)和(2)有什么共同特點? (都是用自變量的二次多項式來表示的) (4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什么共同特點? 讓學生討論、交流,發(fā)表意見,歸結為:自變量x為何值時,函數(shù)y取得最大值。 2.二次函數(shù)定義:形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù),a叫做二次函數(shù)的系數(shù),b叫做一次項的系數(shù),c叫作常數(shù)項. 四、課堂練習 1.(口答)下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)? (1)y=5x+1 (2)y=4x2-1 (3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1 2.P3練習第1,2題。 五、小結 1.請敘述二次函數(shù)的定義. 2,許多實際問題可以轉化為二次函數(shù)來解決,請你聯(lián)系生活實際,編一道二次函數(shù)應用題,并寫出函數(shù)關系式。 六、作業(yè):略 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(1) [教學目標] 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象,概括出圖象的特點及函數(shù)的性質. [教學過程] [新課引入] 我們已經(jīng)知道,一次函數(shù),反比例函數(shù)的圖象分別是 、 ,那么二次函數(shù)的圖象是什么呢? (1)描點法畫函數(shù)的圖象前,想一想,列表時如何合理選值?以什么數(shù)為中心?當x取互為相反數(shù)的值時,y的值如何? (2)觀察函數(shù)的圖象,你能得出什么結論? [例題精講] 例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并指出它們有何共同點?有何不同點? (1) (2) 解 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 分別描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,這兩個函數(shù)的圖象都是拋物線,如圖26.2.1. 共同點:都以y軸為對稱軸,頂點都在坐標原點. 不同點:的圖象開口向上,頂點是拋物線的最低點,在對稱軸的左邊,曲線自左向右下降;在對稱軸的右邊,曲線自左向右上升. 的圖象開口向下,頂點是拋物線的最高點,在對稱軸的左邊,曲線自左向右上升;在對稱軸的右邊,曲線自左向右下降. 回顧與反思 在列表、描點時,要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性,因為圖象是拋物線,因此,要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接. 例2.已知是二次函數(shù),且當時,y隨x的增大而增大. (1)求k的值; (2)求頂點坐標和對稱軸. 解 (1)由題意,得, 解得k=2. (2)二次函數(shù)為,則頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸. 例3.已知正方形周長為Ccm,面積為S cm2. (1)求S和C之間的函數(shù)關系式,并畫出圖象; (2)根據(jù)圖象,求出S=1 cm2時,正方形的周長; (3)根據(jù)圖象,求出C取何值時,S≥4 cm2. 分析 此題是二次函數(shù)實際應用問題,解這類問題時要注意自變量的取值范圍;畫圖象時,自變量C的取值應在取值范圍內. 解 (1)由題意,得. 列表: C 2 4 6 8 … 1 4 … 描點、連線,圖象如圖26.2.2. (2)根據(jù)圖象得S=1 cm2時,正方形的周長是4cm. (3)根據(jù)圖象得,當C≥8cm時,S≥4 cm2. 回顧與反思 (1)此圖象原點處為空心點. (2)橫軸、縱軸字母應為題中的字母C、S,不要習慣地寫成x、y. (3)在自變量取值范圍內,圖象為拋物線的一部分. [當堂課內練習] 1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象,并分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標. (1) (2) (3) 2.(1)函數(shù)的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ; (2)函數(shù)的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 . 3.已知等邊三角形的邊長為2x,請將此三角形的面積S表示成x的函數(shù),并畫出圖象的草圖. 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(2) [教學目標] 會畫出這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質. [教學過程] [例題精講] 例1.在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)與的圖象. 解 列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 20 10 4 2 4 10 20 … 描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖26.2.3所示. 回顧與反思 當自變量x取同一數(shù)值時,這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關系?反映在圖象上,相應的兩個點之間的位置又有什么關系? 探索 觀察這兩個函數(shù),它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此說出函數(shù)與的圖象之間的關系嗎? 例2.