九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版26

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2016-2017學年重慶市江津區(qū)四校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下面圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．方程x2=x的解是（　　） A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=0 3．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，則方程可化為（　?。? A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 4．將拋物線y=2x2向上平移1個單位，再向右平移2個單位，則平移后的拋物線為（　?。? A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x﹣2）2+1 C．y=2（x+2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2﹣1 5．下列運動形式屬于旋轉的是（　?。? A．鐘表上鐘擺的擺動 B．投籃過程中球的運動 C．“神十”火箭升空的運動 D．傳動帶上物體位置的變化 6．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過（2，8）和（﹣6，8）兩點，則此拋物線的對稱軸為（　?。? A．直線x=0 B．直線x=1 C．直線x=﹣2 D．直線x=﹣1 7．已知關于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實數(shù)k的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 8．有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64人患了流感．設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，列出的方程是（　　） A．x（x+1）=64 B．x（x﹣1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=64 9．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉的角度是（　　） A．150 B．120 C．90 D．60 10．如圖，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO繞點O旋轉150后得到△A1B1O，則點A1坐標為（　?。? A．（﹣1，﹣） B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0） C．（﹣，1）或（0，﹣2） D．（﹣，1） 11．在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 12．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1．且過點（，0），有下列結論：①abc＞0； ②a﹣2b+4c=0； ③25a﹣10b+4c=0； ④3b+2c＞0； ⑤a﹣b≥m（am﹣b）； 其中所有正確的結論是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 　 二、填空題 13．拋物線y=﹣（x+1）2+2的頂點坐標為　?。? 14．方程x2﹣6x+9=0的解是　?。? 15．若關于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是　?。? 16．等邊△ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB=　　度． 17．已知二次函數(shù)y=3（x﹣1）2+1的圖象上有三點A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），則y1、y2、y3的大小關系為　?。? 18．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點A順時針旋轉到位置①可得到點P1，此時AP1=；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②可得到點P2，此時AP2=+1；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③可得到點P3時，AP3=+2…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直至得到點P2026為止，則AP2016=　?。? 　 三、解答題 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系． （1）以原點O為對稱中心，畫出與△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1，A1的坐標是　　． （2）將原來的△ABC繞著點（﹣2，1）順時針旋轉90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 20．已知二次函數(shù)當x=﹣1時，有最小值﹣4，且當x=0時，y=﹣3，求二次函數(shù)的解析式． 　 四、解答題 21．解方程： （1）x2﹣x=3 （2）（x+3）2=（1﹣2x）2． 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 23．將一塊正方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長． 24．某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐助給慈善機構．根據(jù)市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y （單位：個）與銷售單價x（單位：元/個）之間的對應關系如圖所示： （1）y與x之間的函數(shù)關系是　?。? （2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（單位：元）與銷售單價x （單位：元/個）之間的函數(shù)關系式； （3）在（2）問的條件下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤． 　 五、解答題 25．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由； （3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標． 26．在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點D是線段BC的中點，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB． （3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長線于E、F兩點，（2）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關系． 　  2016-2017學年重慶市江津區(qū)四校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下面圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心，可求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； D、是中心對稱圖形，故此選項正確； 故選：D． 【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念，關鍵是找到對稱中心． 　 2．方程x2=x的解是（　?。? A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=0 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：x2=x， x2﹣x=0， x（x﹣1）=0， ∴x1=0，x2=1， 故選：C． 【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關鍵． 　 3．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，則方程可化為（　　） A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】將常數(shù)項移動方程右邊，方程兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果． 