B題 眼科病床的合理安排.doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 眼科病床的合理安排 摘要 本文是關于某醫(yī)院眼科門診對不同病人類型的病床分配問題的研究。在充分理解題意的基礎上，我們提出了合理的假設。通過對問題的深入分析，我們將本題歸結為排隊論問題，但由于本問題的限制條件有星期對手術安排的影響，比較特殊，所以我們區(qū)別于一般的排隊論模型，建立了基于排隊論FCFS的改進模型。 問題一是關于評價指標的確定。我們查閱了與排隊論相關的資料，并結合題意，得到了適用于本題的評價指標體系，包括病人等待及逗留時間、等待隊長、系統(tǒng)繁忙概率、病人等待概率等指標。 對于問題二。我們仔細分析了題中給出的病人出入院時間，得到：隊長其實一直處于動態(tài)穩(wěn)定的過程當中，但如果醫(yī)院一開始就按照FCFS的原則進行安排，則不會有雖平衡長達100人左右的等待隊長，而且病人普遍等待時間過長（平均約有16天）。對病人來說，只要等待和逗留時間短，滿意度依然是高的，同時會減少等待隊長。所以我們建立了目標為降低病人等待和逗留時間的優(yōu)化模型，并用mathematic5.0編程用優(yōu)化模型，不僅可以根據(jù)當前情況對第二天入院病人作出安排，還對2008-7-13至2008-9-11間入院并出院的病人進行計算，得到結果比醫(yī)院的原方案共節(jié)省961天，平均每人節(jié)省2-3天，優(yōu)化程度較大。 問題三為提前預計允許服務的任務。在問題二的基礎上，我們只要對用優(yōu)化模型已經(jīng)求出的數(shù)據(jù)進行分類統(tǒng)計，并根據(jù)不同情況作出頻數(shù)圖，即可根據(jù)當前情況為各種病人提供大致可入院的時間。 問題四為根據(jù)增加的限制條件討論安排方案是否變化的任務。我們在問題二的基礎上增加了周六周日不手術的限制，結果表明手術安排方案不必調整。 問題五為求最優(yōu)方案的模型。此問我們建立優(yōu)化模型的等待時間盡量少的目標函數(shù)和限制條件，用lingo求解，但是結果顯示無適合解，這說明，如果要分配每類病人的床位數(shù)而使等待時間最少，需要增加少量床位（至少3張）。 最后，在評價模型的基礎上，我們又提出了兩個分別對問題二、五的改進模型和兩個分別對問題二、三的改進方向。為了更方便地根據(jù)對二問的安排，我們建立了一個對等待中病人的入院優(yōu)先級進行打分的模型，根據(jù)不同類的病人，分星期對入院的影響和等待時間的長短進行打分，其中由于星期對白內障入院影響較大，其分數(shù)的權值也會隨之改變，而星期對其他的病人的優(yōu)先級分數(shù)則無貢獻，另保證了外傷病人優(yōu)先級最高。最后只要對排隊中的病人進行打分并降序排列，取前次日出院人數(shù)的病人安排入住。對問題五的改進中，我們計算了增加3張到10張的床位，分別求得各床位數(shù)量的具體情況，用問題一的體系進行評價，得到交友解為增加3張，分配給白內障、青光眼、視網(wǎng)膜疾病和外傷（應急需要，故也設置）分別有23張、15張、42張、2張，比例分別約為28%、19%、51%、2%。對問題二改進方向上，我們提出了一種圖解的思路，用極坐標直觀方便地可解得所需解。對問題三的改進方向上，可以用蒙特卡洛法模擬近期在院病人的出院情況，從而更有針對性，更有效地預測病人可入院時間。 關鍵詞：眼科門診；床位安排； 排隊論； 優(yōu)先級； 計算機模擬 1. 問題重述 某醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術主要分四大類：白內障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。各類手術的相關情況如下： 白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。 其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。 該醫(yī)院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。各類病人的情況(2008年7月13日至2008年9月11日)見原題。 現(xiàn)有以下問題： 問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。 問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。 問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術時間安排是否應作出相應調整? 問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。 2. 模型假設 1. 問題開始時的隊長為0； 2. 看過門診的病人全部需要手術，而且不會因為等待時間過長而放棄手術； 3. 每個病人的住院天數(shù)從入院當天的時候開始計算，到出院的前一天為止(不含出院當天)。即前一個病人出院當天病床可以接納新的病人。 3. 符號說明 符號 說明 S 病床數(shù) R 平均每天就診病人數(shù) T 平均住院時間 Pwait 病人等待的概率 病人平均等待時間 系統(tǒng)平均等待隊長 顧客平均逗留時間 系統(tǒng)平均隊長 眼病類型為i的病人所占的病床數(shù) t 日期代號(以2008-7-13為0) 第t天患者入院前空床位數(shù) 優(yōu)先級分數(shù) 病人類型號說明： 1-單眼白內障；2-雙眼白內障；3-青光眼；4-視網(wǎng)膜疾病；5-外傷。 