畫法幾何第2章 點(diǎn)、直線和平面的投影

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1、高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 一、點(diǎn)的單面投影注意：點(diǎn)的一個(gè)投影不能確定空間點(diǎn)的位置高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 二、點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的投影特性：(1) 點(diǎn)在任意兩個(gè)投影面的投影連線垂直于這兩個(gè)投影面的交軸(2) 點(diǎn)到任意一個(gè)投影面的距離等于點(diǎn)在另兩個(gè)投影面投影到相應(yīng)軸的距離高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 三、點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的投影特性：(1) 點(diǎn)在任意兩個(gè)投影面的投影連線垂直于這兩個(gè)投影面的交軸(2)

2、點(diǎn)到任意一個(gè)投影面的距離等于點(diǎn)在另兩個(gè)投影面投影到相應(yīng)軸的距離高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 三、點(diǎn)的三面投影【例2-1 】已知點(diǎn)A的水平投影和正面投影，求其側(cè)面投影點(diǎn)的二補(bǔ)三作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(b)作法（一）(a)已知(d)作法（三）(c)作法（二）高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié)點(diǎn)的投影四、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)的關(guān)系1點(diǎn)在任意兩個(gè)投影面的投影連線垂直于這兩個(gè)投影面的交線交軸（坐標(biāo)軸）2點(diǎn)到任意一個(gè)投影面的距離等于點(diǎn)在另兩投影面的投影到相應(yīng)坐標(biāo)軸的距離(a)(b)哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系高等學(xué)校新編系

3、列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 四、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)的關(guān)系【例2-2】已知空間四點(diǎn)的坐標(biāo)，A(50,30,30),B(20,40,0),C(10,0,50),D(30,0,0),求作四點(diǎn)的直觀圖和三面投影圖。(d)哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(c)高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 五、特殊點(diǎn)、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn) 1投影面及投影軸上的點(diǎn)特殊點(diǎn)高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影特殊點(diǎn)分角等分面上的點(diǎn)高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 五

4、、特殊點(diǎn)、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方、前方、左方。哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部2兩點(diǎn)的相對(duì)位置左右前后上下左右后 上下 前左右前后左上下右前上下后高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影五、特殊點(diǎn)、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)直觀圖水平重影點(diǎn)投影圖投影特性1.正面投影和側(cè)面投影反映兩點(diǎn)的上下位置2.水平投影重合為一點(diǎn)，上面一點(diǎn)可見，下面一點(diǎn)不可見哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部3重影點(diǎn)高等學(xué)校新編系列電子教案2.正面投影重合為一點(diǎn)，前面一點(diǎn)可見，后面一點(diǎn)不可見哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部正面重影點(diǎn)投影特性：1.水平投影和側(cè)面投影反映兩點(diǎn)的前后位置五、特殊點(diǎn)、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、

5、重影點(diǎn)第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第一節(jié) 點(diǎn)的投影 五、特殊點(diǎn)、兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)投影特性：1.水平投影和正面投影反映兩點(diǎn)的左右位置2.側(cè)面投影重合為一點(diǎn)，左面一點(diǎn)可見，右面一點(diǎn)不可見哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部側(cè)面重影點(diǎn)高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影一、一般位置直線性質(zhì)1直線的三面投影與投影軸都傾斜，任何投影與投影軸的夾角均不反映直線與投影面的傾角。2直線的三面投影均小于實(shí)長。OXZY哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部求解一般位置線段的實(shí)長及

6、傾角是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問題之一，而用直角三角形法求解實(shí)長、傾角又最為方便簡捷。1.直角三角形法的作圖要領(lǐng)用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點(diǎn)相對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。2.直角三角形的四個(gè)要素 直角三角形的四個(gè)要素即：實(shí)長、投影長、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。3.解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯(cuò)。 第二節(jié) 直線的投影 二、線段的實(shí)長與傾角第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)

7、校新編系列電子教案|zA-zB |AB哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ABbbaaXO1.求直線的實(shí)長及對(duì)水平投影面的夾角角 C|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|ab第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ABbaCbXO2.求直線的實(shí)長及對(duì)正面投影面的夾角 角a|YA-YB|aabbAB|YA-YB|AB|YA-YB|Xab第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影a高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部XYAa3.求直線的實(shí)長及對(duì)側(cè)面投影面的夾角 角ZbB baaaXaOYHbYWbbOb|XA-XB|XA-XB|Z第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b高等學(xué)校新編

