高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)12 立體幾何中的向量方法 理

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突破點(diǎn)12　立體幾何中的向量方法 提煉1 兩條異面直線的夾角 (1)兩異面直線的夾角θ∈. (2)設(shè)直線l1，l2的方向向量為s1，s2，則cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝. 提煉2 直線與平面的夾角 (1)直線與平面的夾角θ∈. (2)設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 提煉3 兩個(gè)平面的夾角 (1)兩個(gè)平面的夾角θ∈. (2)設(shè)平面π1與π2的法向量分別為n1與n2，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 回訪1　直線與平面的夾角 1．(2015全國卷Ⅱ)如圖121，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中， 圖121 AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求直線AF與平面α所成角的正弦值． 解]　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． 　　　　　 5分 (2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，所以AH＝10.7分 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，＝(10,0,0)，＝(0，－6,8).8分 設(shè)n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，則即 所以可取n＝(0,4,3).10分 又＝(－10,4,8)，故|cos〈n，〉|＝＝. 所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為.12分 回訪2　兩個(gè)平面的夾角 2．(2016全國甲卷)如圖122，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝. 圖122 (1)證明：D′H⊥平面ABCD； (2)求二面角BD′AC的正弦值． 解]　(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝， 故AC∥EF.2分 因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC得＝＝. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.4分 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.5分 (2)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz，則H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)， ＝(3，－4,0)，＝(6,0,0)，＝(3,1,3).8分 設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，則 即 所以可取m＝(4,3，－5)． 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，則 即 所以可取n＝(0，－3,1).10分 于是cos〈m，n〉＝＝＝－. sin〈m，n〉＝. 因此二面角BD′AC的正弦值是.12分 熱點(diǎn)題型1　向量法求線面角 題型分析：向量法求線面角是高考中的?？碱}型，求解過程中，建系是突破口，求直線的方向向量與平面的法向量是關(guān)鍵. 　(2016全國丙卷)如圖123，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． 圖123 (1)證明MN∥平面PAB； (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值． 解]　 (1)證明：由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB.4分 (2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD， 且AE＝＝＝.6分 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 由題意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，8分 ＝(0,2，－4)，＝，＝. 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則 即 可取n＝(0,2,1).10分 于是|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.12分 向量法求線面角的一般步驟 1．建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)． 3．求平面的法向量． 4．求線面角的正弦值． 5．轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論． 提醒：直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化． 變式訓(xùn)練1]　(2016呼和浩特二模)如圖124，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)． 圖124 (1)求證：直線AF∥平面PEC； (2)求PE與平面PBC所成角的正弦值． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952043】 解]　(1)證明：作FM∥CD交PC于點(diǎn)M，連接EM. ∵點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，∴FM＝CD. ∵AE＝AB，AB＝CD，∴AE＝FM. 又AE∥FM， ∴四邊形AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM. ∵AF?平面PEC，EM?平面PEC， ∴直線AF∥平面PEC.6分 (2)連接DE， ∵∠DAB＝60，ABCD是菱形，∴DE⊥DC. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DE，DC，DP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，7分 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，E，A，B， ∴＝，＝(0,1，－1)，＝.8分 設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)． ∵n＝0，n＝0， ∴取n＝(，3,3)， ∴平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(，3,3).10分 設(shè)向量n與所成的角為θ， ∴cos θ＝＝－. ∴PE與平面PBC所成角的正弦值為.12分 熱點(diǎn)題型2　向量法求二面角 題型分析：向量法求二面角是高考重點(diǎn)考查題型，此類問題求解的突破口是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解的關(guān)鍵是求兩個(gè)平面的法向量. 　(2016全國乙卷)如圖125，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60. 圖125 (1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角EBCA的余弦值． 解]　(1)證明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE， 所以AF⊥平面EFDC. 又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)過D作DG⊥EF，垂足為G. 