在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)與的圖象,并說明,通過怎樣的平移,可以由拋物線得到拋物線. 解 列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 … 描點、連線,畫出這兩個函數(shù)的圖象,如圖26.2.4所示. 可以看出,拋物線是由拋物線向下平移兩個單位得到的. 回顧與反思 拋物線和拋物線分別是由拋物線向上、向下平移一個單位得到的. 探索 如果要得到拋物線,應將拋物線作怎樣的平移? 回顧與反思 (a、k是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標歸納如下: 開口方向 對稱軸 頂點坐標 [當堂課內練習] 1. 在同一直角坐標系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象: , , . 觀察三條拋物線的相互關系,并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位置.你能說出拋物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎? 2.拋物線的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ,它可以看作是由拋物線向 平移 個單位得到的. 3.函數(shù),當x 時,函數(shù)值y隨x的增大而減?。攛 時,函數(shù)取得最 值,最 值y= . 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(3) [教學目標] 會畫出這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質. [教學過程] [新課引入] 我們已經(jīng)了解到,函數(shù)的圖象,可以由函數(shù)的圖象上下平移所得,那么函數(shù)的圖象,是否也可以由函數(shù)平移而得呢?畫圖試一試,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎? [例題精講] 例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象. , ,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 解 列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 0 2 8 … … 8 2 0 … 描點、連線,畫出這三個函數(shù)的圖象,如圖26.2.5所示.它們的開口方向都向上;對稱軸分別是y軸、直線x= -2和直線x=2;頂點坐標分別是(0,0),(-2,0),(2,0). 回顧與反思 對于拋物線,當x 時,函數(shù)值y隨x的增大而減??;當x 時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;當x 時,函數(shù)取得最 值,最 值y= . 探索 拋物線和拋物線分別是由拋物線向左、向右平移兩個單位得到的.如果要得到拋物線,應將拋物線作怎樣的平移? 例2.不畫出圖象,你能說明拋物線與之間的關系嗎? 解 拋物線的頂點坐標為(0,0);拋物線的頂點坐標為(-2,0). 因此,拋物線與形狀相同,開口方向都向下,對稱軸分別是y軸和直線.拋物線是由向左平移2個單位而得的. 回顧與反思 (a、h是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標歸納如下: 開口方向 對稱軸 頂點坐標 [當堂課內練習] 1.畫圖填空:拋物線的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 ,它可以看作是由拋物線向 平移 個單位得到的. 2.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象. , ,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(4) [教學目標] 1.掌握把拋物線平移至+k的規(guī)律; 2.會畫出+k 這類函數(shù)的圖象,通過比較,了解這類函數(shù)的性質. [教學過程] [新課引入] 由前面的知識,我們知道,函數(shù)的圖象,向上平移2個單位,可以得到函數(shù)的圖象;函數(shù)的圖象,向右平移3個單位,可以得到函數(shù)的圖象,那么函數(shù)的圖象,如何平移,才能得到函數(shù)的圖象呢? [例題精講] 例1.在同一直角坐標系中,畫出下列函數(shù)的圖象. ,,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 解 列表. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 8 2 0 2 … … 6 0 -2 0 … 描點、連線,畫出這三個函數(shù)的圖象,如圖26.2.6所示. 它們的開口方向都向 ,對稱軸分別為 、 、 ,頂點坐標分別為 、 、 .請同學們完成填空,并觀察三個圖象之間的關系. 回顧與反思 二次函數(shù)的圖象的上下平移,只影響二次函數(shù)+k中k的值;左右平移,只影響h的值,拋物線的形狀不變,所以平移時,可根據(jù)頂點坐標的改變,確定平移前、后的函數(shù)關系式及平移的路徑.此外,圖象的平移與平移的順序無關. 探索 你能說出函數(shù)+k(a、h、k是常數(shù),a≠0)的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?試填寫下表. +k 開口方向 對稱軸 頂點坐標 例2.把拋物線向上平移2個單位,再向左平移4個單位,得到拋物線,求b、c的值. 分析 把拋物線向上平移2個單位,再向左平移4個單位,得到拋物線,也就意味著把拋物線向下平移2個單位,再向右平移4個單位,得到拋物線.那么,本題還可以用更簡潔的方法來解,請你試一試. [當堂課內練習] 1.將拋物線如何平移可得到拋物線 ( ) A.