山東省2019中考數(shù)學 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應用課件.ppt
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考點一線段、周長問題例1(2017濱州中考)如圖，直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(－4，0)，B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點C.,(1)求直線y＝kx＋b的函數(shù)解析式；(2)若點P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；(3)若點E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值．,【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；(2)利用相似三角形的判定與性質可得到d與x的函數(shù)關系式，結合二次函數(shù)的性質可得點P的坐標；(3)先確定點E的位置，再利用(2)中的結論解答即可．,【自主解答】(1)∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)，B(0，3)，∴直線的函數(shù)解析式為y＝x＋3.,(2)如圖，過點P作PH⊥AB于點H，過點H作x軸的平行線MN，分別過點A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N.,設H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90.∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90，∴∠MAH＝∠PHN.∵∠AMH＝∠PNH＝90，∴△AMH∽△HNP.,(3)如圖，作點C關于直線x＝1的對稱點C′，過點C′作C′F⊥AB于F，交拋物線的對稱軸x＝1于點E，此時CE＋CF的值最小．根據(jù)對稱性，易知點C′(2，1)．∵點C′在拋物線上，∴由(2)得，C′F＝即CE＋EF的最小值為,1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(－1，0)和點B(1，0)，直線y＝2x－1與y軸交于點C，與拋物線交于點C，D.,(1)求拋物線的解析式；(2)求點A到直線CD的距離；(3)平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G，P，Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標．,解：(1)直線y＝2x－1，當x＝0時，y＝－1，則點C坐標為(0，－1)．設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c.∵點A(－1，0)，B(1，0)，C(0，－1)在拋物線上，∴拋物線的解析式為y＝x2－1.,(2)直線y＝2x－1，當y＝0時，x＝.如圖，過點A作AF⊥CD于點F.設直線CD交x軸于點E，則E(，0)．,(3)∵平移后拋物線的頂點P在直線y＝2x－1上，∴設P(t，2t－1)，則平移后拋物線的解析式為y＝(x－t)2＋2t－1.聯(lián)立化簡得x2－(2t＋2)x＋t2＋2t＝0，解得x1＝t，x2＝t＋2，即點P，Q的橫坐標相差2，,△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：,①若點P為直角頂點，如圖1，則PG＝PQ＝∴OG＝CG－OC＝10－1＝9，∴G(0，9)．,②若點Q為直角頂點，如圖2，則QG＝PQ＝同理可得G(0，9)．③若點G為直角頂點，如圖3，分別過點P，Q作y軸的垂線，垂足分別為點M，N.此時PQ＝，則GP＝GQ＝易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，,∴GN＝PM，GM＝QN.在Rt△QNG中，由勾股定理得GN2＋QN2＝GQ2，即PM2＋QN2＝10.∵點P，Q橫坐標相差2，∴NQ＝PM＋2，∴PM2＋(PM＋2)2＝10，解得PM＝1，∴NQ＝3.直線y＝2x－1，當x＝1時，y＝1，,∴P(1，1)，即OM＝1，∴OG＝OM＋GM＝OM＋NQ＝1＋3＝4，∴G(0，4)．綜上所述，符合條件的點G有兩個，其坐標為(0，4)或(0，9)．,考點二圖形面積問題例2(2016濱州中考)如圖，已知拋物線y＝與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.,(1)求點A，B，C的坐標；(2)點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；(3)此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．,【分析】(1)分別令x＝0，y＝0，求解即可；(2)分點E在x軸上方和x軸下方兩種情況討論；(3)分MA＝MC，MC＝AC，MA＝AC三種情況討論即可．,【自主解答】(1)令得x＝2或x＝－4；令x＝0，得y＝2.∴點A，B，C的坐標分別為(2，0)，(－4，0)，(0，2)．,(2)設拋物線的對稱軸交x軸于點D，則D是AB的中點．①如果E在x軸的上方，則AB和EF是平行四邊形的對角線，D是對角線的中點，∴D，E，F(xiàn)在一條直線上，E為拋物線的頂點，∴E點坐標為(－1，)，∴S?AEBF＝2S△AEB＝,②如果E在x軸的下方，則EF∥AB，EF＝AB＝6，點F的橫坐標為－1，∴E的橫坐標為－16，即－7或5，,(3)拋物線的對稱軸為x＝－1，AC＝①如果MA＝MC，則M為直線x＝－1與AC的垂直平分線的交點．設AC的中點為H，連接OH，,則H的坐標是(1，1)，∴直線OH的解析式為y＝x.∵OA＝OC，H為AC的中點，∴OH為AC的垂直平分線，又∵M為直線x＝－1與y＝x的交點，∴M的坐標為(－1，－1)．,②如果MC＝AC，則MC＝2.如圖，過點C作CN∥x軸，交對稱軸于點N，則N的坐標為(－1，2)．,∴NC＝1，NC⊥MN.在Rt△CMN中，NC＝1，MC＝2，∴MN＝.又∵N(－1，2)，M在拋物線的對稱軸上，∴M的坐標為(－1，2＋)或(－1，2－)．,③如果MA＝AC，則MA＝2，而點A到拋物線對稱軸的距離為3>2，∴拋物線對稱軸上不存在點M使得MA＝2.綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點M，使得△ACM是等腰三角形，點M的坐標是(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．,2．(2018遂寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋x＋4的對稱軸是直線x＝3，且與x軸相交于A，B兩點(B點在A點右側)，與y軸交于C點．,(1)求拋物線的解析式和A，B兩點的坐標；(2)若點P是拋物線上B，C兩點之間的一個動點(不與B，C重合)，則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；(3)若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN＝3時，求M點的坐標．,(2)當x＝0時，y＝∴點C的坐標為(0，4)．設直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)．將B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得∴直線BC的解析式為y＝－x＋4.,假設存在，設點P的坐標為如圖，過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，,∵－1＜0，∴當x＝4時，△PBC的面積最大，最大面積是16.∵0＜x＜8，∴存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16.,考點三動點、存在點問題例3如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標是(8，4)．連接AC，BC.,(1)求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；(2)動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為ts，當t為何值時，PA＝QA;,(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．