其余的符號在文中另外說明。 4. 問題的分析 根據(jù)題意可以得到該眼科醫(yī)院的手術安排管理的原則，且這些原則是不能改變的： 表1：手術安排管理原則 時間安排原則 術前準備 術后觀察 備注 白內障 周一或周三 1-2天 不定 白內障(雙眼) 周一一只 周三另只 2-3天 3，4天 視網(wǎng)膜疾病 非周一、三 2-3天 較長 青光眼 非周一、三 較長 外傷 入院第二天 較長 若有病床，馬上入院 在數(shù)據(jù)處理上，由于日期的計算比較麻煩，而且在問題中有星期的約束，為方便計算，我們首先在數(shù)據(jù)處理時將日期改為編號，即以2008-7-13(星期日)開始為第0天，到2008-9-11（星期四）為止為第60天。 在數(shù)據(jù)采信上，由于第一天門診有以外傷，其第二天才入院，而根據(jù)題意，對待外傷的入院時間安排是如有病床，馬上入院，所以明顯地，一開始病床使用率已為100%。根據(jù)根據(jù)統(tǒng)計情況的圖一(每天出入院人數(shù)與隊長大小變化)所示，之前一段時間出入院的人數(shù)為零或很小，且入院人數(shù)總是大于出院人數(shù)，而隊長一開始增長速度極快，到第11天左右才達到平衡點，而之后的隊長數(shù)量則沒有上升，一直維持動態(tài)平衡(統(tǒng)計數(shù)據(jù)間附錄1)。究其原因，是因為一開始病床全滿，而這部分病人的出院沒有計算在內，并且一開始并未入院的病人在這期間內也入院并做好了手術，所以這使前10天的隊長沒有可信度，我們考慮將其忽略。 4.1. 問題一 這個問題屬于排隊論問題，對于一般的排隊問題，主要的指標有：隊長、等待時間、忙期等；一般問題的具體指標如下： 1) 系統(tǒng)中的顧客數(shù)(包括正在接受服務的顧客數(shù)目)的平均值； 2) 在隊列中等待服務的顧客數(shù)的平均值(不包括正在接受服務的顧客數(shù)目)； 3) 平均一顧客在系統(tǒng)中停留的時間(包括服務時間)； 4) 平均一顧客停留在列隊中的時間(不包括服務時間)； 5) 顧客到達系統(tǒng)平均速度-顧客到達系統(tǒng)間隔時間的均值； 6) 系統(tǒng)中服務臺的服務速度-服務臺對每一顧客服務時間的均值； 7) 系統(tǒng)忙期。 對于這個問題所需采用的指標將在模型建立中作具體分析。 而根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到，病床使用率一直都是100%滿負荷，這樣病床的使用率已經(jīng)達到最大，似乎沒有提高效率的余地。然而比較住院的各段時間可以得到：在手術間期、術后觀察兩段時間上，醫(yī)院都是根據(jù)原則并結合各病人的情況安排時間的，沒有減少的空間；而在術前準備上，青光眼、視網(wǎng)膜疾病和外傷三種病人的時間全部滿足要求(2-3天)，但是對于白內障，尤其是雙眼白內障的病人的準備時間大多都過長，有的甚至達到7天，算上等待時間，白內障病人在醫(yī)院的逗留時間甚至達到了十多天，根據(jù)題意要求的準備時間只需要1-2天，其多余的天數(shù)對醫(yī)院來說相當于空置，沒有充分利用，而且對病人也只是多付住院費用，使其對醫(yī)院的滿意度下降。計算減去這些多余天數(shù)，得到可能的最大有效床位使用率為94.13%，可能的最小有效床位使用率為90.54%(算法說明：在計算中，排除白內障及雙眼準備時間為1天或2天的病人，其他病人以1天為準備時間的算為可能的最小值，以2天的算為可能的最大值)。 病人受到醫(yī)院服務的排隊論問題圖示如下： 接著，我們根據(jù)對隊長的分析，可以明顯的看出在數(shù)據(jù)可信的情況下，我們所求得的隊長是相對穩(wěn)定的，達到了一個動態(tài)平衡。所以在79張病床這個約束條件下，要想縮短隊長是不可能，所以我們對模型的優(yōu)化只能從其他方面入手。比如減少病人的平均等待時間，提高病人對醫(yī)院的滿意度等。 4.2. 問題二 在設置模型的過程中，由于其他病人都是按照排隊的原則進行的，而外傷的病人則無需排隊時間，如圖2(不同病人的等待時間)可以看出：所有的外傷在門診的第二天就入院，而其他四種情況的病人都比較高，并且在同一水平附近呈動態(tài)平衡。所以在建立模型時，我們將問題分成兩部分，在排隊論里，外傷病人屬于優(yōu)先服務，而醫(yī)院對其他病人采取的為先到先服務，所以將兩類病人分開，即白內障、白內障雙眼、青光眼、視網(wǎng)膜疾病為一部分，外傷為單獨的另一部分。 4.3. 問題三 病人希望盡早知道自己的住院時間?，F(xiàn)在我們要根據(jù)當時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。我們可以通過已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)算出５類病人（單眼白內障和雙眼白內障分別算兩類）的平均康復時間，再由波動的時間范圍，取出隨機天數(shù)的區(qū)間，產(chǎn)生隨機數(shù)分別對每天出院的人數(shù)進行預測，即可以預測病人大致入住醫(yī)院的區(qū)間了。 4.4. 問題四 周末不能做手術，但是可以看門診，對已經(jīng)住院的病人也可以進行手術準備，所以得到以下規(guī)定： 1) 雙眼白內障病人和單眼白內障病人約束條件不變，因為手術時間都在周一或者周三，所以沒有影響。 