8、系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部【例題】a|zA-zB|abab|yA-yB|ABABab|zA-zB|Xab已知:線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。AB第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影二、線段的實(shí)長與傾角【例題】已知直線AB的正面投影，A點(diǎn)的水平投影a，直線對(duì)H面的傾角為30度，求直線的水平投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影三、特殊位置直線（一） 投影面平行線1顯實(shí)性直線在其平行的投影面上的投影反映線段的實(shí)長，并且該投影與投影軸夾角

9、反映直線與相應(yīng)投影面的傾角。2直線的其他兩個(gè)投影均平行于相應(yīng)的投影軸(與其平行投影面有關(guān)的軸)，但不反映線段的實(shí)長性質(zhì)bOb高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(1)ab水平線 平行于水平投影面的直線Z ababbXaOzYHYWA aBXaY投影特性：1ab| OX ; ab| OYW2ab=AB3反映、 角的真實(shí)大小高等學(xué)校新編系電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部列 XZYO第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（2）正平線 平行于正面投影面的直線aababbaXbbbaOZYHaYWAB 投影特性： 1ab | OX ; a b| OZ2a b=AB3反映、角

10、的真實(shí)大小高等學(xué)校新編教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部系X列電子ZO第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（3）側(cè)平線 平行于側(cè)面投影面的直線XZabbbaOYHYWaaababABYb投影特性： 1ab| OZ ; ab | OYH2ab =AB3 反映 、 角的真實(shí)大小高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線1積聚性直線在其垂直的投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)。2顯實(shí)性直線的其他兩個(gè)投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映線段的實(shí)長。性質(zhì)1.鉛垂線(H面）高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和

11、平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線2.正垂線(V面）高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線3.側(cè)垂線(W面）高等學(xué)校新編系列電子教案（三）特殊位置直線:（1）從屬于V 面的直線aXbaOYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部YWZabbOYbZB babaXAa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b高等學(xué)校新編系列電子教案（2）從屬于V 投影面的鉛垂線OXZYBa(b)aAabZYWbXaba(b)OYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部a第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影a(b)高等學(xué)校新編系

12、列電子教案ZX aaYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部YWOa(b)bbXZYbBO ObaAa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(3) 從屬于OX 軸的直線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 四、直線上的點(diǎn)性質(zhì)1從屬性點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影必落在直線的同面投影上。2定比性點(diǎn)分線段所成的比例等于點(diǎn)的投影分線段相應(yīng)投影所成的比例。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 四、直線上的點(diǎn) 【例題】 已知點(diǎn)C在水平線AB上，且AC=20mm，求點(diǎn)C的兩面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案baXa哈爾濱

13、工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部bcc【例題】 已知線段AB的投影圖，試將AB分成2：1兩段，求分點(diǎn)C的投影。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部bXaccabaccbXOABbbacaCcHV第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部bXaa【例題】 已知線段AB的投影，試 b定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC 的實(shí)長等于已知長度L。BCcLABzA-zBcab第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影

14、五、兩直線的相對(duì)位置（一）兩直線平行baXdbbcXbabdcdcAaBCcD特性:1.平行性2.定比性a高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié)直線的投影五、兩直線的相對(duì)位置（一）兩直線平行判斷兩側(cè)平線是否平行哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部性質(zhì)：1兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行(平行性)。2平行兩線段之比等于其投影之比。(定比性)特例：對(duì)于一般位置直線，二直線只有兩個(gè)同面投影平行即可判斷其平行。但對(duì)于側(cè)平線，則還要看第三投影面。高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 五、兩直線

15、的相對(duì)位置bbdkkDBbbaXdd哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部（二）兩直線相交dkcCA caKk特性:1.點(diǎn)的投影特性2.定比性acXca高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(a) 第二節(jié) 直線的投影 五、兩直線的相對(duì)位置（二）兩直線相交性質(zhì)：1兩直線相交，其同面投影必然相交，其投影的交點(diǎn)就是交點(diǎn)的投影。2交點(diǎn)分線段所成的比例等于交點(diǎn)的投影分線段同面投影所成的比例。例特例：一般位置直線與側(cè)平線是否相交的判定(b)判別兩直線是否相交(c)哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部五、兩直線的相對(duì)位置a1(2)c2cC1c高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影

