中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題四 猜想與證明試題
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專題四 猜想與證明 命題規(guī)律 1.猜想與證明問題懷化中考近7年共考查5次,都是以解答題的形式出現(xiàn). 2.考查類型:(1)與圖形的位似有關(guān),探究?jī)蓷l邊之間的關(guān)系;(2)與尺規(guī)作圖有關(guān),利用正方形的性質(zhì)探究邊與邊之間的關(guān)系,其中有一問會(huì)涉及到如何作圖;(3)與旋轉(zhuǎn)有關(guān),主要是利用旋轉(zhuǎn)前后的性質(zhì),分別涉及到直線和正方形;(4)折疊問題主要是折疊過程中對(duì)圖形變化具體情況的分析,與圖形的折疊、平移有關(guān). 命題預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2017年懷化中考仍會(huì)重點(diǎn)考查此內(nèi)容,在訓(xùn)練時(shí)多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有關(guān)的知識(shí)的綜合題. ,中考重難點(diǎn)突破) 與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題 【例1】在圖①至圖③中,直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O,∠1=∠2=45. (1)如圖①,若AO=OB,請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系; (2)將圖①中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②,其中AO=OB.求證:AC=BD,AC⊥BD; (3)將圖②中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖③,求的值. 【學(xué)生解答】(1)AO=BD,AO⊥BD;(2)如圖②,過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E,∴∠ACO=∠BEO.又∵AO=OB,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE,∴AC=BE.又∵∠1=45,∴∠ACO=∠BEO=135.∴∠DEB=45,∵∠2=45,∴BE=BD,∠EBD=90.∴AC=BD.延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖②,∵BE∥AC,∴∠AFD=90,∴AC⊥BD;(3)如圖③,過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E,∴∠BEO=∠ACO.又∵∠BOE=∠AOC,∴△BOE∽△AOC.∴=.又∵OB=kAO,由(2)的方法易得BE=BD,∴=k. 【點(diǎn)撥】(1)在探索兩線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)常以三角形全等或者相似為工具,由對(duì)應(yīng)角的關(guān)系得到兩線段相等或者成對(duì)應(yīng)比例.有時(shí)需先進(jìn)行等量代換,將兩線段放到相似三角形或全等三角形中,若出現(xiàn)直角三角形,則利用直角三角形的性質(zhì)求解. (2)兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直.先觀察圖形,根據(jù)圖形先推測(cè)兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直.若平行,則常通過以下方法進(jìn)行證解:①平行線的判定定理;②平行四邊形對(duì)邊平行;③三角形中位線性質(zhì)等.若垂直,則可考慮以下途徑:①證明兩線段所在直線夾角為90;②兩線段是矩形的鄰邊;③兩線段是菱形的對(duì)角線;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明. 1.(2016會(huì)同模擬)已知△ABC中,M為BC的中點(diǎn),直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),過B,M,C分別作BD⊥m于點(diǎn)D,ME⊥m于點(diǎn)E,CF⊥m于點(diǎn)F. (1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí),如圖①,易證EM=____CF;(不需證明) (2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn),旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的位置時(shí),線段BD,ME,CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想,并選擇一種情況加以證明. 解:圖②的結(jié)論為:ME=(BD+CF),圖③的結(jié)論為:ME=(CF-BD).圖②的結(jié)論證明如下:如解圖①,連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于K,易證△DBM≌△KCM(ASA),∴DB=KC,DM=KM,由題意知:ME=FK,∴ME=(CF+CK)=(CF+DB);圖③的結(jié)論證明如下:如解圖②,連接DM并延長(zhǎng)交FC于K.易證△DBM≌△KCM(ASA),∴DB=KC,DM=KM,由題意知:EM=FK,∴ME=(CF-CK)=(CF-DB). 與圖形相似、位似有關(guān)的問題 【例2】如圖①,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),分別以B,C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同側(cè). (1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________;AE和ED的位置關(guān)系為________; (2)在圖①中,以點(diǎn)E為位似中心,作△EGF與△EAB位似,點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn),連接GH,HD,分別得到圖②和圖③. ①在圖②中,點(diǎn)F在BE上,△EGF與△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中點(diǎn).求證:GH=HD,GH⊥HD; ②在圖③中,點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上,△EGF與△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,請(qǐng)直接寫出CH的長(zhǎng)為多少時(shí),恰好使得GH=HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示) 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得,AE=DE.由AB=BE=EC=CD,可知∠AEB=∠DEC=45,所以∠AED=90,故AE⊥ED;(2)由△HGF≌△DHC可證GH=HD,GH⊥HD;由BC=2,可知BE=EC=1,∴EF=k,∴當(dāng)CH=k時(shí)可得CH=FG=k,從而證明△HFG≌△DCH,得到GH=HD,GH⊥HD. 【學(xué)生解答】解:(1)AE=ED,AE⊥ED;(2)①由題意,∠B=∠C=90,AB=BE=EC=DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2,∴∠GFE=∠B=90,GF=AB,EF=EB.∴∠GFE=∠C.∵EH=HC=EC.∴GF=HC,F(xiàn)H=FE+EH=EB+EC=BC=CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.又∵∠HDC+∠DHC=90,∴∠GHF+∠DHC=90,∴∠GHD=90,∴GH⊥HD;②CH的長(zhǎng)為k,恰好使GH=HD且GH⊥HD.