【解答】解：x2+8x+7=0， 移項得：x2+8x=﹣7， 配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9． 故選A 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移動方程右邊，然后左右兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數(shù)，開方轉化為兩個一元一次方程來求解． 　 4．將拋物線y=2x2向上平移1個單位，再向右平移2個單位，則平移后的拋物線為（　?。? A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x﹣2）2+1 C．y=2（x+2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2﹣1 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】直接利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得出平移后的解析式． 【解答】解：∵將拋物線y=2x2向上平移1個單位再向右平移2個單位， ∴平移后的拋物線的解析式為：y=2（x﹣2）2+1． 故選：B． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關鍵． 　 5．下列運動形式屬于旋轉的是（　?。? A．鐘表上鐘擺的擺動 B．投籃過程中球的運動 C．“神十”火箭升空的運動 D．傳動帶上物體位置的變化 【考點】生活中的旋轉現(xiàn)象． 【分析】根據(jù)旋轉的定義分別判斷得出即可． 【解答】解：A、鐘擺的擺動，屬于旋轉，故此選項正確； B、投籃過程中球的運動，也有平移，故此選項錯誤； C、“神十”火箭升空的運動，也有平移，故此選項錯誤； D、傳動帶上物體位置的變化，也有平移，故此選項錯誤． 故選：A． 【點評】此題主要考查了旋轉的定義，正確把握旋轉的定義是解題關鍵． 　 6．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過（2，8）和（﹣6，8）兩點，則此拋物線的對稱軸為（　?。? A．直線x=0 B．直線x=1 C．直線x=﹣2 D．直線x=﹣1 【考點】二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】由二次函數(shù)的對稱性可求得拋物線的對稱軸 【解答】解： ∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過（2，8）和（﹣6，8）兩點， ∴拋物線的對稱軸為x==﹣2， 故選C． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)圖象上關于對稱軸對稱的點所對應的函數(shù)值相等是解題的關鍵． 　 7．已知關于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實數(shù)k的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 【解答】解：因為x=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1． 故選：A． 【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義． 　 8．有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64人患了流感．設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，列出的方程是（　?。? A．x（x+1）=64 B．x（x﹣1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=64 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，第一輪有（x+1）人患流感，第二輪共有x+1+（x+1）x人，即64人患了流感，由此列方程求解． 【解答】解：x+1+（x+1）x=64 整理得，（1+x）2=64． 故選：C． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關系，從而可列方程求解． 　 9．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉的角度是（　?。? A．150 B．120 C．90 D．60 【考點】旋轉的性質；等邊三角形的性質；等腰直角三角形． 【分析】∠AOC就是旋轉角，根據(jù)等邊三角形的性質，即可求解． 【解答】解：旋轉角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60+90=150． 故選A． 【點評】本題主要考查了旋轉的性質，正確理解旋轉角是解題的關鍵． 　 10．如圖，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO繞點O旋轉150后得到△A1B1O，則點A1坐標為（　?。? A．（﹣1，﹣） B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0） C．（﹣，1）或（0，﹣2） D．（﹣，1） 【考點】坐標與圖形變化-旋轉． 【分析】需要分類討論：在把△ABO繞點O順時針旋轉150和逆時針旋轉150后得到△A1B1O時點A1的坐標． 【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1， ∴tan∠AOB==， ∴∠AOB=30． 如圖1，當△ABO繞點O順時針旋轉150后得到△A1B1O， 則∠A1OC=150﹣∠AOB﹣∠BOC=150﹣30﹣90=30， 則易求A1（﹣1，﹣）； 如圖2，當△ABO繞點O逆時針旋轉150后得到△A1B1O， 則∠A1OC=150﹣∠AOB﹣∠BOC=150﹣30﹣90=30， 則易求A1（﹣2，0）； 綜上所述，點A1的坐標為（﹣1，﹣）或（﹣2，0）． 故選：B． 【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉．解題時，注意分類討論，以防錯解． 　 11．在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷k的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤． 【解答】解：A、由一次函數(shù)y=kx+k的圖象可得：k＞0，此時二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象應該開口向上，錯誤； B、由一次函數(shù)y=kx+k圖象可知，k＞0，此時二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象頂點應在y軸的負半軸，錯誤； C、由一次函數(shù)y=kx+k可知，y隨x增大而減小時，直線與y軸交于負半軸，錯誤； D、正確． 故選：D． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，應該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標． 　 12．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1．且過點（，0），有下列結論：①abc＞0； ②a﹣2b+4c=0； ③25a﹣10b+4c=0； ④3b+2c＞0； ⑤a﹣b≥m（am﹣b）； 其中所有正確的結論是（　?。? A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點判定系數(shù)符號，及運用一些特殊點解答問題． 【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0， 根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸左邊可得：a，b同號，所以b＜0， 根據(jù)拋物線與y軸的交點在正半軸可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正確； 直線x=﹣1是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，所以﹣=﹣1，可得b=2a， a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②錯誤； ∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1．