16、第二節(jié) 直線的投影相交條件的直線bbddaX特性:1.不符合點(diǎn)的投影特性（三）兩直線交錯(cuò)：凡不滿足平行和 2.交點(diǎn)不符合定比性為交錯(cuò)（交叉或異面）兩直線。d 1(2)bBXDOA 1 22 baa1 dc高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題判斷兩直線的相對(duì)位置cbYWzdaYHcddcobb第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影aXa異面直線高等學(xué)校新編系列電子教案b哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aadcbXc1d1d1c1例題判斷兩直線的相對(duì)位置第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影異面直線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影bbcddcXaa431 3(4)2

17、1(2)例題判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】作直線MN，使它與直線AB平行，與直線CD、EF都相交。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】作水平線MN，使它與AB、CD、EF三直線都相交。直角的投影特性： 時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 ab高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影AHCacbcXb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aAB垂直于AC，且AB平行于H面，則有ab ac 第二節(jié) 直線的投影 六、直角的投影 定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平

18、行于投影面定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。B c abnB高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部HcbaMNnmbmnX ma則有ab acC第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。AAB垂直于AC，且AB平行于H面，距離高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】 求A點(diǎn)到正平線CD間的距離。

19、高等學(xué)校新編系列電子教案例題過點(diǎn)A作EF線段的垂線AB。bbaaOf哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部eefX第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題過點(diǎn)E作線段AB、CD的公垂線EF。fOcabXda dece第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b f高等學(xué)校新編系列電子教案nma哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部Xmnba【例題】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB =2:3。bcAB|yA-yB|bc=BCabc第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部在MN直線上求一點(diǎn)D，使D距H、V面距離相等。作直線的投影，其=30

20、，B點(diǎn)在MN上。已知到直線的距離為40mm，求C點(diǎn)的水平投影。1求和兩直線之間的距離為等腰三角形的底，高等于底長，并與面的夾角30,求等腰三角形的兩投影已知直角三角形ABC，一直角邊BC在EF直線上，長度為40mm,完成它的兩面投影已知直線MN與AB、CD都相交，求MN和AB兩直線所缺的投影第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影直線AB的=30，并通過原點(diǎn)，求作其V、W面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題：已知矩形ABCD兩鄰邊AB，BC的正面投影和AB邊的水平投影，試完成該矩形的兩面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直

21、線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影平面的表示法：(a) 不在同一直線上三點(diǎn) (b) 一直線和直線外一點(diǎn) (c) 兩相交直線(d) 兩平行直線(e) 平面圖形(f)跡線表示法(e)(d)(a)(b)(c)高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 一、一般位置平面abcbacababbaccba哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部cCAB投影特性：1.三投影 均為 ABC的類似形2.不反映、 的真實(shí)角度高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影二、特殊位置平面（一）投影面垂直面投影特性：1. 平面在其垂直的投影面上投影積聚成

22、線段（積聚性），并且該投影與投影軸的夾角等于該平面與相應(yīng)投影面的夾角。2. 平面的其他兩個(gè)投影都小于實(shí)形。高等學(xué)校新編系列電子教案WHPABCaPH cbababb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部accc（一）投影面垂直面1. 鉛垂面H面的平面V第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VWHQababbacccQVAcCabB2. 正垂面V面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（一）投影面垂直面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHSCSWbABWcaabbbaaccc3. 側(cè)垂面W面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（一）投影面垂直面高等學(xué)校新編系列電

23、子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 二、特殊位置平面 （二）投影面平行面投影特性：1顯實(shí)性平面在其平行的投影面上投影反映實(shí)形。2積聚性平面的其他兩個(gè)投影積聚成線段，并且平行于相應(yīng)的投影軸。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHAbaCacab cBbWccbbbaaacc1. 水平面H面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHcabbacbcabacbWacbcaCBA2. 正平面V面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)

24、工程圖學(xué)部3. 側(cè)平面W面的平面VWbabacccabbcbH cbacCAaBa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影第三節(jié) 平面的投影三、平面上的點(diǎn)和直線ABEDabcb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部cdeeFffCad作 作 圖 幾 幾 何 條 條 件 ： 1. 如 如 果 直 直 在 過 過 面 面 面圖 何 件 ： 3. 2. 果 點(diǎn) 線 線 平 平 平 內(nèi) 上一 的 條 已 個(gè) 點(diǎn) 知 線 且 ， ， 行 該 該 平 線 必 上 此 條的 上 一 個(gè) 兩 已 知 已 直 ， 點(diǎn) 上 平 則 則 于 直 點(diǎn) 面 必 在 一 平已