2) 對于外傷病人，周四周五看門診的病人，周五周六都不能動手術，但是考慮到時外傷，我們讓病人先住進醫(yī)院，而手術全部推遲到周一。 3) 對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人，因為他們的手術準備時間在2~3天，我們假設為2天。且不在周一和周三動手術，周末也不行，所以能做手術時間為2，4，5可能入院的時間就在6，1，2。 4.5. 問題五 為了便于管理醫(yī)院病床安排采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案。我們通過對第一階段的數(shù)據(jù)進行分析，因為白內障病的治療時間是比較固定的，所以在治療的高峰時間段里占用病床的白內障病人就會相對較多。類似地，在其他時間里白內障病人相對較少，而其他病人人數(shù)較多，如果不改變治療順序的策略，僅僅對病床進行相對固定的比例分配。管理變得方便了，但是病床的使用率會降低，對醫(yī)院的效率有較大的影響。我們建立一個模型，求得使得比例大致固定時的最短逗留時間。 5. 模型的建立與求解 5.1. 問題一 根據(jù)問題一的分析，以天為時間單位，如果不加任何約束，只按FCFS(First come, First serve)規(guī)則安排住院，為簡化模型假設患者到達過程為Poisson流，根據(jù)已給的數(shù)據(jù)平均每天有7人到達，住院時間服從負指數(shù)分布，平均需要9.002865天。 設s:病床數(shù)；R：平均每天就診病人數(shù)；T：平均住院時間；load：系統(tǒng)到達負荷；Ls：系統(tǒng)平均隊長；Lq：系統(tǒng)平均等待隊長；Ws：顧客平均逗留時間；Wq：顧客平均等待時間; Pwait：系統(tǒng)繁忙概率。 我們通過分析已有的數(shù)據(jù)，求得基本的數(shù)據(jù)，然后通過編程求解出模型指標的值，用它來判斷模型的好壞。(lingo軟件編程求解程序見附錄2) 5.2. 問題二 對于模型的建立，有以下限制條件： 1) 根據(jù)題意和問題的分析，得到： 表2：整理后的入院時間安排原則 病人種類 入院時間可能 時間安排原則 術前準備 備注 白內障 周六到周二 周一或周三 1-2天 白內障 (雙眼) 周六、周日 周一一只 周三另只 1-2天 視網(wǎng)膜疾病 非周一、三 2-3天 青光眼 非周一、三 外傷 入院第二天 若有病床，馬上入院 2) 數(shù)據(jù)處理方法： 由于安排方案將會進行調整，所以所有病人的入院時間都要根據(jù)診斷之后的術前準備重新計算。 對于原已出院的病人（見第一組數(shù)據(jù)），如果其中術前準備時間不符合上表要求，對其準備時間重新賦值，對其賦值按60%為2天，40%為1天(因為60%的白內障為雙眼)進行MonteCarlo模擬；若術前準備時間符合上表要求，則不對術前準備時間重新賦值。另外術后觀察時間為原來的數(shù)據(jù)。 對于原入院但沒有出院的病人（見第二組數(shù)據(jù)），對術前準備時間處理方法同上，而術后觀察時間根據(jù)比例進行MonteCarlo模擬。 對于已門診但沒有入院的病人（見第三組數(shù)據(jù)），除了雙眼白內障的手術準備期為定值2以外，其他時間段長度均用MonteCarlo模擬。 模擬計算之后重新計算各指標，比較新方案較原方案的合理程度。 表3：白內障MonteCarlo模擬時所使用的概率 白內障 術前準備(天) 術后觀察(天) 1天 2天 2天 3天 4天 概率 40% 60% 30% 50% 20% 表4：雙眼白內障MonteCarlo模擬時所使用的概率 白內障 (雙眼) 術前準備(天) 術后觀察(天) 1 2 2 3 4 概率 40% 60% 20% 65% 15% 表5：青光眼MonteCarlo模擬時所使用的概率 青光眼 術前準備(天) 術后觀察(天數(shù)) 2 3 滿足正態(tài)分布 (范圍：4-12；方程按正態(tài)分布擬合得到) 概率 59% 41% 表6：視網(wǎng)膜疾病MonteCarlo模擬時所使用的概率 視網(wǎng)膜 疾病 術前準備(天) 術后觀察(天) 2 3 滿足正態(tài)分布 (范圍：5-15；方程按正態(tài)分布擬合得到) 概率 62% 38% 表7：外傷MonteCarlo模擬時所使用的概率 外傷 術后觀察(天數(shù)) 概率 滿足正態(tài)分布 (范圍：5-15；方程按正態(tài)分布擬合得到) 用計算機模擬的結果見附錄2。 建立模型時，為避免從入院到手術時間過長的情況，我們將醫(yī)院安排的”FCFS”原則作略微的變動：先來的病人先安排，即”FCFP”(First come,First plan)。另外外傷在原日期數(shù)據(jù)中全部是第二天入院，今除非第二天沒出院的病人而延期至后天，否則仍保留盡早安排外傷病人的原則；如果有些病人安排入院時，如白內障病人安排在周六、周日，而當天沒有出院病人，則將提安排在前一天(周五、周六)，到最好修正為從之前有空床的時候開始一直到周六空置該病床。 假設第二天有個人出院，前一天有個人入院，則第二天的空床位數(shù) 首先對外傷患者進行處理，將門診時間在k天以前且沒有入院的外傷患者按門診時間進行排序，開始搜索，若則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至外傷患者處理完。 然后對白內障雙眼患者進行處理，將門診時間在k天以前且沒有入院的白內障雙眼患者按門診時間進行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1） 2）t除7的余數(shù)為6，即當天為周六 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至白內障雙眼患者處理完。 