中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（六）直角三角形的應(yīng)用試題

《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（六）直角三角形的應(yīng)用試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（六）直角三角形的應(yīng)用試題（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

中檔題型訓(xùn)練(六)　直角三角形的應(yīng)用 命題規(guī)律 解直角三角形的應(yīng)用是懷化市中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實(shí)際生活為背景，考查學(xué)生運(yùn)用直角三角形知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，解答這類問題的方法是運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)，列出方程來求解． 命題預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2017年懷化中考，仍會(huì)考此知識(shí)點(diǎn)，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)的可能性較大，也可能出現(xiàn)解答題. 　仰角、俯角問題 【例1】(2016廣州中考)如圖，某無人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B，D.從A處看目標(biāo)B，D的俯角分別是30，60，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60 m，隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30 m到達(dá)A′處． (1)求A，B之間的距離； (2)求從A′處看目標(biāo)D的俯角的正切值． 【學(xué)生解答】解：(1)∵∠BAC＝90－30＝60，AC＝60 m，∴在Rt△ABC中，有AB＝＝＝120(m)．故A，B之間的距離為120 m；(2)過點(diǎn)D作DE⊥A′A，交A′A的延長線于點(diǎn)E，連接A′D，∵∠DAC＝90－60＝30，AC＝60 m，∴在Rt△ADC中，有CD＝ACtan∠DAC＝60tan30＝20(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90，∴四邊形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60 m，EA＝CD＝20 m，∴在Rt△A′ED中，有tan∠EA′D＝＝＝＝.即從A′處看目標(biāo)D的俯角的正切值為. 1．(2016瀘州中考)為了測(cè)量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60 m的點(diǎn)D(點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上)出發(fā)，沿斜面坡度為i＝1∶的斜坡DB前進(jìn)30 m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為53，求樓房AC的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin53≈0.8，cos53≈0.6，tan53≈，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值) 解：AC＝(60＋15) m. 2．(2015達(dá)州中考)學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下： (1)在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角∠AFH＝30； (2)在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器(C，D與B在同一直線上，且C，D之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH＝45； (3)測(cè)得測(cè)傾器的高度CF＝DG＝1.5 m，并測(cè)得CD之間的距離為288 m；已知紅軍亭高度EA為12 m，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB.(取1.732，結(jié)果保留整數(shù)) 解：設(shè)AH＝x m，在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45，∴GH＝EH＝AE＋AH＝x＋12，∵GF＝CD＝288 m，∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝x＋300，在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30，∴AH＝HFtan∠AFH，即x＝(x＋300)，解得x＝150(＋1)．∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5≈411(m)． 答：鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB大約是411 m. 　方位角問題 【例2】一艘觀光游船從港口A處以北偏東60的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37方向，馬上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．(參考數(shù)據(jù)：sin53≈0.8，cos53≈0.6) 【學(xué)生解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D.由題意得∠CAD＝30，∠CBD＝53，AC＝80海里，∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53＝，CB＝≈＝50(海里)．行駛時(shí)間為＝1.25(h)． 答：海警船到達(dá)C處大約需1.25 h. 3．(2016宿遷中考)如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.73) 解：過點(diǎn)P作PC⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)C.由題意知∠PAC＝30，∠PBC＝45.設(shè)PC＝x，在Rt△PBC中，BC＝x，在Rt△PCA中，AC＝x，8＋x＝x，x≈10.92.∵PC>10，∴不會(huì)觸礁． 　坡度、坡比問題 【例3】(2015內(nèi)江中考)如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60.已知A點(diǎn)的高度AB為3 m，臺(tái)階AC的坡度為1∶(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì))． 【學(xué)生解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝＝，∴∠ACB＝30，∴∠BAC＝60，∠PAC＝30，∠ACD＝180－∠ACB－∠DCE＝90，∴∠DAC＝60.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝ACtan∠DAC＝6tan60＝6.在Rt△CDE中，DE＝DCsin∠DCE＝6sin60＝9(m)． 答：樹DE的高為9 m. 4．(2016黃石中考)如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長AB＝800 m，BC＝200 m，坡角∠BAF＝30，∠CBE＝45. (1)求AB段山坡的高度EF； (2)求山峰的高度CF.(≈1.414，結(jié)果精確到米) 解：(1)EF＝ABsin30＝400. 答：AB段山坡高度為400 m； (2)CE＝BCsin45＝100≈141，∴CF＝CE＋EF≈541(m)． 答：山峰CF的高度約為541 m. 　生活中的解直角三角形問題 【例4】(2015紹興中考)如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角∠BAC，當(dāng)傘收緊時(shí)，結(jié)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度(單位：cm)如下： 傘架 DE DF AE AF AB AC 長度 36 36 36 36 86 86 　　(1)求AM的長； (2)當(dāng)∠BAC＝104時(shí)，求AD的長．(精確到1 cm) (備用數(shù)據(jù)：sin52≈0.788，cos52≈0.615 7，tan52≈1.279 9) 【學(xué)生解答】解：(1)由題意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的長為72 cm；(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104，∴∠EAD＝∠BAC＝52.過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90，∴AG＝AEcos∠EAG＝36cos52＝360.6157＝22.165 2.∴AD＝2AG＝222.165 2≈44(cm)．答：AD的長約為44 cm.  5．(2015重慶中考)某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31，漁船N的俯角β為45.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為30 m. (1)求兩漁船M，N之間的距離；(結(jié)果精確到1 m) (2)已知壩高24 m，壩長100 m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？ (參考數(shù)據(jù)：tan31≈0.60，sin31≈0.52) 解：(1)在Rt△PEN中，EN＝PE＝30 m，ME＝＝50(m)，則MN＝EM－EN＝20(m)． 答：兩漁船M，N之間的距離是20 m； (2)過點(diǎn)D作DN′⊥AH于點(diǎn)N′.由題意得：tan∠DAB＝4，tan∠H＝.在Rt△DAN′中，AN′＝＝＝6(m)，在Rt△DHN′中，HN′＝＝＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝AHDN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝S△ADH100＝432100＝43 200(m3)．設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑土石方x m3，則原計(jì)劃天完成，則增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑2x m3.根據(jù)題意，得：10x＋2x＝43 200，解得x＝864.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝864是原方程的解． 答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864 m3. 　相似三角形與圓 【例5】(2015六盤水中考)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD. (1)求證：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝ADBC. 【學(xué)生解答】證明：(1)∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADO＝90，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知：△ADO∽△ACB，∴＝，∴ADBC＝ACOD，∵OD＝1，∴AC＝ADBC. 6．(2015遂寧中考)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)D，AM⊥CD于點(diǎn)M，BN⊥CD于點(diǎn)N. (1)求證：∠ADC＝∠ABD； (2)求證：AD2＝AMAB； (3)若AM＝，sin∠ABD＝，求線段BN的長． 解：(1)連接OD，∵直線CD切⊙O于點(diǎn)D，∴∠CDO＝90，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90，∠CDA＝∠BDO，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠ABD，∴∠ADC＝∠ABD； (2)∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90，∵∠ADC＝∠ABD，∴△ADM∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AMAB； (3)∵sin∠ABD＝，∴sin∠ADM＝，∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90，∴∠DBN＋∠BDN＝∠ADM＋∠BDN＝90，∴∠DBN＝∠ADM，∴sin∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝.