九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版3 (3)

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2016-2017學(xué)年江西省撫州市臨川十中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）． 1．下列命題中正確的是（　　） A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 C．對角線垂直的平行四邊形是正方形 D．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 2．下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 3．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是（　?。? A．4 B．3 C．2 D． 4．在一個口袋中有4個完全相同的小球，它們的標號分別為1，2，3，4，從中隨機摸出一個小球記下標號后放回，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球的標號之和大于4的概率是（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（　?。? A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小 C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定 6．如圖，AB∥CD∥EF，則在圖中下列關(guān)系式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．某市2013年投入教育經(jīng)費2億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，從2013年到2015年共投入教育經(jīng)費9.5億元，則下列方程正確的是（　　） A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5 C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 8．根據(jù)下列表格對應(yīng)值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個解x的范圍是（　?。? A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28 9．若關(guān)于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范圍是（　?。? A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 10．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為（　?。? A．﹣ B． C．﹣ D．不確定 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.） 11．如圖，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，還要添加　　條件，才能保證四邊形EFGH是矩形． 12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長=　　cm． 13．若，則的值為　?。? 14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實數(shù)根，則+的值為　?。? 15．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為　?。? 16．在比例尺為1：5 000 000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離約為25厘米，則甲、乙兩地的實際距離約為　　 千米． 17．現(xiàn)有一塊長80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，根據(jù)題意列方程，化簡可得　?。? 18．如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120，點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為　?。? 　 三、解答題 19．解下列方程 （1）25x2+10x+1=0　 （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 20．已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根． （1）試說明：無論m取何值方程總有兩個實數(shù)根 （2）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （3）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？ 21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀． 22．小莉的爸爸買了某演唱會的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看，可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個辦法，拿了八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給小莉，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去． （1）請用樹狀圖或列表的方法表示出兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果； （2）哥哥設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？若不公平，請設(shè)計一種公平的游戲規(guī)則． 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 24．西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？ 25．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（3，3）．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0＜α＜90），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG． （1）求證：△AOG≌△ADG； （2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由； （3）當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式； （4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年江西省撫州市臨川十中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）． 1．下列命題中正確的是（　?。? A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 C．對角線垂直的平行四邊形是正方形 D．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 【考點】命題與定理． 【分析】利用特殊四邊形的判定定理對個選項逐一判斷后即可得到正確的選項． 【解答】解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項錯誤； B、正確； C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，故選項錯誤； D、兩組對邊平行的四邊形才是平行四邊形，故選項錯誤． 故選：B． 　 2．下面關(guān)于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點． 