向左平移4個單位,再向上平移1個單位 B.向左平移4個單位,再向下平移1個單位 C.向右平移4個單位,再向上平移1個單位 D.向右平移4個單位,再向下平移1個單位 2.把拋物線向左平移3個單位,再向下平移4個單位,所得的拋物線的函數(shù)關系式為 . 3.拋物線可由拋物線向 平移 個單位,再向 平移 個單位而得到. 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(5) [教學目標] 1.能通過配方把二次函數(shù)化成+k的形式,從而確定開口方向、對稱軸和頂點坐標; 2.會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象. [教學過程] [新課引入] 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn),二次函數(shù)的圖象,可以由函數(shù)的圖象先向 平移 個單位,再向 平移 個單位得到,因此,可以直接得出:函數(shù)的開口 ,對稱軸是 ,頂點坐標是 .那么,對于任意一個二次函數(shù),如,你能很容易地說出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標,并畫出圖象嗎? [例題精講] 例1.通過配方,確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標,再描點畫圖. 解 因此,拋物線開口向下,對稱軸是直線x=1,頂點坐標為(1,8). 由對稱性列表: x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描點、連線,如圖26.2.7所示. 回顧與反思 (1)列表時選值,應以對稱軸x=1為中心,函數(shù)值可由對稱性得到,. (2)描點畫圖時,要根據(jù)已知拋物線的特點,一般先找出頂點,并用虛線畫對稱軸,然后再對稱描點,最后用平滑曲線順次連結各點. 探索 對于二次函數(shù),你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標嗎?請你完成填空:對稱軸 ,頂點坐標 . 例2.已知拋物線的頂點在坐標軸上,求的值. 分析 頂點在坐標軸上有兩種可能:(1)頂點在x軸上,則頂點的縱坐標等于0;(2)頂點在y軸上,則頂點的橫坐標等于0. 解 , 則拋物線的頂點坐標是. 當頂點在x軸上時,有 , 解得 . 當頂點在y軸上時,有 , 解得 或. 所以,當拋物線的頂點在坐標軸上時,有三個值,分別是 –2,4,8. [當堂課內練習] 1.(1)二次函數(shù)的對稱軸是 . (2)二次函數(shù)的圖象的頂點是 ,當x 時,y隨x的增大而減?。? (3)拋物線的頂點橫坐標是-2,則= . 2.拋物線的頂點是,則、c的值是多少? 6.3 用函數(shù)的觀點看一元二次方程(1) 教學目標: 1.通過探索,使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。 2.使學生能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質解決實際問題,提高學生用數(shù)學的意識。 3.進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結合思想。 重點難點: 重點:使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系,能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質去解決實際問題是教學的重點。 難點:進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結合的思想是教學的難點. 教學過程: 一、引言 在現(xiàn)實生活中,我們常常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關的問題,如拱橋跨度、拱高計算等,利用二次函數(shù)的有關知識研究和解決這些問題,具有很現(xiàn)實的意義。本節(jié)課,請同學們共同研究,嘗試解決以下幾個問題。 二、探索問題 問題1:某公園要建造一個圓形的噴水池,在水池中央垂直于水面豎一根柱子,上面的A處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內,柱高為0.8m。水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,如圖(1)所示。 根據(jù)設計圖紙已知:如圖(2)中所示直角坐標系中,水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式是y=-x2+2x+。 (1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不計其他的因素,那么水池至少為多少時,才能使噴出的水流都落在水池內? 教學要點 1.讓學生討論、交流,如何將文學語言轉化為數(shù)學語言,得出問題(1)就是求函數(shù)y=-x2+2x+最大值,問題(2)就是求如圖(2)B點的橫坐標; 2.學生解答,教師巡視指導; 3.讓一兩位同學板演,教師講評。 問題2:一個涵洞成拋物線形,它的截面如圖(3)所示,現(xiàn)測得,當水面寬AB=1.6m時,涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時,離開水面1.5m處,涵洞寬ED是多少?是否會超過1m? 教學要點 1.教師分析:根據(jù)已知條件,要求ED的寬,只要求出FD的長度。在如圖(3)的直角坐標系中,即只要求出D點的橫坐標。因為點D在涵洞所成的拋物線上,又由已知條件可得到點D的縱坐標,所以利用拋物線的函數(shù)關系式可以進一步算出點D的橫坐標。 2.讓學生完成解答,教師巡視指導。 3.教師分析存在的問題,書寫解答過程。 解:以AB的垂直平分線為y軸,以過點O的y軸的垂線為x軸,建立直角坐標系。 