中考復習篇之《專題三 幾何多解題》

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專題三　幾何多解題 類型一 圖形的折疊與剪拼 (2017安徽)在三角形紙片ABC中，∠A＝90，∠C＝30，AC＝30 cm.將該紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD(如圖1)，剪去△CDE后得到雙層△BDE(如圖2)，再沿著過△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為________cm. 【分析】 由軸對稱得△ADB≌△EDB，由已知可求AD，AB，BD，考慮到三角形BDE中∠DEB＝90，∠DBE＝30，∠EDB＝60，故沿BD上的中線或∠EDB的平分線剪開可得平行四邊形，且都為菱形，求出周長即可． 【自主解答】 【方法點撥】動手操作這類題常見的方法是學會自覺地運用數(shù)學知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學問題，如本題所給的直角三角形比較特殊，其次，一般選擇角平分線、中線等常見的考查對象入手． 【難點突破】抓住△BDE是直角三角形，且∠B＝30，∠D＝60，從而想到沿BD上的中線或∠EDB的平分線這兩種特殊情況剪開才會有一個四邊形是平行四邊形． 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，AC＝2，E為斜邊AB的中點，點P在射線BC上，連接AP，PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當折疊后△EPA′與△BEP重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一時，BP的長為__________． 2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，點E為BC上一動點，把△ABE折疊，當點B的對應點B′落在∠ADC的平分線上時，點B′到BC的距離為__________． 3．(2019安慶一模)如圖，△ABC是一張等腰三角形紙片，且AB＝AC＝6，BC＝4，將△ABC沿著某條過一個頂點的直線折疊，打開后再沿著所得到的折痕剪開，若剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形，則折痕的長為________． 4．如圖，把一張矩形紙片對折兩次(折痕互相垂直且交點為O)，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為50的菱形，剪口與折痕所成角α的度數(shù)為__________________． 5．(2019宿州泗縣一模)已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，沿著過矩形頂點的一條直線將∠B折疊，使點B的對應點B′落在矩形的邊上，則折痕長為________． 6．(2019合肥長豐縣二模)如圖，矩形ABCD中，AD＝9，AB＝15.點E為射線DC上的一個動點，將△ADE沿著AE折疊，當△AD′B為直角三角形時，DE的長為________． 7．(2019河南)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝a.連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為________． 8．(2019黑龍江)一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90，AB＝10，AC＝6，點D為BC邊上任一點，沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當△BDE是直角三角形時，CD的長為________． 9．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝45，AB＝4，點P為線段AB上一個動點，過點P作PE⊥AB交直線AD于點E，沿PE將∠A折疊，點A的對應點為F，連接EF，DF，CF.當△CDF為等腰三角形時，AP＝________． 10．(2019合肥瑤海區(qū)一模)如圖，有一張面積為12的銳角三角形紙片，其中一邊BC為4，把它剪兩刀拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，且矩形的一邊與BC平行，則矩形的周長為________． 11．(2019合肥廬陽區(qū)一模)如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE＝3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為________． 類型二 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 1．已知正方形ABCD的邊長為8，E為平面內(nèi)任意一點，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到DG，當點B，D，G在一條直線上時，若DG＝2，則CE的長為________________． 2．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝BC，斜邊AC上的一點D滿足AD＝AB.