且過點（，0）， ∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣，0）， 當x=﹣時，y=0，即a（﹣）2+b（﹣）+c=0， 整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正確； ∵b=2a，a+b+c＜0， ∴b+b+c＜0， 即3b+2c＜0，故④錯誤； ∵x=﹣1時，函數(shù)值最大， ∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1）， ∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正確； 故選D． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的性質、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標滿足拋物線的解析式． 　 二、填空題 13．拋物線y=﹣（x+1）2+2的頂點坐標為?。ī?，2）?。? 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，由頂點式直接得出頂點坐標即可． 【解答】解：∵拋物線y=﹣（x+1）2+2， ∴拋物線y=﹣（x+1）2+2的頂點坐標為：（﹣1，2）， 故答案為：（﹣1，2）． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)頂點式得出頂點坐標是考查重點同學們應熟練掌握． 　 14．方程x2﹣6x+9=0的解是　x1=x2=3?。? 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】配方法． 【分析】此題采用因式分解法最簡單，解題時首先要觀察，然后再選擇解題方法．配方法與公式法適用于所用的一元二次方程，因式分解法雖有限制，卻最簡單． 【解答】解：∵x2﹣6x+9=0 ∴（x﹣3）2=0 ∴x1=x2=3． 【點評】此題考查了學生的計算能力，解題時注意選擇適宜的解題方法． 　 15．若關于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是　k≥4?。? 【考點】根的判別式． 【分析】分k=0和k≠0兩種情況考慮，當k=0時可以找出方程有一個實數(shù)根；當k≠0時，根據(jù)方程有實數(shù)根結合根的判別式可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍．結合上面兩者情況即可得出結論． 【解答】解：當k=0時，原方程為﹣4x+1=0， 解得：x=， ∴k=0符合題意； 當k≠0時， ∵方程kx2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根， ∴△=（﹣4）2+4k≥0， 解得：k≥﹣4且k≠0． 綜上可知：k的取值范圍是k≥4． 故答案為：k≥4． 【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關鍵是分k=0和k≠0來考慮方程有解的情況．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，分類討論是解題的關鍵． 　 16．等邊△ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB=　150　度． 【考點】旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理． 【分析】如圖，作輔助線；首先證明△APQ為等邊三角形，得到PQ=PA=3，∠AQP=60；由勾股定理的逆定理證明∠PQC=90，進而得到∠AQC=150，即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵△ABC為等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60； 將△ABP繞點A逆時針旋轉60，到△ACQ的位置，連接PQ； 則AQ=AP=3，CQ=BP=4； ∵∠PAQ=60， ∴△APQ為等邊三角形， ∴PQ=PA=3，∠AQP=60；在△PQC中， ∵PC2=PQ2+CQ2， ∴∠PQC=90，∠AQC=150， ∴∠APB=∠AQC=150， 故答案為150． 【點評】該題主要考查了等邊三角形的判定、性質，勾股定理的逆定理等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關鍵是靈活運用旋轉變換的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答． 　 17．已知二次函數(shù)y=3（x﹣1）2+1的圖象上有三點A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），則y1、y2、y3的大小關系為　y2＜y1＜y3?。? 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】對二次函數(shù)y=3（x﹣1）2+1，對稱軸x=1，則A、B、C的橫坐標離對稱軸越近，則縱坐標越小，由此判斷y1、y2、y3的大?。? 【解答】解：在二次函數(shù)y=3（x﹣1）2+1，對稱軸x=1， 在圖象上的三點A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）， |2﹣1|＜|4﹣1|＜|﹣3﹣1|， 則y1、y2、y3的大小關系為y2＜y1＜y3． 故答案為y2＜y1＜y3． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由點的橫坐標到對稱軸的距離判斷點的縱坐標的大?。? 　 18．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點A順時針旋轉到位置①可得到點P1，此時AP1=；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②可得到點P2，此時AP2=+1；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③可得到點P3時，AP3=+2…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直至得到點P2026為止，則AP2016=　1344+672?。? 【考點】旋轉的性質；等腰直角三角形． 【分析】由等腰直角三角形的性質和已知條件得出AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三個一組，由于2013=3671，得出AP2013，即可得出結果． 【解答】解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+； AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2； AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3； ∵2016=3672， ∴AP2013=（2013﹣671）+671=1342+671， ∴AP2014=1342+671+=1342+672， ∴AP2015=1342+672+1=1343+672， ∴AP2016=1343+672+1=1344+672， 故答案為：1344+672． 【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；根據(jù)題意得出規(guī)律是解決問題的關鍵． 　 三、解答題 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系． （1）以原點O為對稱中心，畫出與△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1，A1的坐標是　（6，﹣1）?。? （2）將原來的△ABC繞著點（﹣2，1）順時針旋轉90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 【考點】作圖-旋轉變換；旋轉的性質． 【分析】（1）連接AO并延長至A1，使A1O=AO，連接BO并延長至B1，使B1O=BO，連接CO并延長至C1，使C1O=CO，然后順次連接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；再根據(jù)平面直角坐標系的特點寫出點A1的坐標即可； （2）根據(jù)旋轉變換，找出點A、B、C繞點（﹣2，1）順時針旋轉90后的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可． 【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求三角形，點A1的坐標是A1（6，﹣1）； 故答案為：（6，﹣1）； （2）如圖所示，△A2B2C2即為所求作的三角形． 