25、面 面 直 。 。 ，則該直線必在平面內(nèi)。平 知 內(nèi) 內(nèi) 線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部L的水平投影l(fā)，求另一投影。 第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題：點(diǎn)K，L屬于三角形ABC平面，已知K的正面投影k，高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題：完成平面圖形的水平投影第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aabbdc Mc例題 以AB為一邊做等邊三角形ABC，使點(diǎn)C屬于H面。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題:已知：平面ABC ，試判ddacabce斷D點(diǎn)是否在ABC平面上。e第二

26、章 點(diǎn)、直線和平面的投影be高等學(xué)校新編系列電子教案ddabcab 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ce例題:已知D 點(diǎn)在ABC 平面上，試求D 點(diǎn)的水平投影及過D點(diǎn)屬于ABC平面的水平線。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案dedabccab哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部e例題:已知點(diǎn)E在ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題:已知平行四邊形ABCD的正面投影和兩鄰邊AB，AD的水平投影，試完成該四邊形的水平投影.高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影

27、例題：已知梯形平面上三角形LMN的正面投影。求它的水平投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、特殊面的跡線投影面垂直面跡線特點(diǎn)：1.平面在它垂直的投影面上的跡線有積聚性，且跡線與投影軸夾角等于平面與相應(yīng)投影軸的傾角。2.平面的其他兩條跡線垂直于相應(yīng)的投影軸。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VWH1. 鉛垂面跡線表示法PHPPH第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案VH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部WQQVQV2. 正垂面跡線表示法第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié)

28、平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案VWHSwSZXOY哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部SwY3. 側(cè)垂面跡線表示法第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、 特殊面的跡線投影面平行面跡線特點(diǎn)：1.平面在它所平行的投影面沒有跡線。2.平面的其他兩條跡線都有積聚性，且跡線平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行面的跡線平面投 影 圖跡 線 特 點(diǎn)直 觀 圖水平面1.沒有水平跡線2.正面跡線PV和側(cè)面跡線PW都有積聚性，且分別平行于OX軸和OYW軸高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱

29、工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、 特殊面的跡線正平面?zhèn)绕矫?.沒有側(cè)面跡線2.水平跡線RH和正面跡線RV都有積聚性，且分別平行于OYH軸和OZ軸1.沒有正面跡線2.水平跡線QH和側(cè)面跡線QW都有積聚性，且分別平行于OX軸和OZ軸高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、特殊面的跡線在兩面投影圖中，用跡線表示特殊位置平面用跡線表示的特殊面哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部PHbaefef RV1.取屬于垂直面的點(diǎn)和直線ba第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案VbaSVba

30、AB2.過一般位置直線可作投影面的垂直面abH過一般位置直線AB作H面的垂直面PHabH過一般位置直線AB作V面的垂直面SH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部PHSVAB P第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(幾何元素表示法)mffeffene (m)e(n)第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(3) 過一般位置直線作投影面的垂直面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(4)過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)aabSVbQWbPH a第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(5)過正垂線作平面(跡線表示法)m（n）

31、mnmnmnm（n）mnPVm （n）SVQVm （n ）RV第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部efeeffeffePHf eSHgg（a ）給題（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面(6)過正平線作平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 五、平行關(guān)系（一）直線與平面平行直線與平面平行(a)直觀圖(b)投影圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部性質(zhì)：如果直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則該直線與平面平行。反之，如果某直線與平面相互平行，則平面內(nèi)必包含與該直線平行的直線。高等學(xué)校新編系列電子教

32、案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（一） 直線與平面平行例2-14 試判別直線AB與平面CDE是否平行。分析：若AB CDE,則必能在CDE內(nèi)作出與AB平行的直線，否則不平行。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（一）直線與平面平行判定直線與鉛垂面是否平行性質(zhì)：當(dāng)判斷直線與特殊位置平面是否平行時(shí)，只要檢查平面的積聚投影與直線的同面投影是否平行。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系【例題】過點(diǎn)A作正平線

33、AB平行于CDE平面。高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（二）平面與平面平行性質(zhì)：如果一平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則兩平面平行。平面與平面平行(a)直觀圖(b)投影圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（二）平面與平面平行【例題】 試判定兩平面ABC與DEFG是否平行。(a)已知(b)作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部判定兩平面是否平行高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（二）平面與平面平行性質(zhì)：判定兩