這時,涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,開口向下,所以可設它的 函數(shù)關系式為:y=ax2 (a<0) (1) 因為AB與y軸相交于C點,所以CB==0.8(m),又OC=2.4m,所以點B的坐標是(0.8,-2.4)。 因為點B在拋物線上,將它的坐標代人(1),得 -2.4=a0.82 所以:a=- 因此,函數(shù)關系式是 y=-x2 (2) 因為OF=1.5m,設FD=x1m(x1>0),則點D坐標為(x1,-1.5)。因為點D的坐標在拋物線上,將它的坐標代人(2),得 -1.5=-x12 x12= x1= x1=-不符合假設,舍去,所以x1=。 ED=2FD=2x1=2=≈3.162≈1.26(m) 所以涵洞ED是m,會超過1m。 問題3:畫出函數(shù)y=x2-x-3/4的圖象,根據(jù)圖象回答下列問題。 (1)圖象與x軸交點的坐標是什么; (2)當x取何值時,y=0?這里x的取值與方程x2-x-=0有什么關系? (3)你能從中得到什么啟發(fā)? 教學要點 1.先讓學生回顧函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的畫法,按列表、描點、連線等步驟畫出函數(shù)y=x2-x-的圖象。 2.教師巡視,與學生合作、交流。 3.教師講評,并畫出函數(shù)圖象,如圖(4)所示。 4.教師引導學生觀察函數(shù)圖象,回答(1)提出的問題,得到圖象與x軸交點的坐標分別是(-,0)和(,0)。 5.讓學生完成(2)的解答。教師巡視指導并講評。 6.對于問題(3),教師組織學生分組討論、交流,各組選派代表發(fā)表意見,全班交流,達成共識:從“形”的方面看,函數(shù)y=x2-x-的圖象與x軸交點的橫坐標,即為方程x2-x-=0的解;從“數(shù)”的方面看,當二次函數(shù)y=x2-x-的函數(shù)值為0時,相應的自變量的值即為方程x2-x-=0的解。更一般地,函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=0的解;當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0時,相應的自變量的值即為方程ax2+bx+c=0的解,這一結論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關系。 三、試一試 根據(jù)問題3的圖象回答下列問題。 (1)當x取何值時,y<0?當x取何值時,y>0? (當-<x<時,y<0;當x<-或x>時,y>0) (2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問題,即x2-x-<0的解集是什么?x2-x->0的解集是什么?) 想一想:二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關系? 讓學生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關系,討論、交流,達成共識: (1)從“形”的方面看,二次函數(shù)y=ax2+bJ+c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標,即為一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x軸下方的圖象上的點的橫坐標.即為一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。 (2)從“數(shù)”的方面看,當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于0時,相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于0時,相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。這一結論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關系。 四、課堂練習: P23練習1、2。 五、小結: 1.通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?有什么困惑? 2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點,試說明,元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情況。 六、作業(yè): 1. 二次函數(shù)y=x2-3x-18的圖象與x軸有兩交點,求兩交點間的距離。 2.已知函數(shù)y=x2-x-2。 (1)先確定其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標,再畫出圖象 (2)觀察圖象確定:x取什么值時,①y=0,②y>0;③y<0。 3.學校建造一個圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示,建立直角坐標系(如圖(6)),水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關系式是y=-x2+x+,請回答下列問題: (1)花形柱子OA的高度; (2)若不計其他因素,水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水不至于落在池外? 4.如圖(7),一位籃球運動員跳起投籃,球沿拋物線y=-x2+3.5運行,然后準確落人籃框內。已知籃框的中心離地面的距離為3.05米。 (1)球在空中運行的最大高度為多少米? (2)如果該運動員跳投時,球出手離地面的高度為2.25米,請問他距離籃框中心的水平距離是多少? 6.3 用函數(shù)的觀點看一元二次方程(2) 教學目標: 1.復習鞏固用函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c=0的解。 2.讓學生體驗函數(shù)y=x2和y=bx+c的交點的橫坐標是方程x2=bx+c的解的探索過程,掌握用函數(shù)y=x2和y=bx+c圖象交點的方法求方程ax2=bx+c的解。 