【解答】解： ①ax2+bx+c=0的二次項系數(shù)可能為0； ②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程； ③x+3=不是整式方程； ④（a2+a+1）x2﹣a=0整理得[（a+）2+]x2﹣a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程； ⑤=x﹣1不是整式方程． 故選B． 　 3．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是（　?。? A．4 B．3 C．2 D． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】首先利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)計算出AE=EF的值，再過A作AM⊥EF，再進一步利用三角函數(shù)計算出AM的值，即可算出三角形的面積． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BCAE=CDAF，∠BAE=∠DAF=30， ∴AE=AF， ∵∠B=60， ∴∠BAD=120， ∴∠EAF=120﹣30﹣30=60， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60， ∵AB=4， ∴BE=2， ∴AE==2， ∴EF=AE=2， 過A作AM⊥EF， ∴AM=AE?sin60=3， ∴△AEF的面積是： EF?AM=23=3． 故選：B． 　 4．在一個口袋中有4個完全相同的小球，它們的標號分別為1，2，3，4，從中隨機摸出一個小球記下標號后放回，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球的標號之和大于4的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球的標號之和大于4的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標號之和大于4的有10種情況， ∴兩次摸出的小球的標號之和大于4的概率是： =． 故選：C． 　 5．如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（　　） A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小 C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定 【考點】三角形中位線定理． 【分析】因為R不動，所以AR不變．根據(jù)中位線定理，EF不變． 【解答】解：連接AR． 因為E、F分別是AP、RP的中點， 則EF為△APR的中位線， 所以EF=AR，為定值． 所以線段EF的長不改變． 故選：C． 　 6．如圖，AB∥CD∥EF，則在圖中下列關(guān)系式一定成立的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)AB∥CD∥EF，再利用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)進行變形，即可得出正確答案． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴=， =，，； 故選C． 　 7．某市2013年投入教育經(jīng)費2億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費的年增長率均為x，從2013年到2015年共投入教育經(jīng)費9.5億元，則下列方程正確的是（　?。? A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5 C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），參照本題，如果教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)從2013年到2015年共投入教育經(jīng)費9.5億元即可得出方程． 【解答】解：設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x， 則2014的教育經(jīng)費為：2（1+x）萬元， 2015的教育經(jīng)費為：2（1+x）2萬元， 那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5． 故選D． 　 8．根據(jù)下列表格對應(yīng)值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個解x的范圍是（　?。? A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28 【考點】估算一元二次方程的近似解． 【分析】觀察表格可知，隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之間由負到正，故可判斷ax2+bx+c=0時，對應(yīng)的x的值在3.24＜x＜3.25之間． 【解答】解：由圖表可知，ax2+bx+c=0時，3.24＜x＜3.25． 故選B． 　 9．若關(guān)于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范圍是（　?。? A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及方程有解，結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元二次不等式組，解不等式即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵關(guān)于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解， ∴， 解得：m≥且m≠2． 故選D． 　 10．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為（　?。? A．﹣ B． C．﹣ D．不確定 【考點】三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據(jù)三角形的中位線定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，則△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即，因此四邊形A1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的，依此類推可得四邊形AnBnCnDn的面積． 【解答】解：∵四邊形A1B1C1D1的四個頂點A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點， ∴A1B1∥AC，A1B1=AC， ∴△BA1B1∽△BAC， ∴△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即， 又四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=4，AC⊥BD， ∴四邊形ABCD的面積是16， ∴SA1B1C1D1=16， ∴四邊形AnBnCnDn的面積=16=． 故選B． 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.） 11．如圖，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，還要添加　AC⊥BD　條件，才能保證四邊形EFGH是矩形． 【考點】矩形的判定；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，HG∥BD，EH∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)∠EHG=∠1，∠1=∠2，根據(jù)矩形的四個角都是直角，∠EFG=90，所以∠2=90，因此AC⊥BD． 【解答】解：∵G、H、E分別是BC、CD、AD的中點， ∴HG∥BD，EH∥AC， ∴∠EHG=∠1，∠1=∠2， ∴∠2=∠EHG， ∵四邊形EFGH是矩形， ∴∠EHG=90， ∴∠2=90， ∴AC⊥BD． 故還要添加AC⊥BD，才能保證四邊形EFGH是矩形． 　 