中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一部分 中考基礎(chǔ)復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 第3講 四邊形與多邊形 第2課時(shí) 特殊的平行四邊形.ppt

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第2課時(shí),特殊的平行四邊形,1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系.2.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直，以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).,),1.(2017年湖北十堰)下列命題錯(cuò)誤的是(A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形答案：C,2.(2017年湖南懷化)如圖4-3-25，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60，AC＝6cm，則AB的,長(zhǎng)是(,),圖4-3-25,A.3cm,B.6cm,C.10cm,D.12cm,答案：A,),3.關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是(A.若AB⊥BC，則?ABCD是菱形B.若AC⊥BD，則?ABCD是正方形C.若AC＝BD，則?ABCD是矩形D.若AB＝AD，則?ABCD是正方形答案：C,4.(2017年四川宜賓)如圖4-3-26，在菱形ABCD中，若AC,＝6，BD＝8，則菱形ABCD的面積是________.,圖4-3-26答案：24,5.如圖4-3-27，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，請(qǐng)你添加一個(gè)條件____________，使四邊形DBCE是矩形.,圖4-3-27,答案：EB＝DC(答案不唯一),(續(xù)表),(續(xù)表),菱形的性質(zhì)與判定,例1：(2017年北京)如圖4-3-28，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90，E為AD的中點(diǎn)，連接BE.,圖4-3-28,(1)求證：四邊形BCDE為菱形；,(2)連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長(zhǎng).,[思路分析](1)先證四邊形BCDE是平行四邊形，再證其為,菱形；,(2)利用等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，即可求解.(1)證明：如圖4-3-29，∵E為AD中點(diǎn)，AD＝2BC，∴BC,＝ED.,圖4-3-29,∵AD∥BC,∴四邊形BCDE是平行四邊形.∵∠ABD＝90，AE＝DE，∴BE＝ED.∴四邊形BCDE是菱形.,(2)解：連接AC，如圖4-3-29.∵AD∥BC，AC平分∠BAD，,∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴BA＝BC＝1.,【試題精選】,1.(2016年山東濱州節(jié)選)如圖4-3-30，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG.請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由.,圖4-3-30,解：(1)四邊形EBGD是菱形．理由如下：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD.∴∠EBD＝∠EDB.∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，,∴△EFD≌△GFB(ASA)．∴ED＝BG.∴BE＝ED＝DG＝GB.∴四邊形EBGD是菱形．,2.(2016年貴州安順)如圖4-3-31，在?ABCD中，BC＝2AB,＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn).,(1)求證：△ABE≌△CDF；,(2)當(dāng)四邊形AECF為菱形時(shí)，求出該菱形的面積.,圖4-3-31,(1)證明：∵在?ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝,∠CDA，,∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF(SAS)．,(2)解：∵四邊形AECF為菱形時(shí)，∴AE＝EC.又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，即BE＝AE.,[名師點(diǎn)評(píng)]菱形的性質(zhì)可以用于證明線段相等、角相等、直線平行、垂直等，常與三角形全等、勾股定理、方程相結(jié)合進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算與證明.,矩形的性質(zhì)與判定,例2：(2017年江蘇徐州)如圖4-3-32，在?ABCD中，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，EC.,圖4-3-32,(1)求證：四邊形BECD是平行四邊形；,(2)若∠A＝50，則當(dāng)∠BOD＝______時(shí)，四邊形BECD,是矩形.,[思路分析](1)由AAS證明△BOE≌△COD，得出OE＝,OD，即可得出結(jié)論；,(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠A＝50，由三角形的外角性質(zhì)求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，證出DE＝BC，即可得出結(jié)論.,(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD.∴∠OEB＝∠ODC.,又∵O為BC的中點(diǎn)，,(2)解析：若∠A＝50，則當(dāng)∠BOD＝100時(shí)，四邊形,BECD是矩形.理由如下：,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝50.,∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，,∴∠ODC＝100－50＝50＝∠BCD.∴OC＝OD.,∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.,∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形.答案：100,【試題精選】3.(2017年山西)如圖4-3-33，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到△BC′D，C′D與AB交于點(diǎn)E.若∠1＝35，則∠2的度,數(shù)為(,),圖4-3-33,A.20,B.30,C.35,D.55,答案：A,4.(2015年山東聊城)如圖4-3-34，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE.,求證：四邊形BECD是矩形.,圖4-3-34,證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.,∵四邊形ABED是平行四邊形，,∴BE∥AD，BE＝AD.∴BE∥CD，BE＝CD.∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90.∴四邊形BECD是矩形．,[名師點(diǎn)評(píng)]矩形的四個(gè)角為直角，常將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形；矩形的對(duì)角線將矩形分成四個(gè)等腰三角形，這些思路及矩形性質(zhì)是證明線段、角相等以及線段平行、垂直的重要依據(jù).,正方形的性質(zhì)與判定,例3：(2017年湖南懷化)如圖4-3-35，四邊形ABCD是正,方形，△EBC是等邊三角形.(1)求證：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度數(shù).,圖4-3-35,(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90，∠EBC＝∠ECB＝60.∴∠ABE＝∠DCE＝30.在△ABE和△DCE中，,∴△ABE≌△DCE(SAS).,(2)解：∵BA＝BE，∠ABE＝30，,∵∠BAD＝90，,∴∠EAD＝90－75＝15.同理可得∠ADE＝15.∴∠AED＝180－15－15＝150.,【試題精選】5.(2016年貴州畢節(jié))如圖4-3-36，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.,),若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是(圖4-3-36,A.3,B.4,C.5,D.6,答案：B,[解題技巧]與正方形有關(guān)的計(jì)算及推理題常與三角形的全等、勾股定理、方程、三角函數(shù)相聯(lián)系，有關(guān)正方形的判定方法較多，一般在矩形、菱形的基礎(chǔ)上，從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方向進(jìn)一步分析、判斷與證明.,1.(2017年廣東)如圖4-3-37，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝,2S△CDF，其中正確的是(,)圖4-3-37,A.①③,B.②③,C.①④,D.②④,答案：C,2.(2016年廣東)如圖4-3-38，正方形ABCD的面積為1，則,),以相鄰兩邊中點(diǎn)連接EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(圖4-3-38,答案：B,3.(2015年廣東)如圖4-3-39，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC,＝60，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是__________.,圖4-3-39,答案：6,4.(2015年廣東)如圖4-3-40，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG.,(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng).,圖4-3-40,解：(1)在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90.∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90.,∴△ABG≌△AFG(HL)．,(2)由(1)，得BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x.∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝EF＝DE＝3.∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2.解得x＝2.∴BG＝2.,5.(2017年廣東)如圖4-3-41，已知四邊形ABCD，ADEF都,是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角.,(1)求證：AD⊥BF；,(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數(shù).,圖4-3-41,(1)證明：如圖D24，連接DB，DF.,圖D24,∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，,∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.在△BAD與△FAD中，,∴△BAD≌△FAD.∴DB＝DF.∴D在線段BF的垂直平分線上．∵AB＝AF，∴A在線段BF的垂直平分線上．∴AD是線段BF的垂直平分線．∴AD⊥BF.,(2)解：如圖D25，設(shè)AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，則,四邊形BGDH是矩形，,圖D25,∵BF＝BC，BC＝CD，,