九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版23

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2015-2016學(xué)年湖北省襄陽三十九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．將一元一次方程3x2﹣1=6x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（　?。? A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x 2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0時(shí)，配方后得的方程為（　?。? A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2 3．下列電視臺的臺標(biāo)，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A=50，則∠BOC的度數(shù)為（　　） A．40 B．50 C．80 D．100 5．如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且點(diǎn)B剛好落在A′B′上，若∠A=25，∠BCA′=45，則∠A′BA等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 6．把拋物線先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（　?。? A． B． C． D． 7．要組織一次排球邀請賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個(gè)隊(duì)參賽，則x滿足的關(guān)系式為（　?。? A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28 8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 則該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。? A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 9．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為（　　） A．7 B． C． D．9 10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0）．下列結(jié)論：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　） A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 　 二、填空題 11．一元二次方程x2﹣x=0的根是　　． 12．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　?。? 13．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是　?。? 14．著名畫家達(dá)芬奇不僅畫意超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家，發(fā)明家．他增進(jìn)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)．如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的話槽（滑槽寬度忽略不計(jì)）一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi)自由滑動，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個(gè)圓來，若AB=10cm，則畫出的圓半徑為　　cm． 15．在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b），若規(guī)定以下三種變換： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b）， 按照以上變換例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），則○（Ω（3，4））等于　?。? 16．如圖，正方形ABCD中，已知AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、CD上，且∠BAE=30，∠DAF=15，則△AEF的面積為　?。? 　 三、解答題：（共9小題，共72分） 17．解方程：x2+3x﹣1=0． 18．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值． 19．如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，AE=CE．求證：BE=DE． 20．如圖是一張長8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成底面積是18cm2的一個(gè)無蓋長方體紙盒，求剪去的正方形的邊長． 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）． （1）畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到的△A1BC1，其中A、C分別和A1、C1對應(yīng)． （2）平移△ABC，使得A點(diǎn)落在x軸上，B點(diǎn)落在y軸上，畫出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分別和A2B2C2對應(yīng)． （3）填空：在（2）的條件下，設(shè)△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心分別為M、M2，則MM2=　　． 22．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）求線段OD、DE的長； （2）求線段OE的長． 23．某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會少銷售10件玩具，設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），銷售量為y件，銷售該種品牌玩具獲得的利潤為w元． （1）請直接寫出y與x，w與x的函數(shù)表達(dá)式； （2）若商場獲得了10000元的銷售利潤，求該種品牌玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元？ （3）若玩具廠規(guī)定該種品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該種品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 24．（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，求證：△ACD≌△BCE； （2）如圖2，將圖1中△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0＜n＜45），使∠BED=90，又作△DCE中DE邊上的高CM，請完成圖2，并判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離． 25．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C． （1）求拋物線的解析式； （2）在第一象限內(nèi)拋物線上，找一點(diǎn)M使△OCM的面積是△OAM的面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）在拋物線上，找一點(diǎn)N使∠NCA=2∠ACB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 　  2015-2016學(xué)年湖北省襄陽三十九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．將一元一次方程3x2﹣1=6x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（　?。? A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x 【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式． 【專題】計(jì)算題． 【分析】方程移項(xiàng)變形為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)即可． 【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x﹣1=0， 則二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為3，﹣6， 故選A． 【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)． 　 2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0時(shí)，配方后得的方程為（　　） A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，把常數(shù)項(xiàng)﹣1移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，得到x2﹣2x=1， 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1 配方得（x﹣1）2=2． 