待定系數(shù)法分解因式(附答案).doc
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______________________________________________________________________________________________________________ 待定系數(shù)法分解因式(附答案) 待定系數(shù)法作為最常用的解題方法,可以運(yùn)用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決應(yīng)用問題等各種場合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中,認(rèn)真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法,必將大有裨益。 內(nèi)容綜述 將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù),或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式,這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。 本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)解題的技巧。 要點(diǎn)解析 這一部分中,通過一系列題目的因式分解過程,同學(xué)們要學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解時(shí)的方法,步驟,技巧等。 例1 分解因式 思路1 因?yàn)? 所以設(shè)原式的分解式是然后展開,利用多項(xiàng)式的恒等,求出m, n,的值。 解法1因?yàn)樗钥稍O(shè) 比較系數(shù),得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1,然后給x,y取特殊值,求出m,n 的值。 解法2 因?yàn)樗钥稍O(shè) 因?yàn)樵撌绞呛愕仁剑运鼘?duì)所有使式子有意義的x,y都成立,那么無妨令得 令得 解①、②得或 把它們分別代入恒等式檢驗(yàn),得 ∴ 說明:本題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù),必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗(yàn)。若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立,則需將此解舍去;若得方程組無解,則說明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。 例2 分解因式 思路 本題是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式,可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之積。 解 設(shè) 由恒等式性質(zhì)有: 由①、③解得代入②中,②式成立。 ∴ 說明 若設(shè)原式 由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程組無解,故設(shè)原式 例3 在關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中,當(dāng)時(shí),其值為0;當(dāng)時(shí),其值為0;當(dāng)時(shí),其值為10,求這個(gè)二次三項(xiàng)式。 思路1 先設(shè)出關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式,然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)??煽紤]利用恒待式的性質(zhì)。 解法1 設(shè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式為把已知條件分別代入,得 解得 故所求的二次三項(xiàng)為 思路2 根據(jù)已知時(shí),其值0這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為然后再求出a的值。 解法2 由已知條件知當(dāng)時(shí),這個(gè)二次三項(xiàng)式的值都為0,故可設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為 把代入上式,得 解得 故所求的二次三項(xiàng)式為即 說明要注意利用已知條件,巧設(shè)二次三項(xiàng)式的表達(dá)式。 例4 已知多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)。若是奇數(shù),證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 思路先設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積,然后利用已知條件及其他知識(shí)推出這種分解是不可能的。 證明:設(shè) (m,n,r都是整數(shù))。 比較系數(shù),得 因?yàn)槭瞧鏀?shù),則與d都為奇數(shù),那么mr也是奇數(shù),由奇數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)。 在①式中令,得② 由是奇數(shù),得是奇數(shù)。而m為奇數(shù),故是偶數(shù),所以是偶數(shù)。這樣②的左邊是奇數(shù),右邊是偶數(shù)。這是不可能的。 因此,題中的多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 說明:所要證的命題涉及到“不能”時(shí),常??紤]用反證法來證明。 例5 已知能被整除,求證: 思路:可用待定系數(shù)法來求展開前后系數(shù)之間的關(guān)系。 證明:設(shè)展開,比較系數(shù),得 由①、②,得, 代入③、④得:, ∴ 例6若a是自然數(shù),且的值是一個(gè)質(zhì)數(shù),求這個(gè)質(zhì)數(shù)。 思路:因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身,故可用待定系數(shù)法將多項(xiàng)式分解因式,且使得因式中值較小的為1,即可求a的值。進(jìn)而解決問題。 解:由待定系數(shù)法可解得 由于a是自然數(shù),且 是一個(gè)質(zhì)數(shù), ∴ 解得 當(dāng)時(shí),不是質(zhì)數(shù)。 當(dāng) 時(shí),是質(zhì)數(shù)。 ∴=11 . 培優(yōu)訓(xùn)練 A級(jí) ★★★1、分解因式_______. ★★★2、若多項(xiàng)式能被 整除,則n=_______. ★★3、二次三項(xiàng)式當(dāng) 時(shí)其值為-3,當(dāng) 時(shí)其值為2,當(dāng) 時(shí)其值為5 ,這個(gè)二次三項(xiàng)式是_______. ★★4、m, n是什么數(shù)時(shí),多項(xiàng)式能被整除? B級(jí) ★★★5、多項(xiàng)式 能分解為兩個(gè)一次因式的積,則k=_____. ★★★6、若多項(xiàng)式 能被整除,則_______. ★★7、若多項(xiàng)式當(dāng)2 時(shí)的值均為0,則當(dāng)x=_____時(shí),多項(xiàng)式的值也是0。 ★★★8、求證:不能分解為兩個(gè)一次因式的積。 參考答案或提示: 1. 提示:設(shè)原式 比較兩邊系數(shù),得 由①、②解得 將 代入③式成立。 ∴原式 2、-4。 提示:設(shè)原式 = 比較系數(shù),得 由①、②解得 代入③得 3、 提示:設(shè)二次三項(xiàng)式為 把已知條件代入,得 解得 ∴所求二次三項(xiàng)式為 4. 設(shè) 比較系數(shù),得 解得 ∴當(dāng)m=-11,n=4已知多項(xiàng)式能被整除。 5.-2 提示:設(shè)原式 . 比較系數(shù),得 解得 6.-7 提示:設(shè)原式 比較系數(shù),得 解得 ∴ 7.3. 提示:設(shè)原式 比較系數(shù),得 解得c=3. ∴當(dāng)x=3時(shí),多項(xiàng)式的值也是0. 8.設(shè)原式且展開后比較系數(shù),得 由④、⑤得代入③,再由①、③得將上述入②得.而這與③矛盾,即方程組無解。故命題得證。 -可編輯修改-- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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