中考數(shù)學壓軸題 二次函數(shù)動點問題(一)

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1、2012中考數(shù)學壓軸題選講(一) 1.如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點. (1) 求拋物線的解析式. (2)已知AD = AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t 秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC的值最???若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由。 (注:拋物線的對稱軸為) 解:設拋物線的解析式為, 依題意得:c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式

2、為 (2)連接DQ,在Rt△AOB中, 所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD =?7 – 5 = 2 因為BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因為AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA?!螩DQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= , 所以t的值是 (3)答對稱軸上存在一點M,使MQ+MC的值最小 理由:因為拋物線的對稱軸為所以A(- 3,0),C(4,0)兩點關于直線對

3、稱連接AQ交直線于點M,則MQ+MC的值最小過點Q作QE⊥x軸,于E,所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO 即 所以QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q(,) 設直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立 由此得 所以M則:在對稱軸上存在點M,使MQ+MC的值最小。 2.如圖9,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點, A點在原點的左側,B點的坐標為(3,0), OB=OC ,tan∠ACO=. (1)求這個二次函數(shù)的表達式. (2

4、)經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由. (3)如圖10,若點G(2,y)是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大?求出此時P點的坐標和△APG的最大面積. (1)由已知得:C(0,-3),A(-1,0) …1分 將A、B、C三點的坐標代入得 解得: 所以這個二次函數(shù)的表達式為: (2)存在,F(xiàn)點的坐標為(2,-3) 理由:易得D(1,-4),所以直線CD

5、的解析式為: ∴E點的坐標為(-3,0),由A、C、E、F四點的坐標得:AE=CF=2,AE∥CF ∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,∴存在點F,坐標為(2,-3) (3)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,易得G(2,-3),直線AG為. 設P(x,),則Q(x,-x-1),PQ. 當時,△APG的面積最大,此時P點的坐標為,. 3.如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3)。 ⑴求拋物線的解析式; ⑵設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得△P

6、DC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由; ⑶若點M是拋物線上一點,以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標。 解析:⑴∵拋物線與y軸交于點C(0,3),∴設拋物線解析式為,根據(jù)題意,得,解得 ∴拋物線的解析式為 ⑵存在. 由得,D點坐標為(1,4),對稱軸為x=1. ①若以CD為底邊,則PD=PC,設P點坐標為(x,y),根據(jù)勾股定理, 得,即y=4-x. 又P點(x,y)在拋物線上,∴,即 解得,,應舍去.∴. ∴,即點P坐標為. ②若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側的拋物線上,由拋物線對稱性知,點P與點C關于直線x=

7、1對稱,此時點P坐標為(2,3)。 ∴符合條件的點P坐標為或(2,3). ⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理, 得CB=,CD=,BD=,,∴,∴∠BCD=90°, 設對稱軸交x軸于點E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F,在Rt△DCF中, ∵CF=DF=1, ∴∠CDF=45°, 由拋物線對稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點坐標M為(2,3), ∴DM∥BC, ∴四邊形BCDM為直角梯形, 由∠BCD=90°及題意可知, 以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況; 以CD為一底或以BD為一底,且頂點M在拋物線上

8、的直角梯形均不存在。 綜上所述,符合條件的點M的坐標為(2,3)。 4.已知:拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OB

9、基礎上試說明S是否存在最大值,若存在,請求出S的最大值,并求出此時點E的坐標,判斷此時△BCE的形狀;若不存在,請說明理由. 解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8  ∵點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,且OB<OC ∴點B的坐標為(2,0),點C的坐標為(0,8) 又∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-2 ∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(-6,0) ∴A、B、C三點的坐標分別是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8) (2)∵點C(0,8)在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上 ∴c=8,將A(-6,0)、B(2,0)代入表達式y(tǒng)

10、=ax2+bx+8,得  解得 ∴所求拋物線的表達式為y=-x2-x+8  (3)∵AB=8,OC=8∴S△ABC =×8×8=32 (4)依題意,AE=m,則BE=8-m,∵OA=6,OC=8, ∴AC=10 ∵EF∥AC  ∴△BEF∽△BAC ∴=  即= ∴EF= 過點F作FG⊥AB,垂足為G,則sin∠FEG=sin∠CAB= ∴=  ∴FG=·=8-m ∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m) =(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m  自變量m的取值范圍是0<m<8  (5)存在. 理由:∵S=-m

11、2+4m=-(m-4)2+8  且-<0, ∴當m=4時,S有最大值,S最大值=8 ∵m=4,∴點E的坐標為(-2,0) ∴△BCE為等腰三角形. 5.已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0),與y軸的正半軸交于點C. ⑴直接寫出拋物線的對稱軸,及拋物線與軸的另一個交點B的坐標; ⑵當點C在以AB為直徑的⊙P上時,求拋物線的解析式; ⑶坐標平面內(nèi)是否存在點,使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由. 解:⑴對稱軸是直線:,點B的坐標是(3,0). 說明:每寫對1個給1分,“直線”兩字沒寫不扣分. ⑵

12、如圖,連接PC,∵點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0), ∴AB=4.∴ 在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1, ∴ ∴b= 當時, ∴∴ ⑶存在.理由:如圖,連接AC、BC.設點M的坐標為. ①當以AC或BC為對角線時,點M在x軸上方,此時CM∥AB,且CM=AB. 由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.∴x=±4.∴點M的坐標為. ②當以AB為對角線時,點M在x軸下方. 過M作MN⊥AB于N,則∠MNB=∠AOC=90°. ∵四邊形AMBC是平行四邊形,∴AC=MB,且AC∥MB. ∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=

13、AO=1,MN=CO=. ∵OB=3,∴0N=3-1=2.∴點M的坐標為. 綜上所述,坐標平面內(nèi)存在點,使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形.其坐標為.(說明:求點M的坐標時,用解直角三角形的方法或用先求直線解析式,然后求交點M的坐標的方法均可,請參照給分.) 2012中考數(shù)學壓軸題選講(一) 1.如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點. (1) 求拋物線的解析式. (2)已知AD = AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動

14、,經(jīng)過t 秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC的值最???若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由。 (注:拋物線的對稱軸為) 2.如圖9,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點, A點在原點的左側,B點的坐標為(3,0), OB=OC ,tan∠ACO=. (1)求這個二次函數(shù)的表達式. (2)經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行

15、四邊形?若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由. (3)如圖10,若點G(2,y)是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大?求出此時P點的坐標和△APG的最大面積. 3.如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3)。 ⑴求拋物線的解析式; ⑵設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由; ⑶若點M是拋物線上一點,以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試

16、求出點M的坐標。 4.已知:拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點B在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OB

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