故選D． 【點(diǎn)評】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊； （2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 3．下列電視臺的臺標(biāo)，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)正確． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180后與原圖重合是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A=50，則∠BOC的度數(shù)為（　　） A．40 B．50 C．80 D．100 【考點(diǎn)】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，由此可得出答案． 【解答】解：由題意得∠BOC=2∠A=100． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，屬于基礎(chǔ)題，掌握圓周角定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且點(diǎn)B剛好落在A′B′上，若∠A=25，∠BCA′=45，則∠A′BA等于（　?。? A．30 B．35 C．40 D．45 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45+25=70，以及∠BB′C=∠B′BC=70，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40． 【解答】解：∵∠A=25，∠BCA′=45， ∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45+25=70， ∵CB=CB′， ∴∠BB′C=∠B′BC=70， ∴∠B′CB=40， ∴∠ACA′=40， ∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC， ∴∠ACA′=∠A′BA=40． 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出∠ACA′=40是解題關(guān)鍵． 　 6．把拋物線先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】確定出平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式形式寫出拋物線解析式即可． 【解答】解：拋物線y=x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）， ∵向右平移一個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位， ∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）， ∴得到的拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣3． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式可以使計(jì)算更加簡便． 　 7．要組織一次排球邀請賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個(gè)隊(duì)參賽，則x滿足的關(guān)系式為（　?。? A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】關(guān)系式為：球隊(duì)總數(shù)每支球隊(duì)需賽的場數(shù)2=47，把相關(guān)數(shù)值代入即可． 【解答】解：每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽（x﹣1）場，但2隊(duì)之間只有1場比賽， 所以可列方程為： x（x﹣1）=47． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系，注意2隊(duì)之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應(yīng)除以2． 　 8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 則該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。? A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出二次函數(shù)的對稱軸，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1時(shí)的函數(shù)值都是﹣3，相等， ∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=﹣2， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細(xì)觀察表格數(shù)據(jù)確定出對稱軸是解題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為（　?。? A．7 B． C． D．9 【考點(diǎn)】解直角三角形；全等三角形的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 【專題】綜合題． 【分析】作DF⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)F，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD=7． 【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90， ∴△AFD≌△BGD， ∴AF=BG． 易證△CDF≌△CDG， ∴CF=CG． ∵AC=6，BC=8， ∴AF=1，（也可以：設(shè)AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8﹣x=6+x，解x=1） ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形，（這里由CFDG是正方形也可得）． ∴CD=7． 故選B． 【點(diǎn)評】本題綜合考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的運(yùn)用． 此題是一個(gè)大綜合題，難度較大． 　 10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0）．下列結(jié)論：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。? A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】壓軸題． 【分析】由拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，可以判定a、b異號，由此確定①正確； 由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b2﹣4ac＞0，又拋物線過點(diǎn)（0，1），得出c=1，由此判定②正確； 由拋物線過點(diǎn)（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確； 由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確； 由圖象可知，當(dāng)自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根之間時(shí)，函數(shù)值y＞0，由此判定⑤錯(cuò)誤． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，1）和（﹣1，0）， ∴c=1，a﹣b+c=0． ①∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，∴x=﹣＞0， ∴a與b異號，∴ab＜0，正確； ②∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0， ∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正確； ④∵拋物線開口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0． ∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1， ∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1， ∴0＜b＜1，正確； ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0， ∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正確； ⑤拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為（x0，0），則x0＞0， 由圖可知，當(dāng)x0＞x＞﹣1時(shí)，y＞0，錯(cuò)誤； 綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④． 故選B． 【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，難度適中．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定；拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，決定了b2﹣4ac的符號，此外還要注意二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換． 　 