中考數(shù)學總復習 第二編 中檔題型突破專項訓練篇 中檔題型訓練（三）一次函數(shù)和反比例函數(shù)結合試題

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中檔題型訓練(三)　一次函數(shù)和反比例函數(shù)結合 命題規(guī)律 縱觀近7年懷化市中考試題，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合是中考命題的重點內(nèi)容．側(cè)重考查用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式及解決相關問題． 命題預測 根據(jù)懷化考題趨勢，可以看出此內(nèi)容仍以基礎題為主. 　利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式 【例1】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸，y軸分別交于A(1，0)，B(0，－1)兩點，且與反比例函數(shù)y＝(m≠0)的圖象在第一象限交于C點，C點的橫坐標為2. (1)求一次函數(shù)的表達式； (2)求C點坐標及反比例函數(shù)的表達式． 【解析】(1)將點A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可；(2)將C點的橫坐標代入公式y(tǒng)＝kx＋b即可求出縱坐標，再代入y＝中即可． 【學生解答】解：(1)由題意得解得一次函數(shù)的表達式為y＝x－1；(2)當x＝2時，y＝2－1＝1，∴C點坐標為(2，1)．又C點在反比例函數(shù)y＝(m≠0)的圖象上，∴1＝，解得m＝2.所以反比例函數(shù)的表達式為y＝. 1．(2016樂山中考)如圖，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象交于點A(2，2)，B. (1)求這兩個函數(shù)表達式； (2)將一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象沿y軸向下平移m個單位，使平移后的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象有且只有一個交點，求m的值． 解：(1)y＝，y＝－4x＋10； (2)將直線y＝－4x＋10向下平移m個單位長度得y＝－4x＋10－m.∵y＝－4x＋10－m與y＝只有一個交點，∴－4x＋10－m＝，∴4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18. 　與面積有關的問題 【例2】(2014白銀中考) 如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝mx與雙曲線y＝相交于A(－1，a)，B兩點，BC⊥x軸，垂足為點C，△AOC的面積是1. (1)求m，n的值； (2)求直線AC的表達式． 【解析】(1)因為A(－1，a)，所以B的橫坐標為1，即C(1，0)．再由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mx與y＝即可；(2)將A，C坐標代入即可． 【學生解答】解：(1)∵直線y＝mx與雙曲線y＝相交于A(－1，a)，B兩點，∴B點橫坐標為1，即C(1，0)，∵△AOC的面積為1，∴A(－1，2)，將A(－1，2)代入y＝mx，y＝可得m＝－2，n＝－2；(2)設直線AC的表達式為y＝kx＋b，由題意得解得k＝－1，b＝1，∴直線AC的表達式為y＝－x＋1. 2．(2016泰安中考)如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為(0，3)，點A在x軸的負半軸上，點D，M分別在邊AB，OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過點D和M，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點D，與BC的交點為N. (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； (2)若點P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點P的坐標． 解：(1)y＝－，y＝－x－1； (2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N(－2，3)，即NC＝2.設P(x，y)，∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，∴(OM＋NC)OC＝OM|y|，即|y|＝9，∴y＝9.當y＝9時x＝－10，當y＝－9時x＝8，∴P的坐標為(－10，9)或(8，－9)． 　與最小(大)值有關的問題 【例3】一次函數(shù)y＝mx＋5的圖象與反比例函數(shù)y＝(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1，n)和B(4，1)兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為M. (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式； (2)求△OAM的面積S； (3)在y軸上求一點P，使PA＋PB最?。? 【解析】(3)作點A關于y軸的對稱點N，連接BN交y軸于點P，則點P即為所求． 【學生解答】解：(1)將B(4，1)代入y＝，得1＝.∴k＝4，∴y＝，將B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4m＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝14＝2；(3)作點A關于y軸的對稱點N，則N(－1，4)，連接BN交y軸于點P，點P即為所求．設直線BN的關系式為y＝kx＋b，由解得∴y＝－x＋，∴P. 3．(2015宿遷中考)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(8，1)，B(0，－3)，反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象經(jīng)過點A，動直線x＝t(00，x>0)交于點A，將直線y＝x向上平移4個單位后與y軸交于點C，與雙曲線y＝(k>0，x>0)交于點B，若OA＝3BC，求k的值． 【解析】分別過點A，B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，設A(3x，x)，可得B(x，x＋4)． 【學生解答】解：∵將直線y＝x向上平移4個單位后，與y軸交于點C，∴平移后直線的表達式為y＝x＋4，分別過點A，B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，設A，∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x軸，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD，又∵點B在直線y＝x＋4上，∴B(x，x＋4)，∵點A，B在雙曲線y＝(x>0)上，∴3xx＝x，解得x＝1(x＝0直接舍去)，∴k＝311＝. 4．(2016聊城中考)如圖，在直角坐標系中，直線y＝－x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于關于原點對稱的A，B兩點，已知A點的縱坐標是3. (1)求反比例函數(shù)的表達式； (2)將直線y＝－x向上平移后與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點C，如果△ABC的面積為48，求平移后的直線的函數(shù)表達式． 解：(1)y＝－；(2)設平移后的直線y＝－x＋b，與y軸交于點D，連接AB，BD，∵AB∥CD，∴S△ABD＝S△ABC＝48.由于點A，B關于原點O對稱，∴點B的坐標為(6，－3)，即|xA|＝xB＝6，∴S△ABD＝S△AOD＋S△BOD＝OD|xA|＋ODxB＝6OD，即6OD＝48，OD＝8，∴平移后的直線為y＝－x＋8.