3.提高學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結合思想。 重點難點: 重點;用函數(shù)圖象法求方程的解以及提高學生綜合解題能力是教學的重點。 難點:提高學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結合的思想是教學的難點。 教學過程: 一、復習鞏固 1.如何運用函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c的解? 2.完成以下兩道題: (1)畫出函數(shù)y=x2+x-1的圖象,求方程x2+x-1=0的解。(精確到0.1) (2)畫出函數(shù)y=2x2-3x-2的圖象,求方程2x2-3x-2=0的解。 教學要點 1.學生練習的同時,教師巡視指導, 2.教師根據(jù)學生情況進行講評。 解:略 函數(shù)y=2x2-3x-2的圖象與x軸交點的橫坐標分別是x1=-和x2=2,所以一元二次方程的解是x1=-和x2=2。 二、探索問題 問題1:(P23問題4)育才中學初三(3)班學生在上節(jié)課的作業(yè)中出現(xiàn)了爭論:求方程x2=x十3的解時,幾乎所有學生都是將方程化為x2-x-3=0,畫出函數(shù)y=x2-x-3的圖象,觀察它與x軸的交點,得出方程的解。唯獨小劉沒有將方程移項,而是分別畫出了函數(shù)y=x2和y=x+2的圖象,如圖(3)所示,認為它們的交點A、B的橫坐標-和2就是原方程的解. 提問: 1. 這兩種解法的結果一樣嗎? 2.小劉解法的理由是什么? 讓學生討論,交流,發(fā)表不同意見,并進行歸納。 3.函數(shù)y=x2和y=bx+c的圖象一定相交于兩點嗎?你能否舉出例子加以說明? 4,函數(shù)y=x2和y=bx+c的圖象的交點橫坐標一定是一元二次方程x2=bx+c的解嗎? 5.如果函數(shù)y=x2和y=bx+c圖象沒有交點,一元二次方程x2=bx+c的解怎樣? 三、做一做 利用圖26.3.4(見P24頁),運用小劉方法求下列方程的解,并檢驗小劉的方法是否合理。 (1)x2+x-1=0(精確到0.1); (2)2x2-3x-2=0。 教學要點:①要把(1)的方程轉化為x2=-x+1,畫函數(shù)y=x2和y=-x+1的圖象; ②要把(2)的方程轉化為x2=x+1,畫函數(shù)y=x2和y=x+1的圖象;③在學生練習的同時,教師巡視指導;④解的情況分別與復習兩道題的結果進行比較。 四、綜合運用 已知拋物線y1=2x2-8x+k+8和直線y2=mx+1相交于點P(3,4m)。 (1)求這兩個函數(shù)的關系式; (2)當x取何值時,拋物線與直線相交,并求交點坐標。 解:(1)因為點P(3,4m)在直線y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1 所以y1=x+1,P(3,4)。 因為點P(3,4)在拋物線y1=2x2-8x+k+8上,所以有 4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10 (2)依題意,得 解這個方程組,得, 所以拋物線與直線的兩個交點坐標分別是(3,4),(1.5,2.5)。 五、小結: 1.如何用畫函數(shù)圖象的方法求方程韻解? 2.你能根據(jù)方程組:的解的情況,來判定函數(shù)y=x2與y=bx+c圖象交點個數(shù)嗎?請說說你的看法。 六、作業(yè): 1. 利用函數(shù)的圖象求下列方程的解:(1)x2+x-6=0; (2)2x2-3x-5=0 2.利用函數(shù)的圖象求下列方程的解。(1)、, (2)、 3.填空。 (1)拋物線y=x2-x-2與x軸的交點坐標是______,與y軸的交點坐標是______。 (2)拋物線y=2x2-5x+3與y軸的交點坐標是______,與x軸的交點坐標是______。 4.已知拋物線y1=x2+x-k與直線y=-2x+1的交點的縱坐標為3。 (1)求拋物線的關系式; (2)求拋物線y=x2+x-k與直線y=-2x+1的另一個交點坐標. 5.已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=x-2相交于(m,-2),(n,3)兩點,且拋物線的對稱軸為直線x=3,求函數(shù)的關系式。 26.3 實際問題與二次函數(shù)(1) 教學目標: 1.使學生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數(shù)y=ax2的關系式。 2. 使學生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數(shù)的關系式。 3.讓學生體驗二次函數(shù)的函數(shù)關系式的應用,提高學生用數(shù)學意識。 重點難點: 重點:已知二次函數(shù)圖象上一個點的坐標或三個點的坐標,分別求二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+bx+c的關系式是教學的重點。 難點:已知圖象上三個點坐標求二次函數(shù)的關系式是教學的難點。 教學過程: 一、創(chuàng)設問題情境 如圖,某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m,拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎樣畫出模板的輪廓線呢? 分析:為了畫出符合要求的模板,通常要先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,再寫出函?shù)關系式,然后根據(jù)這個關系式進行計算,放樣畫圖。 如圖所示,以AB的垂直平分線為y軸,以過點O的y軸的垂線為x軸,建立直角坐標系。這時,屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點在原點,對稱軸是y軸,開口向下,所以可設它的函數(shù)關系式為: y=ax2 (a<0) (1) 因為y軸垂直平分AB,并交AB于點C,所以CB= =2(cm),又CO=0.8m,所以點B的坐標為(2,-0.8)。 因為點B在拋物線上,將它的坐標代人(1),得 -0.8=a22 所以a=-0.2 因此,所求函數(shù)關系式是y=-0.2x2。 請同學們根據(jù)這個函數(shù)關系式,畫出模板的輪廓線。 二、引申拓展 問題1:能不能以A點為原點,AB所在直線為x軸,過點A的x軸的垂線為y軸,建立直角坐標系? 讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的,以A點為原點,AB所在的直線為x軸,過點A的x軸的垂線為y軸,建立直角坐標系也是可行的。 問題2,若以A點為原點,AB所在直線為x軸,過點A的x軸的垂直為y軸,建立直角坐標系,你能求出其函數(shù)關系式嗎? 分析:按此方法建立直角坐標系,則A點坐標為(0,0),B點坐標為(4,0),OC所在直線為拋物線的對稱軸,所以有AC=CB,AC=2m,O點坐標為(2;0.8)。即把問題轉化為:已知拋物線過(0,0)、(4,0);(2,0.8)三點,求這個二次函數(shù)的關系式。 二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c,求這個二次函數(shù)的關系式,跟以前學過求一次函數(shù)的關系式一樣,關鍵是確定o、6、c,已知三點在拋物線上,所以它的坐標必須適合所求的函數(shù)關系式;可列出三個方程,解此方程組,求出三個待定系數(shù)。 解:設所求的二次函數(shù)關系式為y=ax2+bx+c。 因為OC所在直線為拋物線的對稱軸,所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m, 所以O點坐標為(2,0.8),A點坐標為(0,0),B點坐標為(4,0)。 由已知,函數(shù)的圖象過(0,0),可得c=0,又由于其圖象過(2,0.8)、(4,0),可得到解這個方程組,得 所以,所求的二次函數(shù)的關系式為y=-x2+x。 問題3:根據(jù)這個函數(shù)關系式,畫出模板的輪廓線,其圖象是否與前面所畫圖象相同? 問題4:比較兩種建立直角坐標系的方式,你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么? (第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便,這是因為所設函數(shù)關系式待定系數(shù)少,所求出的函數(shù)關系式簡單,相應地作圖象也容易) 請同學們閱瀆P18例7。 三、課堂練習: P18練習1.(1)、(3)2。 四、綜合運用 例1.如圖所示,求二次函數(shù)的關系式。 分析:觀察圖象可知,A點坐標是(8,0),C點坐標為(0,4)。從圖中可知對稱軸是直線x=3,由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形,所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(-2,0),問題轉化為已知三點求函數(shù)關系式。 解:觀察圖象可知,A、C兩點的坐標分別是(8,0)、(0,4),對稱軸是直線x=3。因為對稱軸是直線x=3,所以B點坐標為(-2,0)。 設所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,由已知,這個圖象經(jīng)過點(0,4),可以得到c=4,又由于其圖象過(8,0)、(-2,0)兩點,可以得到解這個方程組,得 所以,所求二次函數(shù)的關系式是y=-x2+x+4 練習: 一條拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(0,0)與(12,0),最高點的縱坐標是3,求這條拋物線的解析式。 五、小結: 二次函數(shù)的關系式有幾種形式,函數(shù)的關系式y(tǒng)=ax2+bx+c就是其中一種常見的形式。二次函數(shù)關系式的確定,關鍵在于求出三個待定系數(shù)a、b、c,由于已知三點坐標必須適合所求的函數(shù)關系式,故可列出三個方程,求出三個待定系數(shù)。 六、作業(yè) 1.P19習題 26.2 4.(1)、(3)、5。 2.選用課時作業(yè)優(yōu)化設計, 每一課時作業(yè)優(yōu)化設計 1. 二次函數(shù)的圖象的頂點在原點,且過點(2,4),求這個二次函數(shù)的關系式。 2.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三點,求這個二次函數(shù)的解析式。 3.如果拋物線y=ax2+Bx+c經(jīng)過點(-1,12),(0,5)和(2,-3),;求a+b+c的值。 4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,求這個二次函數(shù)的關系式; 5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的兩交點的橫坐標是-,,與x軸交點的縱坐標是-5,求這個二次函數(shù)的關系式。 26.3 實際問題與二次函數(shù)(2) 教學目標: 1.復習鞏固用待定系數(shù)法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數(shù)的關系式。 2.使學生掌握已知拋物線的頂點坐標或對稱軸等條件求出函數(shù)的關系式。 重點難點: 根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關系式是教學的重點,也是難點。 教學過程: 一、復習鞏固 1.如何用待定系數(shù)法求已知三點坐標的二次函數(shù)關系式? 2.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,1),B(1,3),C(-1,1)。 (1)求二次函數(shù)的關系式, (2)畫出二次函數(shù)的圖象; (3)說出它的頂點坐標和對稱軸。 答案:(1)y=x2+x+1,(2)圖略,(3)對稱軸x=-,頂點坐標為(-,)。 