再對白內障單眼患者進行處理，將門診時間在t天以前且沒有入院的白內障單眼患者按門診時間進行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1） 2）t除7的余數(shù)為6或1，即當天為周六或周一 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至白內障單眼患者處理完。 最后對患者進行處理，將門診時間在t天以前且沒有入院的青光眼和視網(wǎng)膜疾病患者按門診時間進行排序，開始搜索，若同時滿足以下條件： 1) 2) t除7的余數(shù)不為5或0，即當天不為周五或周日 則安排其入院，同時，如此繼續(xù)下去，直至青光眼和視網(wǎng)膜疾病患者處理完。 模型的解我們通過Mathematica編程求得(程序見附錄3)，流程圖如下：(編程中用符號k代替符號t) 圖3 問題二的程序流程圖 5.3. 問題三 根據(jù)問題二中的算法求得的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見附錄2）用MATLAB畫得等待入院時間頻數(shù)圖。最終根據(jù)統(tǒng)計頻數(shù)圖可以求得患者允許入院的等待天數(shù)。 按1~5類病人平均康復時間(統(tǒng)一按第一次手術時間至出院時間計算)可以得出分別為3,5,8,10,6天,然后按在前后2~3天的波動,分別取隨機天數(shù)的區(qū)間如下： [1,3],[3,7],[6,10],[7,13],[4,8],通過產(chǎn)生隨機數(shù)對每天出院人數(shù)進行預測,從而進一步預測病人大致入住的區(qū)間?，F(xiàn)在通過mathematica軟件編程實現(xiàn)，得到數(shù)據(jù)見附錄6。 5.4. 問題四 由于第二問中的程序要將模型進行優(yōu)化，加入了一些約束條件。而現(xiàn)在我們規(guī)定在周末不做手術，所以，我們只需根據(jù)第二問的程序，在里面更改一些約束條件即得解。其中原定的優(yōu)先級順序并不改變，周末不做手術的約束條件對單雙眼白內障病人是沒有影響的。而在確定外傷病人優(yōu)先的順序時需要加入新的約束條件，要除去周末不能做手術的情況；青光眼和視網(wǎng)膜疾病的處理方法相同，只是約束條件有點差別，他們要除去周末和周一周三不能做手術，所以入院時間就相對固定一些了。 具體要增加的表達式如下： 1) 對于外傷病人，采取讓病人先住進來，在能夠進行手術的時候就開始手術。當日期與7的余數(shù)為5或者6時，手術時間x[i,3]=入院時間x[i,4]+7+1-日期k除以7的余數(shù)； 2) 對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的病人，加上約束條件：日期k除以7的余數(shù)不等于4或5。 5.5. 問題五 經(jīng)分析可得：題中給出的方案的方案到后期隊長大小維持可動態(tài)平衡，唯一的缺點是隊長基數(shù)大，導致等待時間較長。而二三問中的優(yōu)化模型所優(yōu)化的對象是等待時間，故可以使用原數(shù)據(jù)為模型所解。 即設變量S(i)為眼病代碼為i的病人分配得到的床位數(shù)，則有。 題中說明的目標函數(shù)是平均等待及治療時間盡量少，式子中R(i)為平均每天眼病代碼為i的病人就診人數(shù)，W_s(i)為眼病代碼為i的病人平均逗留時間，則目標函數(shù)為： 而，而R(i)、T(i)均為已知，用lingo編程即可求解(程序見)。 6. 結果分析 6.1. 問題一 用lingo軟件編程求解得： 系統(tǒng)平均隊長：Ls=63.15360 系統(tǒng)平均等待隊長：Lq=0.1335493 顧客平均逗留時間：Ws=9.021943 顧客平均等待時間：Wq=0.01907847 系統(tǒng)繁忙概率：Pwait=0.03386399 從各項指標中不難看出，系統(tǒng)平均隊長遠遠大于系統(tǒng)平均等待隊長，這說明等待手術的隊長遠遠大于等待入院的隊長。從患者平均逗留時間和等待時間也可以看出以上問題，這與之前的問題分析相吻合，醫(yī)院要提高病床的使用效率就要減少患者在住院期間不必要的逗留，即減少不必要的手術準備時間，如果某一患者錯過了某一天的手術時間那么應該推遲入院時間，留出空的病床給其他患者。系統(tǒng)的繁忙概率很低，說明病床服務系統(tǒng)的效率很低。 6.2. 問題二 從Mathematica編程求得的解(詳見附錄4)中不難看出，以我們的方案安排患者入院與原方案相比，可以總共節(jié)省961天，平均每人可以節(jié)省2天多，對原方案的優(yōu)化程度較大。 6.3. 問題三 圖4 等待入院時間頻數(shù)圖 分析等待入院時間圖，得出白內障、白內障雙眼患者在門診后的12到13天內就能入院，青光眼、視網(wǎng)膜疾病患者要么在門診當天入院，要么在門診后的5到7天內就能入院，外傷患者基本上在門診當天就能入院。 6.4. 問題四 見附錄7，列出了在該條件下病人出入醫(yī)院的情況，并用mathematic5.0（程序見附錄7）計算出了病人在醫(yī)院的等待時間、住院天數(shù)和總的逗留時間（數(shù)據(jù)見附錄8）。