【點評】本題考查了利用關于原點對稱作圖與利用旋轉變換作圖，準確找出對應點的坐標位置是解題的關鍵． 　 20．已知二次函數(shù)當x=﹣1時，有最小值﹣4，且當x=0時，y=﹣3，求二次函數(shù)的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可設頂點式y(tǒng)=a（x+1）2﹣4，然后把（0，3）代入求出a的值即可． 【解答】解：設y=a（x+1）2﹣4 則﹣3=a（0+1）2﹣4 ∴a=1， ∴拋物線的解析式為y=（x+1）2﹣4 即：y=x2+2x﹣3． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，關鍵是要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解． 　 四、解答題 21．解方程： （1）x2﹣x=3 （2）（x+3）2=（1﹣2x）2． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）公式法求解可得； （2）直接開平方法求解即可得． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣3=0， ∵a=1，b=﹣1，c=﹣3， ∴△=1+12=13＞0， ∴x=， ∴，； （2）x+3=（1﹣2x）， 即x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1， 解得：，x2=4． 【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關鍵． 　 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 【考點】分式的化簡求值；一元二次方程的解． 【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3，再代入原式進行計算即可． 【解答】解：原式= =? = = ∵a是方程x2+x﹣3=0的解， ∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3， ∴原式=． 【點評】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵． 　 23．將一塊正方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】本題可設原鐵皮的邊長為xcm，將這塊正方形鐵皮四個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子后，盒子的底面積變?yōu)椋▁﹣24）2，其高則為4cm，根據(jù)體積公式可列出方程，然后解方程求出答案即可． 【解答】解：設原鐵皮的邊長為xcm， 依題意列方程得（x﹣24）24=400， 即（x﹣8）2=100， 所以x﹣8=10， x=810． 所以x1=18，x2=﹣2（舍去）． 答：原鐵皮的邊長為18cm． 【點評】這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，通常把實際問題轉換為方程求解，但應注意考慮解得合理性，即考慮解的取舍． 　 24．某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐助給慈善機構．根據(jù)市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y （單位：個）與銷售單價x（單位：元/個）之間的對應關系如圖所示： （1）y與x之間的函數(shù)關系是　y=﹣30x+600　． （2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（單位：元）與銷售單價x （單位：元/個）之間的函數(shù)關系式； （3）在（2）問的條件下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤． 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出y與x之間的函數(shù)關系式； （2）利用w=銷量每個利潤，進而得出函數(shù)關系式； （3）利用進貨成本不超過900元，得出x的取值范圍，進而得出函數(shù)最值． 【解答】解：（1）設y=kx+b， 根據(jù)題意可得：， 解得；， 故y與x之間的函數(shù)關系是：y=﹣30x+600； 故答案為：y=﹣30x+600； （2）由題意得： w=（x﹣6）（﹣30x+600） =﹣30x2+780x﹣3600， ∴w與x的函數(shù)關系式為w=﹣30x2+780x﹣3600； （3）由題意得：6（﹣30x+600）≤900， 解得：x≥15， 在w=﹣30x2+780x﹣3600中，對稱軸為：x=﹣=13， ∵a=﹣30，∴當x＞13時，w隨x的增大而減小， ∴x=15時，w最大為：（15﹣6）（﹣3015+600）=1350， ∴銷售單價定為每個15元時，利潤最大為1350元． 【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用，正確得出w與x之間的函數(shù)關系式是解題關鍵． 　 五、解答題 25．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由； （3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c列方程組即可． （2）先求出CD的長，分兩種情形①當CP=CD時，②當DC=DP時分別求解即可． （3）求出直線BC的解析式，設E則F，構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得， 解得，c=2， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2． （2）存在．如圖1中，∵C（0，2），D（，0）， ∴OC=2，OD=，CD== ①當CP=CD時，可得P1（，4）． ②當DC=DP時，可得P2（，），P3（，﹣） 綜上所述，滿足條件的P點的坐標為或或． （3）如圖2中， 對于拋物線y=﹣x2+x+2，當y=0時，﹣ x2+x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1 ∴B（4，0），A（﹣1，0）， 由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=﹣x+2， 設E則F， EF=﹣= ∴＜0，∴當m=2時，EF有最大值2， 此時E是BC中點， ∴當E運動到BC的中點時，△EBC面積最大， ∴△EBC最大面積=4EF=42=4，此時E（2，1）． 【點評】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應用、最值問題．等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題． 　 26．在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點D是線段BC的中點，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB． （3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長線于E、F兩點，（2）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關系． 【考點】幾何變換綜合題． 【分析】（1）如圖1中，只要證明∠BED=90，根據(jù)直角三角形30度角性質即可解決問題． （2）如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要證明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解決問題． （3）（2）中的結論不成立．結論：BE﹣CF=AB，證明方法類似（2）． 【解答】解：（1）如圖1中， ∵AB=AC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60，BC=AC=AB=4， ∵點D是線段BC的中點， ∴BD=DC=BC=2， ∵DF⊥AC，即∠CFD=90， ∴∠CDF=30， 又∵∠EDF=120， ∴∠EDB=30， ∴∠BED=90 ∴BE=BD=1． （2）如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB． （3）結論不成立．結論：BE﹣CF=AB． ∵∠B=∠C=60，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB． 【點評】本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．