將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360)，得到線段AC′，連接DC′，當DC′∥BC時，旋轉(zhuǎn)角度α的值為____________________． 3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝20，點O是AB的中點，將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180)時得到OP，當△ACP為等腰三角形時，α的值為________． 4．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，且AC＝4，BC＝2，將線段AB向上平移m個單位長度得到A′B′.若△A′B′C為等腰三角形，則m的值為________． 5．如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分(陰影部分)的面積為32時，它移動的距離AA′等于__________． 類型三 特定條件 (2018安徽)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形，則PE的長為________． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出BD的長，分PD＝PA，PD＝DA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算． 【自主解答】 1．(2019蕪湖二十九中一模)在△ABC中，AB＝6 cm，點P在AB上，且∠ACP＝∠B.若點P是AB的三等分點，則AC的長是______________________． 2．(2019蕪湖一模)如圖所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝8，AD＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點．若△PAD與△PBC相似，則AP＝________． 3．(2019成都)如圖，在平面直角坐標系xOy中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點為“整點”，已知點A的坐標為(5，0)，點B在x軸的上方，△OAB的面積為，則△OAB內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù)為________． 4．(2019哈爾濱)在△ABC中，∠A＝50，∠B＝30，點D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為________度． 5．(2019蚌埠二模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長為________． 6．(2020原創(chuàng))如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，點D，E分別在邊AB，AC上，且EC＝2AD.當以點A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似時，AD的長為______________． 7．(2020原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，BC＝6，射線AD⊥AC，點P，Q分別在AC，AD上，當△ABC和△QPA全等時，AP的長為____________． 8．(2019六安霍邱三校二模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個動點．若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ＝________． 9．(2019安徽模擬)如圖，已知等邊三角形ABC中，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60，得到△ADB，點E是△ABC某邊的一點，當△ABE為直角三角形時，連接DE，作BF⊥DE于F，那么BF的長度是________． 參考答案 【專題類型突破】 類型一 【例1】 由已知可知△ADB≌△EDB，又∵∠A＝90，∠C＝30，∴∠ABD＝∠EBD＝∠C＝30，則CD＝BD，設AD＝DE＝x，則CD＝30－x.在Rt△ABD中，sin 30＝＝＝，解得x＝10.∴BD＝20，AB＝10.①取BD的中點F，連接EF，沿EF剪開所得平行四邊形是菱形，其邊長為10，故周長為40 cm；②作∠EDB的平分線DM，沿DM剪開所得平行四邊形是菱形，邊長DM＝＝＝，故周長為4＝ (cm)，故答案為40或. 跟蹤訓練 1．2或2　2.2或1 3.或4　 【解析】 解圖1 ①如解圖1，過點A作AD⊥BC于點D，沿AD剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形， ∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝2.∴AD＝＝4.②如解圖2，作AC邊上的中線BE，過點B作BH⊥AC于點H，沿BE剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形，設CH＝x，則AH＝6－x， 解圖2 由勾股定理得，BC2－CH2＝AB2－AH2，∴42－x2＝62－(6－x)2.解得：x＝.∴BH＝＝.∴EH＝3－CH＝.∴BE＝＝.∴折痕的長為或4.故答案為或4. 4．25或65　5.6或 解圖1 6．