通過計算和比較可得 表8：mathematic5.0對問題四的求解結果 住院天數(shù) 逗留時間 總和 平均數(shù) 總和 平均數(shù) 修改前 3142 9.00286533 6880 19.71347 修改后 2933 8.404011461 6762 19.37536 差 209 0.598853868 118 0.338109 總的住院天數(shù)減少了209天，總逗留時間減少了118天。平均每人在醫(yī)院的等待時間久減少了0.338109天！這樣大大提高了病人的等待時間，也就是提高了醫(yī)院的效率。 而從變量Bed的數(shù)據(jù)： {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,40,2,6,7,10,6,2,5,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}可以看出，病床現(xiàn)在可以空出來很多，周末不安排手術可能會使部分病人的等待時間增加到很長，但是可以看到，到2008-09-11時空出來了很多病床，這也說明醫(yī)院的效率大大提高了。 通過比較問題二和問題四的答案，發(fā)現(xiàn)問題四的等待時間比問題二中的時間短，但是實際上問題四中在周末不能做手術，約束條件增加了，效率應該下降才對的。然而現(xiàn)在的結果是效率反升不降。其實這是因為我們在處理數(shù)據(jù)的時候將雙眼白內障的病人住院時間往后推了很多，在調整的初期階段等待時間當然是要變長的，但是隨著時間往后推移，空出來的病床會增多，從而使得整體的住院時間變短?？傊畯恼w上還是提高了醫(yī)院體系的效率。 6.5. 問題五 用lingo11.0在主頻為1.80GHz，內存為512MB的計算機上計算(程序見附錄9)，結果(數(shù)據(jù)見附錄10)顯示外傷病床數(shù)為零，這顯然是不合理的，而且有時導致系統(tǒng)剩余量為負，這說明病床數(shù)不夠，需要增加，簡單計算的至少需要82張病床才能滿足要求，在改進中進行具體計算。 7. 模型評價 7.1. 模型優(yōu)點 問題一中我們應用了排隊論模型；問題二中我們建立了自己的算法通過Mathematica編程求得了較優(yōu)的病床安排方案，用問題一中的指標去衡量問題二中求得的結果，發(fā)現(xiàn)以問題二中的方案安排病床將節(jié)省大量的等待時間；問題三我們簡化了模型，通過每類眼病患者的等待入院時間頻數(shù)圖確定每類病人大致需要等待幾天才能入院，從而大致確定患者入住時間區(qū)間，可以有效減少不必要的計算。 對問題二理解并深入，從建立模型、改進模型，到最后改進方向，從常規(guī)方法到圖解方法，做得比較全面。 7.2. 模型缺點 問題一中缺乏一定的衡量標準；問題二中求得的只是較優(yōu)解，可能存在更好的解；問題三只能預測一部分人，總有患者的入院時間安排是例外的；問題四是建立在問題二的基礎上的，因此與問題二有相同的缺點。 8. 模型改進及推廣 8.1. 模型改進方案 問題二： 為了便于根據(jù)第二天由于部分病人出院產(chǎn)生的空床數(shù)量確定第二天安排哪一些病人入院。我們建立了一個評價優(yōu)先級的模型，即用模型對當天在等待的病人的入院優(yōu)先級各自評分，優(yōu)先級最靠前的病人第二天可以入院。模型采取滿分10分制，外傷病人就是10分，其他病人則需打分評定。 模型評分影響因素： l 星期影響 第二天的星期對病人的優(yōu)先級影響集中表現(xiàn)在白內障患者，尤其是雙眼白內障患者上。因為做雙眼白內障手術的只能在周一和周三，如果一個病人在周一入院，最快也要到周二才能做好術前準備，這樣這個病人就要在醫(yī)院一直等到下周一才能手術，期間白白浪費了5天。而可能這5天中就能治愈另一例單眼白內障或者外傷患者。單眼白內障患者亦有相同情況出現(xiàn)。如此一來，就會導致隊長越來越大，而病床的有效使用率卻很低。 模型中將周一到周日分別用1-7的數(shù)字表示，則星期的函數(shù)是一個T=7的周期函數(shù)。 雙眼白內障患者：構造分段函數(shù)——周一到周五為一段，增長平緩，周六、周日為一段，維持較高水平；單眼白內障患者：構造分段函數(shù)——周六到下周周二為一段，維持較高水平，周三到周五為一段，維持較低水平；對其他的患者星期影響則基本沒有。 表9：白內障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分初評 白內障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 7 6 -4 1 2 5 6 雙眼 -5 -2 1 3 5 7 6 l 等待時間長度 等待時間長度這一因素對出外傷以外所有患者都有作用。即一開始優(yōu)先級水平增長平緩，達到5天以后水平開始顯著上升，到25天以后增長速度明顯減慢，但優(yōu)先級維持高水平并趨向于滿分。 構造方程，需要求a，b，c，d四個變量： 。 畫圖計算得到較為合理的值，a=1/3，b=0.105，c=0.125，d=3.75.圖像如下： 圖5 等候病人等待時間部分的優(yōu)先級分數(shù)曲線 最終得： 對兩因素對各種病人的權重計算。對于非白內障和外傷的病人，星期的影響基本沒有，為方便計算，星期影響權重為0，等待時間長度影響為1。 對雙眼白內障患者，星期的權值在周六最大，周日較大，其他進行合理的漸變。 對于單眼白內障患者，周六到下周周二都較大，其他則較小。 由于周一到周日天數(shù)較少，這里不再模擬函數(shù)，而是直接給出數(shù)據(jù)： 表10：白內障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分初評權重 白內障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 0.6 0.5 0.2 0.2 0.2 0.4 0.5 雙眼 0.3 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 綜上所述，對于白內障的星期影響這一部分已能計算出定值： 表11：白內障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分終評 白內障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 4.2 3 -0.8 0.2 0.4 2 3 雙眼 -1.5 -0.4 0 1.2 2.5 4.9 3.6 由于權值和評分對后面的結果又影響，而其由乘積得出星期影響這部分的分數(shù)，所以誤差較大，二次比較一周內天與天之間的差別，修正其值，如下表： 表12：白內障等候病人入院優(yōu)先級的星期部分終評修正分 白內障 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 單眼 3.5 3 -1.5 -0.6 0 3 3 雙眼 -2 -0.8 0 1 2.5 4 2 這樣，用對優(yōu)先級評分的方法進行有限排序，從而可以較為合理地安排病人入院。用Matlab編程，流程圖如下：（程序見附錄11） 圖6 問題二改進方案程序流程圖 問題五： 假定增加床的數(shù)量上限為10張，也就是說增加3張到10張，用病床總數(shù)量82張到89張各情況都計算一次。 外傷為急診，為保障病人健康，應當留有病床給外傷病人。 而結果(見附錄)中有外傷的病床數(shù)為零的，或者很大(超過10)的顯然不合理，而且系統(tǒng)隊長分布極不平衡，舍去，剩下82、86兩種情況，對比后發(fā)現(xiàn)，兩者總體水平相近，在差別相對較大的系統(tǒng)平均等待隊長、顧客平均等待時間上也只相差不到1，鑒于82床增加床位數(shù)量少，應選擇82床的方案，白內障、青光眼、視網(wǎng)膜疾病、外傷的數(shù)量大約為23、15、42、2，比例分別約為28%、19%、51%、2%，其中白內障中雙眼單眼比約55:45，接近60:40病人數(shù)量比，顯得較為合理，予以接受。 8.2. 模型改進方向 問題二： 用圖解方法，即把79張病床想象為79條從一極坐標遠點出發(fā)的時間線，把各病人根據(jù)病人的住院時間想象成長短不一的火柴棒，以門診時間和手術時間為節(jié)點限制，求在一定限制條件下在半徑為60的79更半徑軸上能放最多的棒數(shù)量的方案 問題三： 用蒙特卡洛法模擬當天之后的數(shù)周內到達的患者信息，這樣就能大致知道近期一個月時間里的患者信息，然后用問題二中的算法對已知信息數(shù)據(jù)求解較優(yōu)的病床安排方案，由此便可大致知道某位患者大致的入住時間區(qū)間。 原方案對于某天的某個患者不需要計算就可以預測，在計算方面會優(yōu)于方案二，但是方案一只能預測一部分人，總有患者的入院時間安排是例外的，方案二的預測具有更廣泛的適用性。 8.3. 模型的推廣 排隊是社會常見的現(xiàn)象，如病人看病、旅客買票、飛機登機等都要涉及到排隊問題。對排隊現(xiàn)象進一步分析研究，可解決現(xiàn)實社會存在的一些重大問題。類似文章中的模型的實用性大、應用廣泛，例如服務綱點設置，投資方向和人員配備等方面都可以?，F(xiàn)在，提高工作效率已經(jīng)成為了一個熱點問題，在有限的資源情況下，我們希望做出更多的事情。而且，社會也逐漸趨于人性化，人工智能等研究已經(jīng)成為了社會的熱點問題。在這個問題的研究中，目前已有許多研究者從各個不同角度對其作了一定研究，并已取得了一定進展。而排隊論的研究目的是通過對排隊系統(tǒng)中概率規(guī)律的研究，使系統(tǒng)達到最優(yōu)設計和最優(yōu)控制，以最小費用實現(xiàn)系統(tǒng)的最大效益。并將該模型簡單地應用在電子商務、售票系統(tǒng)、虛擬書店等方面，通過這些實例的研究，充分說明了該模型的有效性和合理性。 9. 參考文獻 [1] 孫榮恒，李建平.排隊論基礎.北京：科學出版社，2002 [2] 楊超.運籌學.北京：科學出版社，2004 [3] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型3版.北京：高等教育出版社，2003.8 [4] 李志林，歐宜貴.數(shù)學建模及典型案例分析.北京：化學工業(yè)出版社，2006.12 [5] 楊驊高及仁,程傳苗. 應用排隊論理論合理安排醫(yī)院急診工作[J]. 中國醫(yī)院管理,1999,(6). [6] 張?zhí)m江,張建福.蒙特卡羅模擬法在排隊論中的應用.交通與運輸，2008.12. 附錄 1. 