多元正態(tài)分布參數(shù)估計.ppt

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一、多元正態(tài)分布參數(shù)估計,1.樣本,多元分析的任務∶根據樣本數(shù)據來分析各變量之間的關系，推斷總體的性質。,多元樣本數(shù)據,為一元樣本,2.樣本平均值,樣本平均值是n個點的重心,例題：,計算均值、離差陣、協(xié)方差和相關陣,3.樣本離差(平方乘積和)矩陣S,計算離差陣,(樣本協(xié)方差)(樣本方差),4.樣本協(xié)差陣,6.樣本相關矩陣R,R為非負定矩陣,----樣本相關系數(shù),變量的線性組合的樣本值,計算和均值方差與協(xié)方差,7.二組樣本的協(xié)方差矩陣,8.總體均值和協(xié)方差矩陣的最大似然估計,設,用最大似然法求出的均值和協(xié)方差的估計量分別為,9.基本性質,1）,是總體均值的無偏估計,2）,是總體協(xié)方差的無偏估計,分別是總體均值和協(xié)差陣的有效估計,是總體均值和協(xié)差陣的一致估計估計,3）,4）,和,和,和,10.定理設,和S分別是正態(tài)總體,樣本均值和離差陣，則,和S相互獨立,1）,2）,3）,二、多元統(tǒng)計中常用的分布,在一元統(tǒng)計中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元統(tǒng)計中，他們分別發(fā)展為Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11分布和Wishart分布,定義1設為相互獨立且同服從于分布的隨機變量。則(1)所服從的分布叫做分布，稱為自由度且記為。,定理2.由(1)式定義的隨機變量的分布密度函數(shù)為,,,定理3.設，且與相互獨立，則,推論2設是抽自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量,Wishart分布它是多元樣本離差平方和矩陣的分布,定義1設為相互獨立且同服從于分布，令則(1)所服從的分布叫做自由度為的p維維希特分布，記作,顯然，當p=1時，有,Wishart分布像卡方分布一樣具有加法性質，若相互獨立，則,設，且與相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為的分布，記為。將T平方，即,三分布與分布,在多元統(tǒng)計中分布是一元統(tǒng)計中t分布的推廣,定義：若，S與X相互獨立、稱隨機變量是自由度為（p，n）的分布可以轉化為F分布,Hotelling,四、分布與Wilks分布定義3設，，且與相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為的分布，記為。,F—分布事實上為從正態(tài)總體隨機抽取的兩個樣本方差的比，在方差分析和回歸分析中廣泛使用,描述的變異程度的統(tǒng)計參數(shù)稱為廣義方差，其定義有很多如,F—統(tǒng)計量的推廣是統(tǒng)計量,定義：若,相互獨立，則稱隨機變量的分布是自由度為(p,n1,n2)的分布,第三章假設檢驗1、Σ已知時單總體均值向量的檢驗,設從總體X～NP(μ,Σ)中隨機抽取了一個容量為n的樣本，得到的無偏估計為檢驗是否等于已知向量。即,,,,,,，,,,由于,由正態(tài)分布與卡方分布的關系得,,構造檢驗統(tǒng)計量為,,具體步驟是：①作統(tǒng)計假設②計算樣本的均值③計算統(tǒng)計量T的具體值T0④按規(guī)定的小概率標準α，查卡方分布表Ta，得臨界值，并作出判斷當T0≤Ta，接受H0，拒絕H1，即認為與沒有顯著差異。當T0＞Ta，接受H1，拒絕H0，即認為與有顯著差異。,,,,2、Σ未知時均值向量的檢驗,在一元統(tǒng)計理論中，當方差未知時，取檢驗統(tǒng)計量為,,,推廣到多元，考慮統(tǒng)計量,,,其中樣本均值,樣本離差陣,,,故由T2分布定義知,,,其中,,利用T2與F分布的關系，檢驗統(tǒng)計量取為,具體步驟是：①作統(tǒng)計假設：，②計算樣本均值和樣本協(xié)方差③由公式計算F統(tǒng)計量具體值F0。④按規(guī)定的顯著水平α，查F分布臨界值，并作出判斷：當接受H0，拒絕H1；當拒絕H0，接受H1。,,,例1某小麥良種的四個主要經濟性狀的理論值為現(xiàn)在從外地引入一新品種，在21個小區(qū)種值，取得數(shù)據如表：,,設新品種的四個性狀服從正態(tài)，試檢驗假設,,,,3．,,,查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因為故拒絕H。,,3、兩總體協(xié)差陣相等（但Σ未知）時均值向量的檢驗,當P=1時，因且相互獨立，在H0成立條件下，有,,，,,,,推廣到P元總體，可以得到形式類似的統(tǒng)計量T2：,X～NP(μ1,Σ),,Y～NP(μ2,Σ),,,,其中,,具體步驟：①作統(tǒng)計假設：，②計算樣本均值和，樣本離差陣。③由公式計算統(tǒng)計量具體值F。④按規(guī)定的顯著水平α，查F分布臨界值當接受H0，拒絕H1；當拒絕H0，接受H1。,,,4、Σ已知時，均值μ的置信域,從一元統(tǒng)計中我們已經了解到，均值假設檢驗問題本質上也等價于均值的置信區(qū)間,假設來自P元正態(tài)總體NP(μ,Σ)由前面討論知,,,,在任給置信度，查卡方分布臨界值表得滿足,則均值向量,的置信度為,的置信域為,該置信域是一個中心在,橢球。當檢驗,時，若,落在該置信域內，即,，則在顯著水平,下，接受H0；若,沒有落入該置信域內，則否定H0。所以在多元統(tǒng)計中，也可以說均值向量的假設檢驗問題本質上也等價于求均值向量的置信域。,則均值向量的置信域為,,該置信域是一個中心在,置信域橢球的半軸長分別為,其中,。,5、Σ未知時，均值μ的置信域,的橢球。,