34、特殊位置平面是否平行時(shí)，只要檢驗(yàn)它們的同名積聚投影是否平行即可。判別兩特殊平面是否平行哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 六、相交關(guān)系（一）特殊情況相交 1、投影面垂直線與一般位置平面相交性質(zhì)：若給出的直線或平面具有積聚性可利用積聚性確定交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，然后利用線上定點(diǎn)、面上定點(diǎn)、面上定線等方法求出另一投影。求特殊線與一般面的交點(diǎn)哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(a)分析(b)作圖高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（一） 特殊情況相交2、一般位置直線與特殊位置平面相交例2-17 求一般

35、位置直線MN和鉛垂面ABC交點(diǎn)K。(b)作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(a)分析求一般線與特殊面的交點(diǎn)高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（一）特殊情況相交3、特殊位置平面與一般位置平面相交例2-18 求一般位置平面ABC和鉛垂面P交線MN。(a)分析(b)作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部求一般面與特殊面的交線高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（二） 一般情況相交1、一般位置直線與一般位置平面相交（方法：應(yīng)用輔助平面法）例2-19 求一般位置直線MN和一般位置平面ABC交點(diǎn)K。(c)作圖步驟(1)哈爾濱

36、工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(a)分析(b)已知高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（二）一般情況相交1、一般位置直線與一般位置平面相交（方法：應(yīng)用輔助平面法）例2-19 求一般位置直線MN和一般位置平面ABC交點(diǎn)K。(f)判別可見性(e)作圖步驟(3)(d)作圖步驟(2)一般位置線和一般位置平面相交哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（二） 一般情況相交2、兩個(gè)一般位置平面相交例2-20 求兩個(gè)一般位置平面ABC和DEF的交線MN。高等學(xué)校新編系列電子教案第二

37、章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影六、相交關(guān)系（二） 一般情況相交2、兩個(gè)一般位置平面相交例2-20 求兩個(gè)一般位置平面ABC和DEF的交線MN。兩個(gè)一般位置平面相交哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（一）直線與平面垂直性質(zhì)：1、若直線垂直平面上任意兩相交直線，則該直線垂直此平面。2、若直線與平面垂直，則直線與平面上任何直線都垂直。(a)直觀圖(b)投影圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部直線與平面垂直的投影特性高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（一）直線與平面垂直例2-

38、21 求點(diǎn)M到平面ABC的距離。分析：點(diǎn)到平面的距離是指垂直距離。因此，過點(diǎn)向平面作垂線并求出垂足。則點(diǎn)到垂足的距離就是點(diǎn)到平面的距離。求點(diǎn)到平面的距離哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(a)已知(b)作圖距離距離高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（一） 直線與平面垂直例2-22 點(diǎn)到特殊位置平面的距離。求點(diǎn)到特殊面的距離哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(a)已知(b)作圖高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（一）直線與平面垂直例2-23 求點(diǎn)A到平面MN的距離。(a)已知(b)作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部距離求點(diǎn)

39、到直線的距離高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（二） 兩平面垂直性質(zhì)：若直線垂直于平面，則過該直線的任何平面都與該平面垂直。兩平面垂直的幾何條件哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影七、垂直關(guān)系（二）兩平面垂直例2-24 過M點(diǎn)作一平面，使它與ABC平面和P平面都垂直。過點(diǎn)作一平面與兩平面垂直(a)已知(b)作圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 七、垂直關(guān)系 例2-25 過M點(diǎn)作鉛垂面與ABCD平面垂直。(a)已知(b)作圖

40、哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部過點(diǎn)作鉛垂面與已知平面垂直高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影一、一般位置直線性質(zhì)1直線的三面投影與投影軸都傾斜，任何投影與投影軸的夾角均不反映直線與投影面的傾角。2直線的三面投影均小于實(shí)長。OXZY哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部求解一般位置線段的實(shí)長及傾角是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問題之一，而用直角三角形法求解實(shí)長、傾角又最為方便簡捷。1.直角三角形法的作圖要領(lǐng)用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再

41、以線段的兩端點(diǎn)相對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。2.直角三角形的四個(gè)要素 直角三角形的四個(gè)要素即：實(shí)長、投影長、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。3.解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯(cuò)。 第二節(jié) 直線的投影 二、線段的實(shí)長與傾角第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案|zA-zB |AB哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ABbbaaXO1.求直線的實(shí)長及對(duì)水平投影面的夾角角 C|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|ab第

