中考數(shù)學命題研究 第一編 教材知識梳理篇 第五章 圖形的相似與解直角三角形 第二節(jié) 銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應用（精講）試題

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第二節(jié) 銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應用 ,貴陽五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號 考查點 考查內容 分值 總分 2016 填空 14 銳角三角函數(shù) 以圓為背景求銳角正切值 4 解答 21 解直角三角形的應用 以“蘑菇石”為背景求斜坡的長度 8 12 2015 解答 20 解直角三角形的應用 以測量樓房高度為背景：(1)求斜坡的垂直距離；(2)通過測量樓房仰角，求樓房的高度 10 10 2014 選擇 6 銳角三角函數(shù) 求直角三角形中一銳角的正弦 3 解答 20 解直角三角形的應用 通過一氣球的仰角，求氣球離地面的高度 10 13 2013 選擇 7 銳角三角函數(shù) 以平面直角坐標中一角一邊上的點的坐標為背景，求銳角的正切值 3 解答 18 解直角三角形的應用 以測量一古塔為背景，利用測量它的仰角，求距離 10 13 2012 解答 19 解直角三角形的應用 以黃果樹瀑布為背景，通過測量仰角，求落差 10 10 命題 規(guī)律 縱觀貴陽市5年中考，銳角三角函數(shù)與解直角三角形的應用為必考內容，并且分別以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)，分值為10－13分，難度中等，其中解直角三角形的應用考查了5次． 命題 預測 預計2017年貴陽市中考，銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應用仍是重點考查內容，特別是解直角三角形的應用，應強化訓練. ,貴陽五年中考真題及模擬) 銳角三角函數(shù)(2次) 1．(2016貴陽模擬一第8題)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝13，BC＝12，則下列三角函數(shù)表示正確的是( A ) A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝ ,(第1題圖)) ,(第3題圖)) 2．(2014貴陽6題3分)在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，BC＝5，則sinA的值為( D ) A. B. C. D. 3．(2013貴陽7題3分)如圖，P是∠α的邊OA上一點，點P的坐標為(12，5)，則tanα等于( C ) A. B. C. D. 解直角三角形的應用(5次) 4．(2016貴陽21題8分)“蘑菇石”是我省著名自然保護區(qū)梵凈山的標志，小明從山腳B點先乘坐纜車到達觀景平臺DE觀景，然后再沿著坡腳為29的斜坡由E點步行到達“蘑菇石”A點，“蘑菇石”A點到水平面BC的垂直距離為1 790 m．如圖，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80，求斜坡AE的長度．(結果精確到0.1 m) 解：過點D作DF⊥BC于點F，延長DE交AC于點M，由題意可得：EM⊥AC，DF＝MC，∠AEM＝29，在Rt△DFB中，sin80＝，∴DF＝BDsin80，AM＝AC－CM＝1 790－1 700sin80，在Rt△AME中，sin29＝，∴AE＝＝≈238.9(m)． 答：斜坡AE的長度約為238.9 m. 5．(2015貴陽20題10分)小華為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20 m，到達坡頂D處．已知斜坡的坡角為15.(計算結果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin15≈0.26，cos15≈0.97，tan15≈0.27) (1)求小華此時與地面的垂直距離CD的值； (2)小華的身高ED是1.6 m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45，求樓房AB的高度． 解：(1)CD≈5.2 m； (2)AB≈26.2 m. 6．(2014貴陽20題10分)如圖，為了知道空中一靜止的廣告氣球A的高度，小宇在B處測得氣球A的仰角為18，他向前走了20 m到達C處后，再次測得氣球A的仰角為45，已知小宇的眼睛距地面1.6 m，求此時氣球A距地面的高度．(結果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：tan18≈0.32) 解：如圖，作AD⊥BC于點D，交FG的延長線于E點，∵∠AGE＝45，∴AE＝GE.在Rt△AFE中，設AE長為x m，則tan∠AFE＝，即tan18＝，解得x≈9.6，根據(jù)題意得ED＝FB＝1.6 m，∴AD＝9.6＋1.6＝11.2 (m)． 7．(2013貴陽18題10分)在一次綜合實踐活動中，小明要測某地一座古塔AE的高度，如圖，已知塔基AB的高為4 m，他在C處測得塔基頂端B的仰角為30，然后沿AC方向走5 m到達D點，又測得塔頂E的仰角為50.(人的身高忽略不計，參考數(shù)據(jù)：tan50≈1.912，tan40≈0.839) (1)求AC的距離；(結果保留根號) (2)求塔高AE.(結果保留整數(shù)) 解：(1)AC＝4 m； (2)AE≈14 m. 8．(2012貴陽19題10分)小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹瀑布夏季洪峰匯成巨瀑時的落差．如圖，他利用測角儀站在C處測得∠ACB＝68，再沿BC方向走80 m到達D處，測得∠ADC＝34，求落差AB.(測角儀高度忽略不計，結果精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：tan68≈2.475 0，tan34≈0.674 5) 解：AB≈74 m. 9．(2015貴陽考試說明)如圖，在△ABC中，∠C＝90，點D，E分別在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝. 求：(1)DE，CD的長； (2)tan∠DBC的值． 解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90.在Rt△AED中，cosA＝，即＝.∴AD＝10.