3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸,頂點坐標各是什么? [對稱軸是直線x=-,頂點坐標是(-,)] 二、范例 例1.已知一個二次函數(shù)的圖象過點(0,1),它的頂點坐標是(8,9),求這個二次函數(shù)的關系式。 分析:二次函數(shù)y=ax2+bx+c通過配方可得y=a(x+h)2+k的形式稱為頂點式,(-h(huán),k)為拋物線的頂點坐標,因為這個二次函數(shù)的圖象頂點坐標是(8,9),因此,可以設函數(shù)關系式為: y=a(x-8)2+9 由于二次函數(shù)的圖象過點(0,1),將(0,1)代入所設函數(shù)關系式,即可求出a的值。 請同學們完成本例的解答。 練習:P18練習1.(2)。 例2.已知拋物線對稱軸是直線x=2,且經(jīng)過(3,1)和(0,-5)兩點,求二次函數(shù)的關系式。 解法1:設所求二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c,因為二次函數(shù)的圖象過點(0,-5),可求得c=-5,又由于二次函數(shù)的圖象過點(3,1),且對稱軸是直線x=2,可以得 解這個方程組,得: 所以所求的二次函數(shù)的關系式為y=-2x2+8x-5。 解法二;設所求二次函數(shù)的關系式為y=a(x-2)2+k,由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3,1)和(0,-5)兩點,可以得到 解這個方程組,得: 所以,所求二次函數(shù)的關系式為y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5。 例3。已知拋物線的頂點是(2,-4),它與y軸的一個交點的縱坐標為4,求函數(shù)的關系式。 解法1:設所求的函數(shù)關系式為y=a(x+h)2+k,依題意,得y=a(x-2)2-4 因為拋物線與y軸的一個交點的縱坐標為4,所以拋物線過點(0,4),于是a(0-2)2-4=4,解得a=2。所以,所求二次函數(shù)的關系式為y=2(x-2)2-4,即y=2x2-8x+4。 解法2:設所求二次函數(shù)的關系式為y=ax2+bx+c?依題意,得解這個方程組,得: 所以,所求二次函數(shù)關系式為y=2x2-8x+4。 三、課堂練習 1. 已知二次函數(shù)當x=-3時,有最大值-1,且當x=0時,y=-3,求二次函數(shù)的關系式。 解法1:設所求二次函數(shù)關系式為y=ax2+bx+c,因為圖象過點(0,3),所以c=3,又由于二次函數(shù)當x=-3時,有最大值-1,可以得到: 解這個方程組,得: 所以,所求二次函數(shù)的關系式為y=x2+x+3。 解法2:所求二次函數(shù)關系式為y=a(x+h)2+k,依題意,得y=a(x+3)2-1 因為二次函數(shù)圖象過點(0,3),所以有 3=a(0+3)2-1 解得a= 所以,所求二次函數(shù)的關系為y=44/9(x+3)2-1,即y=x2+x+3. 小結:讓學生討論、交流、歸納得到:已知二次函數(shù)的最大值或最小值,就是已知該函數(shù)頂點坐標,應用頂點式求解方便,用一般式求解計算量較大。 2.已知二次函數(shù)y=x2+px+q的圖象的頂點坐標是(5,-2),求二次函數(shù)關系式。 簡解:依題意,得 解得:p=-10,q=23 所以,所求二次函數(shù)的關系式是y=x2-10x+23。 四、小結 1,求二次函數(shù)的關系式,常見的有幾種類型? [兩種類型:(1)一般式:y=ax2+bx+c (2)頂點式:y=a(x+h)2+k,其頂點是(-h(huán),k)] 2.如何確定二次函數(shù)的關系式? 讓學生回顧、思考、交流,得出:關鍵是確定上述兩個式子中的待定系數(shù),通常需要三個已知條件。在具體解題時,應根據(jù)具體的已知條件,靈活選用合適的形式,運用待定系數(shù)法求解。 五、作業(yè): 1. 已知拋物線的頂點坐標為(-1,-3),與y軸交點為(0,-5),求二次函數(shù)的關系式。 2.函數(shù)y=x2+px+q的最小值是4,且當x=2時,y=5,求p和q。 3.若拋物線y=-x2+bx+c的最高點為(-1,-3),求b和c。 4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,1),B(-1,0),C(1,0),那么此函數(shù)的關系式是______。如果y隨x的增大而減少,那么自變量x的變化范圍是______。 5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A(0,-5),B(5,0)兩點,它的對稱軸為直線x=2,求這個二次函數(shù)的關系式。 6.如圖是拋物線拱橋,已知水位在AB位置時,水面寬4米,水位上升3米就達到警戒線CD,這時水面寬4米,若洪水到來時,水位以每小時0.25米速度上升,求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂? 第6章 《二次函數(shù)》小結與復習 教學目標: 理解二次函數(shù)的概念,掌握二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質;會用描點法畫拋物線,能確定拋物線的頂點、對稱軸、開口方向,能較熟練地由拋物線y=ax2經(jīng)過適當平移得到y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k的圖象。 重點難點: 1.重點:用配方法求二次函數(shù)的頂點、對稱軸,根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y=ax2圖象的性質。 2.難點:二次函數(shù)圖象的平移。 教學過程: 一、結合例題精析,強化練習,剖析知識點 1.二次函數(shù)的概念,二次函數(shù)y=ax2 (a≠0)的圖象性質。 例:已知函數(shù)是關于x的二次函數(shù),求:(1)滿足條件的m值;(2)m為何值時,拋物線有最低點?求出這個最低點.這時當x為何值時,y隨x的增大而增大?(3)m為何值時,函數(shù)有最大值?最大值是什么?這時當x為何值時,y隨x的增大而減小? 學生活動:學生四人一組進行討論,并回顧例題所涉及的知識點,讓學生代表發(fā)言分析解題方法,以及涉及的知識點。 教師精析點評,二次函數(shù)的一般式為y=ax2+bx+c(a≠0)。強調a≠0.而常數(shù)b、c可以為0,當b,c同時為0時,拋物線為y=ax2(a≠0)。此時,拋物線頂點為(0,0),對稱軸是y軸,即直線x=0。 (1)使是關于x的二次函數(shù),則m2+m-4=2,且m+2≠0,即: m2+m-4=2,m+2≠0,解得;m=2或m=-3,m≠-2 (2)拋物線有最低點的條件是它開口向上,即m+2>0, (3)函數(shù)有最大值的條件是拋物線開口向下,即m+2<0。 拋物線的增減性要結合圖象進行分析,要求學生畫出草圖,滲透數(shù)形結合思想,進行觀察分析。 強化練習;已知函數(shù)是二次函數(shù),其圖象開口方向向下,則m=_____,頂點為_____,當x_____0時,y隨x的增大而增大,當x_____0時,y隨x的增大而減小。 2。用配方法求拋物線的頂點,對稱軸;拋物線的畫法,平移規(guī)律,例:用配方法求出拋物線y=-3x2-6x+8的頂點坐標、對稱軸,并畫出函數(shù)圖象,說明通過怎樣的平移,可得到拋物線y=-3x2。 學生活動:小組討論配方方法,確定拋物線畫法的步驟,探索平移的規(guī)律。充分討論后讓學生代表歸納解題方法與思路。 教師歸納點評: (1)教師在學生合作討論基礎上強調配方的方法及配方的意義,指出拋物線的一般式與頂點式的互化關系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+)2+ (2)強調利用拋物線的對稱性進行畫圖,先確定拋物線的頂點、對稱軸,利用對稱性列表、描點、連線。 (3)拋物線的平移抓住關鍵點頂點的移動,分析完例題后歸納; 投影展示: 強化練習: (1)拋物線y=x2+bx+c的圖象向左平移2個單位。再向上平移3個單位,得拋物線y=x2-2x+1,求:b與c的值。 (2)通過配方,求拋物線y=x2-4x+5的開口方向、對稱軸及頂點坐標,再畫出圖象。 3.知識點串聯(lián),綜合應用。 例:如圖,已知直線AB經(jīng)過x軸上的點A(2,0),且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點,已知B點坐標為(1,1)。 (1)求直線和拋物線的解析式; (2)如果D為拋物線上一點,使得△AOD與△OBC的面積相等,求D點坐標。 學生活動:開展小組討論,體驗用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。 教師點評:(1)直線AB過點A(2,0),B(1,1),代入解析式y(tǒng)=kx+b,可確定k、b,拋物線y=ax2過點B(1,1),代人可確定a。 求得:直線解析式為y=-x+2,拋物線解析式為y=x2。 (2)由y=-x+2與y=x2,先求拋物線與直線的另一個交點C的坐標為(-2,4), S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。 ∵ S△AOD=S△OBC,且OA=2 ∴ D的縱坐標為3 又∵ D在拋物線y=x2上,∴x2=3,即x= ∴ D(-,3)或(,3) 強化練習:函數(shù)y=ax2(a≠0)與直線y=2x-3交于點A(1,b),求: (1)a和b的值; (2)求拋物線y=ax2的頂點和對稱軸; (3)x取何值時,二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大, (4)求拋物線與直線y=-2兩交點及拋物線的頂點所構成的三角形面積。 二、課堂小結 1.讓學生反思本節(jié)教學過程,歸納本節(jié)課復習過的知識點及應用。 2。投影:完成下表: 三、作業(yè): 作業(yè)優(yōu)化設計 一、填空。 1.若二次函數(shù)y=(m+1)x2+m2-2m-3的圖象經(jīng)過原點,則m=______。 2.函數(shù)y=3x2與直線y=kx+3的交點為(2,b),則k=______,b=______。 3.拋物線y=-(x-1)2+2可以由拋物線y=-x2向______方向平移______個單位,再向______方向平移______個單位得到。 4.用配方法把y=-x2+x-化為y=a(x-h(huán))2+k的形式為y=__________________,其開口方向______,對稱軸為______,頂點坐標為______。 二、選擇。 1.函數(shù)y=(m-n)x2+mx+n是二次函數(shù)的條件是( ) A.m、n是常數(shù),且m≠0 B.m、n是常數(shù),且m≠n C. m、n是常數(shù),且n≠0 D. m、n可以為任意實數(shù) 2.直線y=mx+1與拋物線y=2x2-8x+k+8相交于點(3,4),則m、k值為( ) A. B. C. D. 3.下列圖象中,當ab>0時,函數(shù)y=ax2與y=ax+b的圖象是( ) 三、解答題 1.函數(shù) (1)當a取什么值時,它為二次函數(shù)。 (2)當a取什么值時,它為一次函數(shù)。 2.已知拋物線y=x2和直線y=ax+1 (1)求證:不論a取何值,拋物線與直線必有兩個不同舶交點。 (2)設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線與直線的兩個交點,P為線段AB的中點,且點P的橫坐標為,試用a表示點P的縱坐標。 (3)函數(shù)A、B兩點的距離d=|x1-x2|,試用a表示d。 (4)過點C(0,-1)作直線l平行于x軸,試判斷直線l與以AB為直徑的圓的位置關系,并說明理由。- 配套講稿:
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- 珍藏 初中 數(shù)學 二次 函數(shù) 教案
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