二、填空題 11．一元二次方程x2﹣x=0的根是　x1=0，x2=1?。? 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解． 【解答】解：方程變形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案為：x1=0，x2=1． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵． 　 12．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為　8　． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出AB的長度． 【解答】解：∵對稱軸為直線x=2的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)， ∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=2對稱， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）， AB=6﹣（﹣2）=8． 故答案為：8． 【點(diǎn)評】此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是求出B點(diǎn)的坐標(biāo)． 　 13．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是　0?。? 【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）3≥0，再求出兩不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范圍內(nèi)的最大整數(shù)即可． 【解答】解：根據(jù)題意得a﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）3≥0， 解得a≤且a≠1， 所以整數(shù)a的最大值為0． 故答案為0． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義． 　 14．著名畫家達(dá)芬奇不僅畫意超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家，發(fā)明家．他增進(jìn)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)．如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的話槽（滑槽寬度忽略不計(jì)）一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi)自由滑動，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個(gè)圓來，若AB=10cm，則畫出的圓半徑為　5　cm． 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線． 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP=AB，即為圓的半徑． 【解答】解：如圖，∵兩個(gè)滑槽互相垂直，點(diǎn)P是木棒的中點(diǎn)， ∴OP=AB=10=5cm， 即畫出的圓半徑為5cm． 故答案為：5． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 15．在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b），若規(guī)定以下三種變換： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b）， 按照以上變換例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），則○（Ω（3，4））等于?。ī?，4）?。? 【考點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)． 【專題】新定義． 【分析】根據(jù)三種變換規(guī)律的特點(diǎn)解答即可． 【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）． 故答案為：（﹣3，4）． 【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，讀懂題目信息，理解三種變換的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，正方形ABCD中，已知AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、CD上，且∠BAE=30，∠DAF=15，則△AEF的面積為　9﹣3　． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；推理填空題． 【分析】如圖，把△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△ABM．則AM=AF，∠FAD=∠MAB=15，首先證明△EAF≌EAM，推出ME=EF，推出ME=BM+BE=BE+DF，設(shè)FE=a，在Rt△ABE中，由∠ABE=90，AB=3，∠BAE=30，推出BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣），根據(jù)EF2=EC2+CF2，列出方程求出a即可解決問題． 【解答】解：如圖，把△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△ABM．則AM=AF，∠FAD=∠MAB=15 ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=∠ABM=90， ∵∠BAE=30，∠DAF=15， ∴∠EAF=45，∠MAE=∠MAB+∠BAE=45=∠EAF， 在△EAF和△EAM中， ， ∴△EAF≌EAM， ∴ME=EF， ∵M(jìn)E=BM+BE=BE+DF，設(shè)FE=a， 在Rt△ABE中，∵∠ABE=90，AB=3，∠BAE=30， ∴BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣）， ∵EF2=EC2+CF2， ∴a2=（3﹣）2+[3﹣（a﹣）]2， ∴a=6﹣2， ∴S△AEF=S△AME=?EM?AB=?（6﹣2）3=9﹣3． 故答案為9﹣3． 【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線的方法，記住基本圖形、基本結(jié)論，屬于中考常考題型． 　 三、解答題：（共9小題，共72分） 17．解方程：x2+3x﹣1=0． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】找出a，b，c的值，計(jì)算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：這里a=1，b=3，c=﹣1， ∵△=9+4=13， ∴x=， 則x1=，x2=． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵． 　 18．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值． 【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后將其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=0列出關(guān)于a的方程，通過解方程即可求得a的值． 【解答】解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根， ∴x1x2=a，x1+x2=﹣4， ∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得：a=﹣3． 【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法． 　 19．如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，AE=CE．求證：BE=DE． 【考點(diǎn)】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由∠A=∠C，∠D=∠B，再加上AE=CE，即可得到△AED≌△CEB，從而有BE=DE． 【解答】證明：在△ADE和△CBE中有， ∴△AED≌△CEB， ∴BE=DE． 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時(shí)考查了三角形全等的判定與性質(zhì)． 　 20．如圖是一張長8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成底面積是18cm2的一個(gè)無蓋長方體紙盒，求剪去的正方形的邊長． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】由于剪去的正方形邊長為xcm，那么長方體紙盒的底面的長為（8﹣2x），寬為（5﹣2x），然后根據(jù)底面積是18cm2即可列出方程． 【解答】解：設(shè)剪去的正方形邊長為xcm， 依題意得（8﹣2x）?（5﹣2x）=18， 解得：x=1或x=＞5（舍去）． 答：減去的正方形的邊長為1cm． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，明白紙盒的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）． （1）畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到的△A1BC1，其中A、C分別和A1、C1對應(yīng)． （2）平移△ABC，使得A點(diǎn)落在x軸上，B點(diǎn)落在y軸上，畫出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分別和A2B2C2對應(yīng)． （3）填空：在（2）的條件下，設(shè)△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心分別為M、M2，則MM2=　?。? 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；勾股定理；作圖-平移變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的對應(yīng)點(diǎn)A1、C1的位置，再與點(diǎn)A順次連接即可； （2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可； （3）根據(jù)平移的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)的連續(xù)互相平行且相等可得MM2=AA2，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：（1）△A1BC1如圖所示； （2）△A2B2C2如圖所示； （3）∵M(jìn)、M2分別為△ABC，△A2B2C2的外接圓的圓心， ∴MM2=AA2， 由勾股定理得，AA2==， 所以，MM2=． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，勾股定理，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵． 　 22．如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E． （1）求線段OD、DE的長； （2）求線段OE的長． 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）連結(jié)AB，如圖1，根據(jù)垂徑定理，由OD⊥BC得到BD=BC=1，再在Rt△OBD中，利用勾股定理可計(jì)算出OD=2，然后證明DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到DE=AB，接著證明△AOB為等腰直角三角形得到AB=OB=5，所以DE=； （2）作DH⊥OE，連結(jié)OC，如圖2先證明∠2+∠3=45，得到△ODH為等腰直角三角形，則OH=DH=OD=2，再在Rt△DHE中，利用勾股定理計(jì)算出HE=，然后由OE=OH+HE計(jì)算即可． 【解答】解：（1）連結(jié)AB，如圖1， ∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=1， 在Rt△OBD中，∵BD=1，OB=5， ∴OD==2， ∵OE⊥AC， ∴AE=CE， ∴DE為△ABC的中位線， ∴DE=AB， ∵∠AOB=90， ∴△AOB為等腰直角三角形， ∴AB=OB=5， ∴DE=； 即線段OD、DE的長分別為2，； （2）作DH⊥OE，連結(jié)OC，如圖2， ∵OC=OB，OD垂直平分BC， ∴OD平分∠BOC，即∠3=∠4， 同理可得∠1=∠2， 而∠1+∠2+∠3+∠4=90， ∴∠2+∠3=45， ∴△ODH為等腰直角三角形， ∴OH=DH=OD=?2=2， 在Rt△DHE中，∵DH=2，DE=， ∴HE==， ∴OE=OH+HE=2+． 【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ砗腿切沃形痪€定理． 　 23．（2015?沈陽二模）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會少銷售10件玩具，設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），銷售量為y件，銷售該種品牌玩具獲得的利潤為w元． （1）請直接寫出y與x，w與x的函數(shù)表達(dá)式； （2）若商場獲得了10000元的銷售利潤，求該種品牌玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元？ （3）若玩具廠規(guī)定該種品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該種品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由銷售單價(jià)每漲1元，就會少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）10=1000﹣10x，利潤W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可； （3）首先求出x的取值范圍，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000轉(zhuǎn)化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，結(jié)合x的取值范圍，求出最大利潤． 【解答】解：（1）y=600﹣（x﹣40）10=1000﹣10x， W=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000 解之得：x1=50，x2=80 答：玩具銷售單價(jià)為50元或80元時(shí)，可獲得10000元銷售利潤， （3）根據(jù)題意得 ， 解之得：44≤x≤46， w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250， ∵a=﹣10＜0，對稱軸是直線x=65， ∴當(dāng)44≤x≤46時(shí)，w隨x增大而增大． ∴當(dāng)x=46時(shí)，W最大值=8640（元）． 答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元． 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大． 　 24．（2015秋?武昌區(qū)期中）（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，求證：△ACD≌△BCE； （2）如圖2，將圖1中△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0＜n＜45），使∠BED=90，又作△DCE中DE邊上的高CM，請完成圖2，并判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）易證∠ACD=∠BCE，即可解題； （2）根據(jù)△ACD≌△BCE，即可證明AD=EB，即可解題； （3）易證△DPE∽△BAE，即可求得PE的值，即可解題． 【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）如圖2， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135， ∴A、D、E三點(diǎn)共線， ∵DE=DM+ME=2CM， ∴AE=BE+2CM； （3）①如圖， ∵∠DPE=∠BAE=90， ∴△DPE∽△BAE， ∴=， ∵BP==3， 解得PE=， ∴A到BE距離為=1． ②如圖， ∵∠DPE=∠BCE=90， ∴△DPE∽△BCE， ∴=， ∵BP==3， ∴PE=， ∴C到BE距離為=1． ∴A到BE距離為2． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了勾股定理的運(yùn)用． 　 25．（2014秋?漢陽區(qū)校級期中）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C． （1）求拋物線的解析式； （2）在第一象限內(nèi)拋物線上，找一點(diǎn)M使△OCM的面積是△OAM的面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）在拋物線上，找一點(diǎn)N使∠NCA=2∠ACB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入y=ax2+bx﹣3求解即可， （2）由y=x2﹣2x﹣3交y軸于點(diǎn)C．可得OC=3，設(shè)M（x，y），由△OCM的面積是△OAM的面積的倍，可得OC?x=?|AO|?y，解得y=2x，代入y=x2﹣2x﹣3求解即可． （3）作NQ⊥AB于點(diǎn)Q，CH⊥NQ于點(diǎn)H，由△AOC∽△NHC，設(shè)N（x，y），由=，可得x=﹣3y﹣9，與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入y=ax2+bx﹣3得，解得， 所以拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3． （2）如圖1， ∵y=x2﹣2x﹣3交y軸于點(diǎn)C． ∴OC=3， 設(shè)M（x，y）， ∵△OCM的面積是△OAM的面積的倍， ∴OC?x=?|AO|?y， ∴y=2x， 代入y=x2﹣2x﹣3得，x1=2+，x2=2﹣（舍去）， ∴y=2x=4+2， ∴M（2+，4+2）． （3）如圖2，作NQ⊥AB于點(diǎn)Q，CH⊥NQ于點(diǎn)H， ∵OB=3，OC=3， ∴∠OCB=∠BCH=45， ∵∠NCA=2∠ACB， ∴∠OCA=∠NCH，∠AOC=∠NHC=90， ∴△AOC∽△NHC， 設(shè)N（x，y）， ∴=， ∴=，解得x=﹣3y﹣9， 與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立得，解得（舍去），． ∴N（（，﹣）． 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．