42、二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ABbaCbXO2.求直線的實(shí)長及對(duì)正面投影面的夾角 角a|YA-YB|aabbAB|YA-YB|AB|YA-YB|Xab第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影a高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部XYAa3.求直線的實(shí)長及對(duì)側(cè)面投影面的夾角 角ZbB baaaXaOYHbYWbbOb|XA-XB|XA-XB|Z第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部【例題】a|zA-zB|abab|yA-yB|ABABab|zA-zB|Xab已知:線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。AB第二章 點(diǎn)、

43、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影二、線段的實(shí)長與傾角【例題】已知直線AB的正面投影，A點(diǎn)的水平投影a，直線對(duì)H面的傾角為30度，求直線的水平投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影三、特殊位置直線（一） 投影面平行線1顯實(shí)性直線在其平行的投影面上的投影反映線段的實(shí)長，并且該投影與投影軸夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角。2直線的其他兩個(gè)投影均平行于相應(yīng)的投影軸(與其平行投影面有關(guān)的軸)，但不反映線段的實(shí)長性質(zhì)bOb高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖

44、學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(1)ab水平線 平行于水平投影面的直線Z ababbXaOzYHYWA aBXaY投影特性：1ab| OX ; ab| OYW2ab=AB3反映、 角的真實(shí)大小高等學(xué)校新編系電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部列 XZYO第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（2）正平線 平行于正面投影面的直線aababbaXbbbaOZYHaYWAB 投影特性： 1ab | OX ; a b| OZ2a b=AB3反映、角的真實(shí)大小高等學(xué)校新編教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部系X列電子ZO第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（3）側(cè)平線 平行于側(cè)面投影面的直線XZabbbaOYHYWaaababAB

45、Yb投影特性： 1ab| OZ ; ab | OYH2ab =AB3 反映 、 角的真實(shí)大小高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線1積聚性直線在其垂直的投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)。2顯實(shí)性直線的其他兩個(gè)投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映線段的實(shí)長。性質(zhì)1.鉛垂線(H面）高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線2.正垂線(V面）高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第

46、二節(jié) 直線的投影 三、特殊位置直線 （二） 投影面垂直線3.側(cè)垂線(W面）高等學(xué)校新編系列電子教案（三）特殊位置直線:（1）從屬于V 面的直線aXbaOYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部YWZabbOYbZB babaXAa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b高等學(xué)校新編系列電子教案（2）從屬于V 投影面的鉛垂線OXZYBa(b)aAabZYWbXaba(b)OYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部a第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影a(b)高等學(xué)校新編系列電子教案ZX aaYH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部YWOa(b)bbXZYbBO ObaAa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(3) 從屬于OX 軸的直線高等學(xué)校新編系列電子教

47、案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 四、直線上的點(diǎn)性質(zhì)1從屬性點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影必落在直線的同面投影上。2定比性點(diǎn)分線段所成的比例等于點(diǎn)的投影分線段相應(yīng)投影所成的比例。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 四、直線上的點(diǎn) 【例題】 已知點(diǎn)C在水平線AB上，且AC=20mm，求點(diǎn)C的兩面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案baXa哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部bcc【例題】 已知線段AB的投影圖，試將AB分成2：1兩段，求分點(diǎn)C的投影。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖

48、學(xué)部bXaccabaccbXOABbbacaCcHV第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部bXaa【例題】 已知線段AB的投影，試 b定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC 的實(shí)長等于已知長度L。BCcLABzA-zBcab第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影五、兩直線的相對(duì)位置（一）兩直線平行baXdbbcXbabdcdcAaBCcD特性:1.平行性2.定比性a高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié)直

49、線的投影五、兩直線的相對(duì)位置（一）兩直線平行判斷兩側(cè)平線是否平行哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部性質(zhì)：1兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行(平行性)。2平行兩線段之比等于其投影之比。(定比性)特例：對(duì)于一般位置直線，二直線只有兩個(gè)同面投影平行即可判斷其平行。但對(duì)于側(cè)平線，則還要看第三投影面。高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影 五、兩直線的相對(duì)位置bbdkkDBbbaXdd哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部（二）兩直線相交dkcCA caKk特性:1.點(diǎn)的投影特性2.定比性acXca高等學(xué)校新編系列電子教案第二章