12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則△AEF的周長=　9　cm． 【考點】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】先求出矩形的對角線AC，根據(jù)中位線定理可得出EF，繼而可得出△AEF的周長． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC==10cm， ∵點E、F分別是AO、AD的中點， ∴EF是△AOD的中位線，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm， ∴△AEF的周長=AE+AF+EF=9cm． 故答案為：9． 　 13．若，則的值為　?。? 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】先由，根據(jù)分式的基本性質(zhì)得出===，再根據(jù)等比性質(zhì)即可求解． 【解答】解：∵， ∴===， ∴=． 故答案為． 　 14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的兩實數(shù)根，則+的值為　10?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】先根據(jù)根與匇的關(guān)系得到x1+x2=﹣6，x1x2=3，再運用通分和完全平方公式變形得到+=，然后利用整體代入的方法計算． 【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2=﹣6，x1x2=3， 所以+====10． 故答案為10． 　 15．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為　2　． 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果． 【解答】解：連接BD，與AC交于點F． ∵點B與D關(guān)于AC對稱， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面積為12， ∴AB=2． 又∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=2． 故所求最小值為2． 故答案為：2． 　 16．在比例尺為1：5 000 000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離約為25厘米，則甲、乙兩地的實際距離約為　1250　 千米． 【考點】比例線段． 【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，列出比例式直接求解即可． 【解答】解：設(shè)甲、乙兩地的實際距離是x厘米，則： 1：5 000 000=25：x， ∴x=125 000 000， ∵125 000 000厘米=1250千米， ∴兩地的實際距離是1250千米． 故答案為1250． 　 17．現(xiàn)有一塊長80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，根據(jù)題意列方程，化簡可得　x2﹣70x+825=0?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題設(shè)小正方形邊長為xcm，則長方體盒子底面的長寬均可用含x的代數(shù)式表示，從而這個長方體盒子的底面的長是（80﹣2x）cm，寬是（60﹣2x）cm，根據(jù)矩形的面積的計算方法即可表示出矩形的底面面積，方程可列出． 【解答】解：由題意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500 整理得：x2﹣70x+825=0， 故答案為：x2﹣70x+825=0． 　 18．如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120，點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為　?。? 【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】延長AB至M，使BM=AE，連接FM，證出△DAE≌EMF，得到△BMF是等邊三角形，再利用菱形的邊長為4求出時間t的值． 【解答】 解：延長AB至M，使BM=AE，連接FM， ∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=120 ∴AB=AD，∠A=60， ∵BM=AE， ∴AD=ME， ∵△DEF為等邊三角形， ∴∠DAE=∠DFE=60，DE=EF=FD， ∴∠MEF+∠DEA═120，∠ADE+∠DEA=180﹣∠A=120， ∴∠MEF=∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中， ∴△DAE≌EMF（SAS）， ∴AE=MF，∠M=∠A=60， 又∵BM=AE， ∴△BMF是等邊三角形， ∴BF=AE， ∵AE=t，CF=2t， ∴BC=CF+BF=2t+t=3t， ∵BC=4， ∴3t=4， ∴t= 故答案為：． 　 三、解答題 19．解下列方程 （1）25x2+10x+1=0　 （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）因式分解法求解可得； （2）直接開平方法求解可得． 【解答】解：（1）∵（5x+1）2=0， ∴5x+1=0， 解得：x1=x2=﹣； （2）∵y+2=（3y﹣1）， 即y+2=3y﹣1或y+2=﹣3y+1， 解得：y=﹣或y=． 　 20．已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根． （1）試說明：無論m取何值方程總有兩個實數(shù)根 （2）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （3）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？ 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；根的判別式；菱形的判定． 【分析】（1）利用根的判別式求出△的符號進而得出答案； （2）利用菱形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法得出答案； （3）將AB=2代入方程解得m=，進而得出x的值． 【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0，△=m2﹣2m+1=（m﹣1）2 ∵無論m取何值（m﹣1）2≥0 ∴無論m取何值方程總有兩個實數(shù)根； （2）解：∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB=BC即（m﹣1）2=0， ∴m=1代入方程得： ∴ ∴x1=x2=， 即菱形的邊長為； （3）解：將AB=2代入方程x2﹣mx+﹣=0， 解得：m=， 將代入方程，x2﹣mx+﹣=0， 解得：x1=2，x2=， 即BC=， 故平行四邊形ABCD的周長為5． 　 21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】令=k．根據(jù)a+b+c=12，得到關(guān)于k的方程，求得k值，再進一步求得a，b，c的值，從而判定三角形的形狀． 【解答】解：令=k． ∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k， ∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8． 又∵a+b+c=12， ∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12， ∴k=3． ∴a=5，b=3，c=4． ∴△ABC是直角三角形． 　 22．