由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.6分 由(1)知∠DFE為二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60，則|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，).7分 由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC， 所以∠CEF為二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60. 從而可得C(－2,0，).8分 所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量， 則即 所以可取n＝(3,0，－).9分 設(shè)m是平面ABCD的法向量，則 同理可取m＝(0，，4).10分 則cos〈n，m〉＝＝－. 故二面角EBCA的余弦值為－.12分 利用空間向量求二面角的思路 二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)或通過二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角． 變式訓(xùn)練2]　(名師押題)如圖126，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA＝PB，O為AB的中點(diǎn)，OD⊥PC. (1)求證：OC⊥PD； (2)若PD與平面PAB所成的角為30，求二面角DPCB的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952044】 圖126 解]　(1)證明：連接OP，∵PA＝PB，O為AB的中點(diǎn)，∴OP⊥AB. ∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD， ∴OP⊥OD，OP⊥OC. ∵OD⊥PC，OP∩PC＝P，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC.4分 又∵OP∩OD＝O，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD.6分 (2)取CD的中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由(1)知OD⊥OC，則AB＝2AD， 又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形， ∴DA⊥平面PAB. ∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角， ∴∠DPA＝30. 不妨設(shè)AD＝1，則AB＝2， PA＝，PO＝. ∴B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1，－1,0)，P(0,0，)， 從而＝(1,1，－)，＝(0，－2,0).9分 設(shè)平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 由得可取n1＝(，0,1)． 同理，可取平面PCB的一個(gè)法向量為n2＝(0，－，－1).11分 于是cos〈n1，n2〉＝＝－. ∴二面角DPCB的余弦值為－.12分 熱點(diǎn)題型3　利用空間向量求解探索性問題 題型分析：(1)立體幾何中的探索性題目主要有兩類：一是利用空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行推理探究，二是對(duì)幾何體的空間角、距離和體積等的研究. (2)其解決方法多通過求角、距離、體積等把這些問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程問題，根據(jù)方程解的存在性來解決. 　如圖127，空間幾何體ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC. 圖127 (1)證明：AE∥平面BCD； (2)若△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD與BD，CD所成角的余弦值均為，試問在CA上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角PBEA的余弦值為.若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解題指導(dǎo)]　(1)→→→ (2)→→→→→→→ 解]　(1)證明：過點(diǎn)D作直線DO⊥BC交BC于點(diǎn)O，連接DO. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，DO?平面BCD， DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD＝BC， 所以DO⊥平面ABC.1分 因?yàn)橹本€AE⊥平面ABC， 所以AE∥DO.2分 因?yàn)镈O?平面BCD，AE?平面BCD， 所以直線AE∥平面BCD.4分 (2)連接AO，因?yàn)镈E∥平面ABC， 所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD. 因?yàn)橹本€AD與直線BD，CD所成角的余弦值均為， 所以BD＝CD，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，所以AO⊥BC， 且cos∠ADC＝. 設(shè)DO＝a，因?yàn)锽C＝2，所以O(shè)B＝OC＝1，AO＝. 所以CD＝，AD＝. 在△ACD中，AC＝2， 所以AC2＝AD2＋CD2－2ADCDcos∠ADC， 即4＝3＋a2＋1＋a2－2， 即＝2a2， 解得a2＝1，a＝1.6分 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則C(0，－1,0)，B(0,1,0)，A(，0,0)，E(，0,1)． 假設(shè)存在點(diǎn)P，連接EP，BP，設(shè)＝λ，則P(－λ，－λ，0)． 設(shè)平面ABE的法向量為m＝(x，y，z)， 則取x＝1，則平面ABE的一個(gè)法向量為m＝(1，，0)． 設(shè)平面PBE的法向量為n＝(x，y，z)， 則取x＝1＋λ，則平面PBE的一個(gè)法向量為n＝(1＋λ，－λ，－2λ).9分 設(shè)二面角PBEA的平面角的大小為θ，由圖知θ為銳角． 則cos θ＝＝＝， 化簡(jiǎn)得6λ2＋λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－(舍去).11分 所以在CA上存在一點(diǎn)P，使得二面角PBEA的余弦值為，其為線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A).12分 利用空間向量解點(diǎn)或參數(shù)存在性問題的優(yōu)勢(shì)及思路 1．優(yōu)勢(shì)：空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷． 2．思路：把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題． 圖128 變式訓(xùn)練3]　如圖128所示，在多面體ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB＝2，AC＝4，BC＝2，CD＝4，BE＝1. (1)求證：平面ADC⊥平面BCDE； (2)試問在線段DE上是否存在點(diǎn)S，使得AS與平面ADC所成的角的余弦值為？若存在，確定S的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解]　(1)證明：因?yàn)锳B＝2，AC＝4，BC＝2， 所以AB2＝AC2＋BC2，故AC⊥BC.2分 因?yàn)镃D⊥平面ABC，所以CD⊥BC.因?yàn)锳C∩CD＝C，故BC⊥平面ADC. 因?yàn)锽C?平面BCDE，所以平面ADC⊥平面BCDE.5分 (2)由(1)知AC⊥BC. 又CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,4)，E(0,2,1).8分 假設(shè)線段DE上存在點(diǎn)S(x，y，z)，使得AS與平面ACD所成的角θ的余弦值為. 設(shè)＝λ(0≤λ≤1)，又＝(x，y，z－4)，＝(0,2，－3)， 所以(x，y，z－4)＝λ(0,2，－3)，得S(0,2λ，4－3λ)，則＝(－4,2λ，4－3λ)． 由(1)知平面ADC的一個(gè)法向量是＝(0,2,0)，因?yàn)閏os θ＝，10分 所以sin θ＝＝| cos〈，〉|＝，化簡(jiǎn)得9λ2＋6λ－8＝0， 解得λ＝或λ＝－(舍去)． 故存在滿足條件的點(diǎn)S，且DS＝DE.12分