50、 點(diǎn)、直線和平面的投影(a)哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部 第二節(jié) 直線的投影 五、兩直線的相對(duì)位置（二）兩直線相交性質(zhì)：1兩直線相交，其同面投影必然相交，其投影的交點(diǎn)就是交點(diǎn)的投影。2交點(diǎn)分線段所成的比例等于交點(diǎn)的投影分線段同面投影所成的比例。例特例：一般位置直線與側(cè)平線是否相交的判定cd五、兩直線的相對(duì)位置a1(2)c2cC1c高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第二節(jié) 直線的投影相交條件的直線bbddaX特性:1.不符合點(diǎn)的投影特性（三）兩直線交錯(cuò)：凡不滿足平行和 2.交點(diǎn)不符合定比性為交錯(cuò)（交叉或異面）兩直線。d 1(2)bBXDOA 1 22 ba

51、a1 dc高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題判斷兩直線的相對(duì)位置cbYWzdaYHcddcobb第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影aXa異面直線高等學(xué)校新編系列電子教案b哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aadcbXc1d1d1c1例題判斷兩直線的相對(duì)位置第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影異面直線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影bbcddcXaa431 3(4)21(2)例題判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】作直線MN，使它與直線AB平行，與直線CD、EF都相交。高等學(xué)校新編系列電

52、子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】作水平線MN，使它與AB、CD、EF三直線都相交。直角的投影特性： 時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 ab高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影AHCacbcXb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aAB垂直于AC，且AB平行于H面，則有ab ac 第二節(jié) 直線的投影 六、直角的投影 定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。B c abnB高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部HcbaMNnm

53、bmnX ma則有ab acC第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。AAB垂直于AC，且AB平行于H面，距離高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影【例題】 求A點(diǎn)到正平線CD間的距離。高等學(xué)校新編系列電子教案例題過點(diǎn)A作EF線段的垂線AB。bbaaOf哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部eefX第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題過點(diǎn)E作線段A

54、B、CD的公垂線EF。fOcabXda dece第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影b f高等學(xué)校新編系列電子教案nma哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部Xmnba【例題】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB =2:3。bcAB|yA-yB|bc=BCabc第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部在MN直線上求一點(diǎn)D，使D距H、V面距離相等。作直線的投影，其=30，B點(diǎn)在MN上。已知到直線的距離為40mm，求C點(diǎn)的水平投影。1求和兩直線之間的距離2為等腰三角形的底，高等于底長，并與面的夾角30,求等腰三角形的兩投影3已知直角三角形ABC，一直角邊BC在E

55、F直線上，長度為40mm,完成它的兩面投影4已知直線MN與AB、CD都相交，求MN和AB兩直線所缺的投影第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影直線AB的=30，并通過原點(diǎn)，求作其V、W面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題：已知矩形ABCD兩鄰邊AB，BC的正面投影和AB邊的水平投影，試完成該矩形的兩面投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影平面的表示法：(a) 不在同一直線上三點(diǎn) (b) 一直線和直線外一點(diǎn) (c)

56、兩相交直線(d) 兩平行直線(e) 平面圖形(f)跡線表示法(e)(d)(a)(b)(c)高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 一、一般位置平面abcbacababbaccba哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部cCAB投影特性：1.三投影 均為 ABC的類似形2.不反映、 的真實(shí)角度高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影二、特殊位置平面（一）投影面垂直面投影特性：1. 平面在其垂直的投影面上投影積聚成線段（積聚性），并且該投影與投影軸的夾角等于該平面與相應(yīng)投影面的夾角。2. 平面的其他兩個(gè)投影都小于實(shí)形。高等學(xué)

57、校新編系列電子教案WHPABCaPH cbababb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部accc（一）投影面垂直面1. 鉛垂面H面的平面V第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VWHQababbacccQVAcCabB2. 正垂面V面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（一）投影面垂直面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHSCSWbABWcaabbbaaccc3. 側(cè)垂面W面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（一）投影面垂直面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 二、特殊位置平面 （二）投影面平

58、行面投影特性：1顯實(shí)性平面在其平行的投影面上投影反映實(shí)形。2積聚性平面的其他兩個(gè)投影積聚成線段，并且平行于相應(yīng)的投影軸。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHAbaCacab cBbWccbbbaaacc1. 水平面H面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VHcabbacbcabacbWacbcaCBA2. 正平面V面的平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部3. 側(cè)平面W面的平面VWbabacccabbcbH cbacCAaBa第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影（

59、二）投影面平行面高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影第三節(jié) 平面的投影三、平面上的點(diǎn)和直線ABEDabcb哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部cdeeFffCad作 作 圖 幾 幾 何 條 條 件 ： 1. 如 如 果 直 直 在 過 過 面 面 面圖 何 件 ： 3. 2. 果 點(diǎn) 線 線 平 平 平 內(nèi) 上一 的 條 已 個(gè) 點(diǎn) 知 線 且 ， ， 行 該 該 平 線 必 上 此 條的 上 一 個(gè) 兩 已 知 已 直 ， 點(diǎn) 上 平 則 則 于 直 點(diǎn) 面 必 在 一 平已 面 面 直 。 。 ，則該直線必在平面內(nèi)。平 知 內(nèi) 內(nèi) 線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題

60、:已知：平面ABC ，試判ddacabce斷D點(diǎn)是否在ABC平面上。e第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影be高等學(xué)校新編系列電子教案ddabcab 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部ce例題:已知D 點(diǎn)在ABC 平面上，試求D 點(diǎn)的水平投影及過D點(diǎn)屬于ABC平面的水平線。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案dedabccab哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部e例題:已知點(diǎn)E在ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部L的水平投影l(fā)，求另一投影。 第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題：點(diǎn)K，L屬于三角形ABC平面，已知K的正面投影k，高等學(xué)校新

61、編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部例題：完成平面圖形的水平投影第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題:已知平行四邊形ABCD的正面投影和兩鄰邊AB，AD的水平投影，試完成該四邊形的水平投影.高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影例題：已知梯形平面上三角形LMN的正面投影。求它的水平投影。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部aabbdc Mc例題 以AB為一邊做等邊三角形ABC，使點(diǎn)C屬于H面。第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二

62、章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、特殊面的跡線投影面垂直面跡線特點(diǎn)：1.平面在它垂直的投影面上的跡線有積聚性，且跡線與投影軸夾角等于平面與相應(yīng)投影軸的傾角。2.平面的其他兩條跡線垂直于相應(yīng)的投影軸。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部VWH1. 鉛垂面跡線表示法PHPPH第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案VH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部WQQVQV2. 正垂面跡線表示法第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案VWHSwSZXOY哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部SwY3. 側(cè)垂

63、面跡線表示法第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 四、特殊面的跡線高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、 特殊面的跡線投影面平行面跡線特點(diǎn)：1.平面在它所平行的投影面沒有跡線。2.平面的其他兩條跡線都有積聚性，且跡線平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行面的跡線平面投 影 圖跡 線 特 點(diǎn)直 觀 圖水平面1.沒有水平跡線2.正面跡線PV和側(cè)面跡線PW都有積聚性，且分別平行于OX軸和OYW軸高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、 特殊面的跡線正平面?zhèn)绕矫?.沒有側(cè)面跡線

64、2.水平跡線RH和正面跡線RV都有積聚性，且分別平行于OYH軸和OZ軸1.沒有正面跡線2.水平跡線QH和側(cè)面跡線QW都有積聚性，且分別平行于OX軸和OZ軸高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影四、特殊面的跡線在兩面投影圖中，用跡線表示特殊位置平面用跡線表示的特殊面哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部PHbaefef RV1.取屬于垂直面的點(diǎn)和直線ba第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案VbaSVbaAB2.過一般位置直線可作投影面的垂直面abH過一般位置直線AB作H面的垂直面PHabH過一般位置直線AB作V面

65、的垂直面SH哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部PHSVAB P第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(幾何元素表示法)mffeffene (m)e(n)第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影(3) 過一般位置直線作投影面的垂直面高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(4)過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)aabSVbQWbPH a第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部(5)過正垂線作平面(跡線表示法)m（n）mnmnmnm（n）mnPVm （n）SVQVm （n ）RV第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教

66、案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部efeeffeffePHf eSHgg（a ）給題（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面(6)過正平線作平面第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影高等學(xué)校新編系列電子教案第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影 五、平行關(guān)系（一）直線與平面平行直線與平面平行(a)直觀圖(b)投影圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部性質(zhì)：如果直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則該直線與平面平行。反之，如果某直線與平面相互平行，則平面內(nèi)必包含與該直線平行的直線。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（一） 直線與平面平行例題：試判別直線AB與平面CDE是否平行。分析：若AB CDE,則必能在CDE內(nèi)作出與AB平行的直線，否則不平行。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部第二章 點(diǎn)、直線和平面的投影 第三節(jié) 平面的投影五、平行關(guān)系（一）直線與平面平行判定直線與鉛垂面是否平行性質(zhì)：當(dāng)判斷直線與特殊位置平面是否平行時(shí)，只要檢查平面的積聚投影與直線的同面投影是否平行。高等學(xué)校新編系列電子教案哈爾濱工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)部