小莉的爸爸買了某演唱會的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看，可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個辦法，拿了八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給小莉，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小莉去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去． （1）請用樹狀圖或列表的方法表示出兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果； （2）哥哥設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？若不公平，請設(shè)計一種公平的游戲規(guī)則． 【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）用列表法列舉出所以出現(xiàn)的情況，再用概率公式求出概率即可． （2）游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方各有50%贏的機會，本題中即兩紙牌上的數(shù)字之和為偶數(shù)或奇數(shù)時的概率是否相等，求出概率比較，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1） 4 6 7 8 1 1+4=5 1+6=7 1+7=8 1+8=9 2 2+4=6 2+6=8 2+7=9 2+8=10 3 3+4=7 3+6=9 3+7=10 3+8=11 5 5=4=9 5+6=11 5+7=12 5+8=13 由上表可知，兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種． （2）不公平． 因為上述16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而和為偶數(shù)的結(jié)果有6種，和為奇數(shù)的結(jié)果有10種， 即小莉去的概率為： =， 哥哥去的概率為： =，∵＜，∴小莉去的概率低于哥哥去的概率． 可把小莉的數(shù)字5的牌與哥哥數(shù)字4的牌對調(diào)，使兩人去的概率相同，即游戲公平． 　 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可； （2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90，再根據(jù)正方形的判定推出即可． 【解答】（1）證明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD； （2）解：四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90，D為AB中點， ∴CD=BD， ∴?四邊形BECD是菱形； （3）當(dāng)∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90，∠A=45， ∴∠ABC=∠A=45， ∴AC=BC， ∵D為BA中點， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90， ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當(dāng)∠A=45時，四邊形BECD是正方形． 　 24．西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元．那么每千克的利潤為：（3﹣2﹣x）元，由于這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降價x元，則每天售出數(shù)量為：千克．本題的等量關(guān)系為：每千克的利潤每天售出數(shù)量﹣固定成本=200． 【解答】解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元． 根據(jù)題意，得[（3﹣2）﹣x]﹣24=200． 方程可化為：50x2﹣25x+3=0， 解這個方程，得x1=0.2，x2=0.3． 因為為了促銷故x=0.2不符合題意，舍去， ∴x=0.3． 答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.3元． 　 25．如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（3，3）．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0＜α＜90），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG． （1）求證：△AOG≌△ADG； （2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由； （3）當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式； （4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】幾何變換綜合題． 【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，判斷出△AOG≌△ADG即可． （2）首先根據(jù)三角形全等的判定方法，判斷出△ADP≌△ABP，再結(jié)合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根據(jù)∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90，求出∠PAG的度數(shù)；最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系即可． （3）首先根據(jù)△AOG≌△ADG，判斷出∠AGO=∠AGD；然后根據(jù)∠1+∠AGO=90，∠2+∠PGC=90，判斷出當(dāng)∠1=∠2時，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180，求出∠1=∠2=30；最后確定出P、G兩點坐標，即可判斷出直線PE的解析式． （4）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點M在x軸的負半軸上時；②當(dāng)點M在EP的延長線上時；根據(jù)以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，求出M點坐標是多少即可． 【解答】（1）證明：在Rt△AOG和Rt△ADG中， （HL） ∴△AOG≌△ADG． （2）解：在Rt△ADP和Rt△ABP中， ∴△ADP≌△ABP， 則∠DAP=∠BAP； ∵△AOG≌△ADG， ∴∠1=∠DAG； 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90， ∴2∠DAG+2∠DAP=90， ∴∠DAG+∠DAP=45， ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP， ∴∠PAG=45； ∵△AOG≌△ADG， ∴DG=OG， ∵△ADP≌△ABP， ∴DP=BP， ∴PG=DG+DP=OG+BP． （3）解：∵△AOG≌△ADG， ∴∠AGO=∠AGD， 又∵∠1+∠AGO=90，∠2+∠PGC=90，∠1=∠2， ∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC， 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=1803=60， ∴∠1=∠2=90﹣60=30； 在Rt△AOG中， ∵AO=3， ∴OG=AOtan30=3=， ∴G點坐標為（，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣1）， ∴P點坐標為：（3，3﹣3 ）， 設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b， 則， 解得， ∴直線PE的解析式為y=x﹣3． （4）①如圖1，當(dāng)點M在x軸的負半軸上時，， ∵AG=MG，點A坐標為（0，3）， ∴點M坐標為（0，﹣3）． ②如圖2，當(dāng)點M在EP的延長線上時，， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60， ∴EP與AB的交點M，滿足AG=MG， ∵A點的橫坐標是0，G點橫坐標為， ∴M的橫坐標是2，縱坐標是3， ∴點M坐標為（2，3）． 綜上，可得 點M坐標為（0，﹣3）或（2，3）．