每天出入院人數(shù)與隊長大小變化 門診日期 門診情況（人數(shù)） 門診 人數(shù) 入院 人數(shù) 出院 人數(shù) 空缺 隊長 白內障 白內障 (雙眼) 青光眼 視網(wǎng)膜 疾病 外傷 2008-7-13 1 1 1 3 1 7 0 0 0 [7] 2008-7-14 1 3 1 4 0 9 1 (1) 0 [15] 2008-7-15 3 2 2 3 0 10 0 0 0 [25] 2008-7-16 1 2 1 2 1 7 0 0 0 [32] 2008-7-17 1 6 1 3 1 12 1 (1) 0 [43] 2008-7-18 2 4 1 3 2 12 1 (1) 0 [54] 2008-7-19 3 1 2 3 1 10 2 1+(1) 0 [62] 2008-7-20 3 1 0 3 2 9 1 (1) 0 [70] 2008-7-21 2 5 0 0 2 9 2 (2) 0 [77] 2008-7-22 3 0 1 1 1 6 2 1+(1) 0 [81] 2008-7-23 5 2 2 5 2 16 1 (1) 0 [96] 2008-7-24 2 0 1 4 0 7 2 (2) 0 101 2008-7-25 1 2 0 2 0 5 4 (2) 0 102 2008-7-26 2 0 2 0 0 4 8 (7) 0 98 2008-7-27 2 2 1 2 2 9 11 1+(10) 0 96 2008-7-28 0 1 4 5 2 12 11 3+(8) 0 97 2008-7-29 1 1 2 1 0 5 9 2+(7) 0 93 2008-7-30 2 1 0 1 2 6 9 5+(4) 0 90 2008-7-31 0 1 4 4 2 11 8 1+(7) 0 93 2008-8-1 0 4 1 3 3 11 7 2+(5) 0 97 2008-8-2 1 1 0 4 0 6 12 5+(7) 0 91 2008-8-3 1 3 2 5 0 11 6 2+(4) 0 96 2008-8-4 1 3 0 1 1 6 6 2+(4) 0 96 2008-8-5 2 0 1 2 0 5 5 4+(1) 0 96 2008-8-6 4 5 0 4 1 14 9 8+(1) 0 101 2008-8-7 4 4 1 4 2 15 8 7+(1) 0 108 2008-8-8 0 1 1 5 1 8 15 15 0 101 2008-8-9 1 1 0 2 0 4 20 20 0 85 2008-8-10 2 2 1 1 2 8 9 9 0 84 2008-8-11 0 1 1 4 0 6 6 6 0 84 2008-8-12 3 3 0 1 0 7 2 2 0 89 2008-8-13 1 5 1 6 0 13 6 6 0 96 2008-8-14 0 3 1 1 1 6 9 9 0 93 2008-8-15 1 2 2 5 0 10 8 8 0 95 2008-8-16 1 3 0 2 1 7 13 13 0 89 2008-8-17 1 2 0 2 3 8 6 6 0 91 2008-8-18 4 4 1 1 2 12 4 4 0 99 2008-8-19 2 4 1 7 0 14 7 7 0 106 2008-8-20 2 1 0 4 2 9 10 10 0 105 2008-8-21 1 0 0 1 1 3 4 4 0 104 2008-8-22 1 2 0 1 1 5 8 8 0 101 2008-8-23 1 3 2 1 1 8 18 18 0 91 2008-8-24 0 2 2 3 0 7 11 11 0 87 2008-8-25 3 2 1 2 1 9 6 6 0 90 2008-8-26 2 1 0 2 2 7 3 3 0 94 2008-8-27 1 1 0 3 3 8 8 8 0 94 2008-8-28 1 3 1 4 0 9 12 12 0 91 2008-8-29 2 3 2 2 2 11 10 10 0 92 2008-8-30 1 2 1 5 0 9 14 14 0 87 2008-8-31 2 1 2 3 0 8 2 2 0 93 2008-9-1 1 3 1 5 1 11 6 6 0 98 2008-9-2 3 1 0 1 1 6 2 2 0 102 2008-9-3 2 1 0 5 1 9 5 5 0 106 2008-9-4 1 3 4 5 2 15 9 9 0 112 2008-9-5 1 7 1 1 3 13 13 13 0 112 2008-9-6 0 2 1 1 1 5 17 17 0 100 2008-9-7 0 1 0 2 0 3 10 10 0 93 2008-9-8 4 1 0 3 1 9 4 4 0 98 2008-9-9 2 0 2 1 2 7 5 5 0 100 2008-9-10 4 3 1 1 0 9 13 13 0 96 2008-9-11 1 4 2 5 1 13 7 7 0 102 注：(*)表示括號內為2008-7-13前入院并在2008-7-13后出院的病人數(shù)量； [*]表示括號內為不可采信的數(shù)據(jù)。 2. Lingo對問題一的分析計算 MODEL: S=79;!病床數(shù); R=7;!平均每天就診病人數(shù); T=9.002865;!平均住院時間; load=R*T;!系統(tǒng)到達負荷; Pwait=@peb(load,S); !病人等待的概率; W_q=Pwait*T/(S-load);!顧客平均等待時間; L_q=R*W_q;! 系統(tǒng)平均等待隊長; W_s=W_q+T;!顧客平均逗留時間; L_s=W_s*R;!