,【分析】(1)先確定出點A，B坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形；(2)設運動時間為ts時，OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PA＝QA求得t的值即可；(3)分三種情況，用平面坐標系內兩點間的距離公式計算即可．,【自主解答】(1)在直線y＝－2x＋10上，令y＝0得x＝5，令x＝0得y＝10，即A(5，0)，B(0，10)．∵點A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，,∵AC2＝(8－5)2＋42＝25，BC2＝82＋(10－4)2＝100，AB2＝52＋102＝125，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．,(2)設運動時間為ts時，OP＝2t，BQ＝t，則CQ＝10－t.∵當點P運動到端點時，t＝＝5，當t＝5時，BQ＝5＜10，∴t的取值范圍是0≤t≤5.,在Rt△AOP和Rt△ACQ中，PA2＝OA2＋OP2＝25＋4t2，QA2＝QC2＋AC2＝25＋(10－t)2＝t2－20t＋125.∵PA＝QA，∴PA2＝QA2，即t2－20t＋125＝25＋4t2，解得t1＝－10(舍去)，t2＝，即運動時間為s時，PA＝QA.,(3)∵拋物線與x軸交于O(0，0)，A(5，0)兩點，∴對稱軸為x＝設存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形，,3．(2018臨沂中考)如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點B的坐標為(1，0)，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點．,(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線AB上方拋物線上的一點．過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE＝DE.①求點P的坐標；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在．請說明理由．,解：(1)在Rt△ABC中，由點B的坐標可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，則BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，則點A的坐標為(－2，6)．把點A，B的坐標代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中得∴該拋物線的解析式為y＝－x2－3x＋4.,(2)①由點A(－2，6)和點B(1，0)的坐標易得直線AB的解析式為y＝－2x＋2.如圖，設點P的坐標為(m，－m2－3m＋4)，則點E的坐標為(m，－2m＋2)，點D的坐標為(m，0)，,則PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2.由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴點P的坐標為(－1，6)．,②∵M在直線PD上，且P(－1，6)，設M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.,分三種情況：(ⅰ)當∠AMB＝90時，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3，∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；(ⅱ)當∠ABM＝90時，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．,(ⅲ)當∠BAM＝90時，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．綜上所述，點M的坐標為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．,考點四二次函數(shù)綜合題百變例題(2018濟寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．,(1)求該拋物線的解析式；(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；(3)若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．,【分析】(1)已知A，B兩點坐標，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再將點C坐標代入即可解得；(2)過點A作AM⊥BC，利用全等三角形求出點N的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，同理可求出直線BC的解析式，聯(lián)立求出M坐標即可；(3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標即可．,【自主解答】(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵拋物線經(jīng)過點C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴拋物線的解析式為y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.,(2)如圖，過點A作AM⊥BC，垂足為點M，AM交y軸于點N，,∴∠BAM＋∠ABM＝90.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.,又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．設直線AM的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，,(3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形．設Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分兩種情況考慮：當四邊形BCQP為平行四邊形時，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，,當四邊形BCPQ為平行四邊形時，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.當m＝0時，P(0，－3)(舍去)；當m＝2時，P(2，－3)．綜上所述，存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．,變式1：若點D是拋物線的頂點，求△ACD面積與△ABC面積的比．,解：如圖，連接AC，AD，CD，作DL⊥x軸于點L.∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC,變式2：若E是x軸上一個動點，過E作射線EF∥BC交拋物線于點F，隨著E點的運動，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以B，E，F(xiàn)，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．,解：存在．理由如下：①如圖，當點F在x軸下方時，作FR⊥x軸于點R.∵四邊形BCFE為平行四邊形，∴EFBC，∴△ERF≌△BOC，∴RF＝OC＝3，,∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(與C點重合，舍去)，∴F(2，－3)．,②如圖，當F在x軸上方時，作FS⊥x軸于點S.∵四邊形BCEF為平行四邊形，∴EF綊BC，∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，,解得x1＝1＋，x2＝1－.綜上所述，F(xiàn)點為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．,變式3：如圖，若點G是線段AC上的點(不與A，C重合)，過G作GH∥y軸交拋物線于H，若點G的橫坐標為m，請用m的代數(shù)式表示GH的長．,解：設直線AC的解析式為y＝kx－3，則有0＝3k－3，解得k＝1，故直線AC的解析式為y＝x－3.已知點G的橫坐標為m，則G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0
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