根據(jù)勾股定理得DE＝＝＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC＝DE＝8；(2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cosA＝，即＝，∴AB＝30.根據(jù)勾股定理得BC＝＝＝24.∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝. ,中考考點清單) 銳角三角函數(shù)的概念 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝c，BC＝a，AC＝b，則∠A的 正弦 sinA＝＝①____ 余弦 cosA＝＝②____ 正切 tanA＝＝③____ 特殊角的三角函數(shù)值 2. 三角函數(shù) 30 45 60 sinα ④____ cosα ⑤____ tanα ⑥____ 1 解直角三角形 3. 解直角三角形常用的關系： 在Rt△ABC中，∠C＝90，則 三邊關系 ⑦__a2＋b2＝c2__ 兩銳角關系 ⑧__∠A＋∠B＝90 邊角關系 sinA＝cosB＝ cosA＝sinB＝ tanA＝ 解直角三角形的應用(高頻考點) 4. 仰角、俯角 在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫⑨__仰角__，視線在水平線下方的角叫⑩__俯角__．如圖① 坡度(坡比)、坡角 坡面的鉛直高度h和?__水平寬度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面與水平線的夾角α叫坡角．i＝tanα＝?____．如圖② 方位角 指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90的水平角，叫做?__方位角__，如圖③，A點位于O點的北偏東30方向，B點位于O點的南偏東60方向，C點位于O點的北偏西45方向(或西北方向) 【規(guī)律總結】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，當所求元素不在直角三角形中時，應作輔助線構造直角三角形，或尋找已知直角三角形中的邊角替代所要求的元素；(2)解實際問題的關鍵是構造幾何模型，大多數(shù)問題都需要添加適當?shù)妮o助線，將問題轉化為直角三角形中的邊角計算問題． ,中考重難點突破) 銳角三角函數(shù)及特殊角三角函數(shù)值 【例1】(2015樂山中考)如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為( ) A. B. C. D. 【學生解答】D 1．(2015蘭州中考)如圖，△ABC中，∠B＝90，BC＝2AB，則cosA＝( D ) A. B. C. D. 2．(2016包頭中考)如圖，點O在△ABC內，且到三邊的距離相等，若∠BOC＝120，則tanA的值為( A ) A. B. C. D. ,(第2題圖)) ,(第4題圖)) 3．(2016懷化中考)在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，AC＝6 cm，則BC的長度為( C ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 4．(2016岳陽中考)如圖，一山坡的坡度為i＝1∶，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200 m到達點B，則小辰上升了__100__m. 解直角三角形的實際應用 【例2】(2016哈爾濱中考)如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為( ) A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 【解析】由題意可知：∠B＝30，∠APB＝180－60－30＝90，故△ABP是直角三角形．根據(jù)正切的定義得：tanB＝，則BP＝＝＝30(海里)． 【學生解答】D 5．(2016蘇州中考)如圖，長4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45，則調整后的樓梯AC的長為( B ) A．2 m B．2 m C．(2－2)m D．(2－2)m ,(第5題圖)) ,(第6題圖)) 6．(2016金華中考)一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4 m，樓梯寬度1 m，則地毯的面積至少需要( D ) A. m2 B. m2 C．(4＋)m2 D．(4＋4tanθ)m2 7．(2016上海中考)如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30，測得底部C的俯角為60，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90 m，那么該建筑物的高度BC約為__208__m．(精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73) 8．(2016丹東中考)某中學九年級數(shù)學興趣小組想測量建筑物AB的高度．他們在C處仰望建筑物頂端，測得仰角為48，再往建筑物的方向前進6 m到達D處，測得仰角為64，求建筑物的高度．(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin48≈，tan48≈，sin64≈，tan64≈2) 解：如圖，根據(jù)題意，得∠ADB＝64，∠ACB＝48.在Rt△ADB中，tan64＝，則BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48＝，則CB＝≈AB，∴CD＝BC－BD，6＝AB－AB，AB＝≈14.7(m)，∴建筑物的高度約為14.7 m. 9．(2016內江中考)如圖，禁漁期間，我國漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45方向航行．我國漁政船迅速沿北偏東30方向前去攔截，經(jīng)歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度．(結果保留根號) 解：過點C作CH⊥AB于點H，則△BCH是等腰直角三角形．設CH＝x，則BH＝x，AH＝CHtan30＝x.∵AB＝200，∴x＋x＝200.∴x＝＝100(－1)，∴BC＝x＝100(－)．∵兩船行駛4小時相遇，∴可疑船只航行的平均速度＝100(－)4＝25(－)． 答：可疑船只航行的平均速度是每小時25(－)海里．