系統(tǒng)平均隊長; END 3. Mathematica對實現(xiàn)第二問的程序 k=1; (處理的天數(shù)*) While[k￡54, (*對病人循環(huán)處理,i為循環(huán)變量*) Print["運行觀察K=",k]; Do[ (*對門診時間在K前且未入院的病人處理*) If[flag[[i]]?0&&R[[i,2]]0, X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(*第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+1;X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,3]]+R[[i,6]]-R[[i,3]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*外傷病人處理完畢*) (*對雙白內障病人處理*) If[R[[i,1]]?2&&Mod[k,7]?6&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床3"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;X[[i,5]]=X[[i,4]]+2; X[[i,6]]=X[[i,5]]+R[[i,6]]-R[[i,5]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對雙白內障病人處理完畢*) (*對單白內障病人處理*) If[R[[i,1]]?1&&(Mod[k,7]?1||Mod[k,7]?6)&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床4"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,4]]+R[[i,6]]-R[[i,4]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對單白內障病人處理完畢*) (*對青光眼及視網(wǎng)膜病人處理*) If[(R[[i,1]]?3||R[[i,1]]?4)&&(Mod[k,7]16&&Mod[k,7]11)&&Bed[[k]]>0, Print["k=",k,",有空床2"]; X[[i,3]]=k;Bed[[k]]=Bed[[k]]-1;(* 第K天每人院1人，病床少一張*) X[[i,4]]=X[[i,3]]+2;(*這是這里按術前兩天計算*) X[[i,5]]=0; X[[i,6]]=X[[i,4]]+R[[i,6]]-R[[i,4]]; xt=X[[i,6]]; flag[[i]]=1; Bed[[xt]]=Bed[[xt]]+1; ]; (*對青光眼及視網(wǎng)膜病人處理完畢*) ]; ,{i,1,349}];(*對病人循環(huán)處理至此結束*) Bed[[k+1]]=Bed[[k+1]]+Bed[[k]];Bed[[k]]=0; k=k+1; ]; 4. 對第二問中未知數(shù)據(jù)和不合理數(shù)據(jù)的模擬結果 病人 序號 類型 代碼 準備 間期 觀察 病人 序號 類型 代碼 準備 間期 觀察 病人 序號 類型 代碼 準備 間期 觀察 1 5 1 0 4 178 4 2 0 13 355 4 3 0 9 2 4 2 0 12 179 4 2 0 9 356 2 2 2 3 3 1 2 0 3 180 4 2 0 11 357 4 2 0 11 4 4 2 0 8 181 1 2 0 4 358 4 2 0 12 5 3 2 0 9 182 4 2 0 12 359 2 2 2 3 6 4 3 0 13 183 2 2 2 3 360 2 2 2 3 7 2 2 2 3 184 3 2 0 7 361 4 2 0 7 8 4 3 0 8 185 2 2 2 3 362 1 1 0 3 9 2 2 2 2 186 3 2 0 8 363 4 2 0 10 10 1 2 0 2 187 4 2 0 9 364 4 2 0 12 11 4 3 0 10 188 2 1 2 3 365 4 2 0 10 12 2 2 2 3 189 1 2 0 3 366 4 2 0 7 13 2 2 2 3 190 2 2 2 3 367 4 2 0 9 14 3 2 0 6 191 4 2 0 9 368 2 2 2 3 15 4 2 0 11 192 4 2 0 12 369 4 2 0 8 16 4 2 0 8 193 4 2 0 13 370 2 1 2 3 17 4 2 0 14 194 4 3 0 9 371 2 2 2 3 18 1 1 0 2 195 2 2 2 4 372 4 2 0 9 19 3 2 0 7 196 4 3 0 8 373 3 2 0 7 20 2 1 2 3 197 2 2 2 3 374 3 2 0 8 21 4 2 0 11 198 5 1 0 7 375 2 1 2 3 22 3 2 0 8 199 2 2 2 3 376 4 3 0 6 23 1 1 0 2 200 1 2 0 3 377 2 2 2 2 24 1 1 0 2 201 4 3 0 10 378 2 2 2 3 25 2 2 2 3 202 4 3 0 5 379 3 3 0 8 26 4 3 0 10 203 1 2 0 3 380 4 3 0 10 27 3 3 0 7 204 1 2 0 2 381 2 2 2 4 28 1 2 0 4 205 3 3 0 6 382 4 3 0 11 29 5 1 0 4 206 4 3 0 13 383 4 3 0 8 30 2 2 2 3 207 1 2 0 3 384 2 2 2 3 31 4 3 0 10 208 2 1 2 3 385 3 3 0 10 32 2 1 2 3 209 1 1 0 2 386 4 3 0 8 33 4 3 0 11 210 4 2 0 10 387 4 3 0 7 34 4 3 0 10 211 1 1 0 2 388 3 3 0 9 35 1 1 0 4 212 2 1 2 4 389 2 2 2 3 36