3或27　 【解析】分兩種情況：①當點E在線段DC上時，如解圖1所示，∠BD′A＝90，在Rt△BD′A中，BD′＝＝12.∵∠ED′A＝90，∴E、D′、B三點共線．設DE＝x，則EC＝15－x，BE＝12＋x，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得(12＋x)2＝(15－x)2＋92，解得x＝3，即DE＝3.②當E點在DC延長線上時，如解圖2所示，∠AD′B＝90， 解圖2 根據(jù)折疊的對稱性可知∠AD′E＝90，∴E、B、D′三點共線．在Rt△BD′A中，BD′＝＝12.設DE＝x，則CE＝x－15，BE＝x－12，在Rt△BCE中，利用勾股定理可得(x－12)2＝(x－15)2＋92，解得x＝27，即DE＝27.故答案為3或27. 7.或　　【解析】分兩種情況：①當點B′落在AD邊上時，如解圖1，∵四邊形ABCD是矩形， 解圖1 ∴∠BAD＝∠B＝90.∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在AD邊上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45，∴AB＝BE.∴a＝1，∴a＝. 解圖2 ②當點B′落在CD邊上時，如解圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90，AD＝BC＝a.∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在CD邊上，∴∠AB′E＝∠B＝90，AB′＝AB＝1，EB′＝EB＝a.∴DB′＝＝，EC＝BC－BE＝a－a＝a.在△ADB′與△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE.∴＝，即＝.解得a1＝，a2＝0(舍去)．綜上，所求a的值為或，故答案為或. 第8題解圖1 8．3或　【解析】分兩種情況：①如解圖1，若∠DEB＝90，則∠AED＝90＝∠C，連接AD，則Rt△ACD≌Rt△AED，∴CD＝ED，AE＝AC＝6，BE＝10－6＝4.設CD＝DE＝x，則BD＝8－x，∵在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD＝3.②如解圖2，若∠BDE＝90，則∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90，CD＝DE，∴四邊形CDEF是正方形． 第8題解圖2 ∴∠AFE＝∠EDB＝90，∠AEF＝∠B.∴△AEF∽△EBD.∴＝.設CD＝x，則EF＝DE＝x，AF＝6－x，BD＝8－x，∴＝，解得x＝.∴CD＝.綜上所述，CD的長為3或，故答案為3或. 9．2或＋1或2　10.14或16　11.16或4 類型二 1．2或2　2.15或255 3．40或70或100　4.2或3或2－2　5.4或8 類型三 【例2】 分兩種情況討論：①如解圖1，邊AD的垂直平分線與BD，BC分別交于點P，E，則△APD為等腰三角形，且PE∥CD，∴△PBE∽△DBC.易知PE是△DBC的中位線，∴PE＝CD＝3.②如解圖2，以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交BD于點P，過點P作PE⊥BC于點E，則△APD是等腰三角形．由勾股定理，得BD＝＝10，則BP＝BD－DP＝10－8＝2.由PE∥CD可知△PBE∽△DBC，則＝，即＝，解得PE＝.綜上所述，PE的長為3或. 圖1 圖2 跟蹤訓練 1．2 cm或2 cm　2.或2或6 3．4或5或6　【解析】設B(m，n)，∵點A的坐標為(5，0)，∴OA＝5.∵△OAB的面積＝5n＝，∴n＝3.可知：當2＜m＜3時，有6個整數(shù)點；當3＜m＜時，有5個整數(shù)點；當m＝3時，有4個整數(shù)點，可知有6個或5個或4個整數(shù)點．故答案為4或5或6. 4．60度或10　【解析】分兩種情況：①如解圖1，當∠ADC＝90時，∵∠B＝30，∴∠BCD＝90－30＝60；②如解圖2，當∠ACD＝90時，∵∠A＝50，∠B＝30，∴∠ACB＝180－30－50＝100.∴∠BCD＝100－90＝10.綜上，∠BCD的度數(shù)為60或10.故答案為：60度或10. 解圖1 解圖2 5.或　【解析】若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF∶CE＝3∶4，連接CD，如解圖1，∵CF∶CE＝AC∶BC，∴EF∥AB.由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5.∴cos A＝＝.∴AD＝ACcos A＝3＝. 解圖1 解圖2 ②若CE∶CF＝3∶4，∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠A.連接CD，如解圖2所示，由折疊性質(zhì)可知，∠CEF＋∠ECD＝90，又∵∠A＋∠B＝90，∴∠B＝∠ECD.∴BD＝CD.同理可得：∠A＝∠FCD，∴CD＝AD，∴點D為AB的中點．∴AD＝AB＝.故答案為或. 6．3或4.8　7.6或12　8.或 9.或　【解析】分兩種情況： ①點E在BC上，如解圖1，E是BC的中點，∴BE＝1，AE＝.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知DA∥BC，∠DAE＝90，∴△DBE的面積＝△ABE的面積，∴DEBF＝BEAE.∵DE＝＝，∴BF＝. 解圖1 解圖2 ②點E在AC上，如解圖2，E是AC的中點，可求出DE＝，∵∠DBE＝90，∴△DBE的面積為BFDE＝BDBE.∴BFDE＝，可得BF＝.故答案為或.