理由如下:∵當(dāng)GH=HD,GH⊥HD時(shí),∴∠FHG+∠DHC=90,∵∠FHG+∠FGH=90,∴∠FGH=∠DHC,∴在Rt△GFH和Rt△HCD中,∴△GFH≌△HCD,∴CH=FG,∵EF=FG,∴EF=CH,∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1,BC=2,∴BE=EC=1,∴EF=k,∴CH的長(zhǎng)為k. 2.已知直線MN與線段AB交于點(diǎn)O,點(diǎn)C在直線MN上,且∠ACN=135,以點(diǎn)O為位似中心,作△BOD與△AOC位似. (1)如圖①,若△BOD與△AOC的位似比為1∶3,寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系; (2)在圖②中,若△BOD與△AOC的位似比為1∶1,∠BEM=45,寫出AC與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明; (3)在圖③中,若△BOD與△AOC的位似比為k∶1,∠BEM=45,求BE∶AC的值. 解:(1)AC∥BD,AC∶BD=3∶1;(2)AC=BE,AC⊥BE.證明如下:∵△BOD與△AOC位似且位似比為1∶1,∴△AOC≌△BOD,∴∠ACO=∠BDO=135,AC=BD.∴∠BDE=45,又∵∠BEM=45,∴∠BDE=∠BEM,∴BD=BE,BD⊥BE,∴AC=BE,AC⊥BE;(3)∵△BOD與△AOC位似且位似比為k∶1.∴△AOC∽△BOD,∴∠ACO=∠BDO=135,BD∶AC=k∶1,∴∠BDE=45,又∵∠BEM=45,∴∠BDE=∠BEM,∴BD=BE,BD⊥BE,∴BE∶AC=k∶1. 與圖形折疊、平移有關(guān)的問題 【例3】圖①和圖②中,優(yōu)弧AB所在⊙O的半徑為2,AB=2.點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合),將圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′. (1)點(diǎn)O到弦AB的距離是________,當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),∠ABA′=________; (2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí),如圖②,求折痕BP的長(zhǎng); (3)若線段BA′與優(yōu)弧AB只有一個(gè)公共點(diǎn)B,設(shè)∠ABP=α,確定α的取值范圍. 【解析】(1)作垂線OC,即為O到AB的距離.根據(jù)垂徑定理,構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形邊角關(guān)系以及三角函數(shù)即可得解.(2)由(1)得OC長(zhǎng)度以及半徑OB長(zhǎng)度,即可求出∠OBC的正弦值,從而求得∠OBC.再利用∠ABP與∠OBC的關(guān)系求出∠OBP的角度,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可.(3)在折疊過程中,BP有4個(gè)特殊位置,點(diǎn)A′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上,觀察圖形由線段BA′與圓心O的位置可確定α的范圍. 【學(xué)生解答】解:(1)1;60.解法提示:如解圖①,過點(diǎn)O作OC⊥AB,垂足為點(diǎn)C,連接OA,則∠OCA=90,AC=AB=2=.∵OA=2,∴OC===1.當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),在Rt△OCB中,sin∠OBC==,∴∠OBC=30,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,∠ABA′=2∠OBC=230=60; (2)如解圖②,作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OB,∵BA′與⊙O相切,∴∠OBA′=90,在Rt△OBC中,OB=2,OC=1,∴sin∠OBC==,∴∠OBC=30,∴∠ABP=∠ABA′=(∠OBA′+∠OBC)=60,∴∠OBP=30.作OD⊥BP于點(diǎn)D,則BP=2BD.∴BD=OBcos30=,∴BP=2;(3)∵點(diǎn)P,A不重合,∴α>0.由(1)得,當(dāng)α增大到30時(shí),點(diǎn)A′在上,∴當(dāng)0<α<30時(shí),點(diǎn)A′在⊙O內(nèi),線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.由(2)知,α增大到60時(shí),BA′與⊙O相切,即線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí),點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B,但點(diǎn)P,B不重合,∴∠OBP<90.∵α=∠OBA+∠OBP,∠OBA=30,∴α<120.∴當(dāng)60≤α<120時(shí),線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述,α的取值范圍是0<α<30或60≤α<120. 【點(diǎn)撥】解本題第(3)問的關(guān)鍵在于折疊過程中對(duì)圖形變化具體情況的分析,也是對(duì)第(1)、(2)問情況的綜合.在分類討論α的最大取值時(shí),很難想象出優(yōu)弧AB完全折疊過去時(shí)的情況,即P點(diǎn)即將與B點(diǎn)重合時(shí)α的數(shù)值,可以先在圖中畫出點(diǎn)P、B重合時(shí)的情況,重合時(shí)α為一個(gè)臨界點(diǎn),找到此臨界點(diǎn),再使α小于此臨界點(diǎn)即可解決. 3.(2015天津中考)將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)O(0,0).過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)O,A重合)作MN⊥AB于點(diǎn)N,沿著MN折疊該紙片,得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′.設(shè)OM=m,折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S. (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)A′落在第二象限時(shí),A′M與OB相交于點(diǎn)C,試用含m的式子表示S; (3)當(dāng)S=時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可). 解:(1)在Rt△ABO中,點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)O(0,0),∴OA=,OB=1.由OM=m,得AM=OA-OM=-m.根據(jù)題意,由折疊可知△BMN≌△AMN,∴BM=AM=-m.在Rt△MOB中,由勾股定理,BM2=OB2+OM2,得(-m)2=1+m2,解得m=.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0);(2)在Rt△ABO中,tan∠OAB===,∴∠OAB=30,由MN⊥AB,得∠MNA=90.∴在Rt△AMN中,得MN=AMsin∠OAB=(-m),AN=AMcos∠OAB=(-m).∴S△AMN=MNAN=(-m)2.由折疊可知△A′MN≌△AMN,有∠A′=∠OAB=30,∴∠A′MO=∠A′+∠OAB=60.∴在Rt△COM中,得CO=OMtan∠A′MO=m.∴S△COM=OMCO=m2,又S△ABO=OAOB=,∴S=S△ABO-S△AMN-S△COM=-(-m)2-m2,即S=-m2+m+(0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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