高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解 理

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專題四　立體幾何 建知識網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系 　　　 高考點(diǎn)撥]　立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)和空間位置關(guān)系及空間角，一大題常考空間位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求．本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能． 突破點(diǎn)10　空間幾何體表面積或體積的求解 提煉1 求解幾何體的表面積或體積 (1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算． (2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. 提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長為a ，由正四面體本身的對稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑r＝a，外接球的半徑R＝a. 圖101 (2)正方體與球：設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，O為其對稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖101所示． ①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ＝； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝. 回訪1　幾何體的表面積或體積 1. (2016全國甲卷)如圖102是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) 圖102 A．20π B．24π C．28π D．32π C　由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2π24＝16π，底面積為π22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長為＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π24＝8π.所以該幾何體的表面積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.] 2．(2015全國甲卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖103，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　) 圖103 A.　　　　　　　 B. C.　　　　　　　 D. D　由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為 V1＝111＝， 剩余部分的體積V2＝13－＝. 所以＝＝，故選D.] 3．(2014全國卷Ⅱ)如圖104，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) 圖104 A.　　　　　　　 B. C. D. C　由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個(gè)圓柱的組合體．其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積V1＝π224＋π322＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯體積V2＝π326＝54π(cm3)，則所求比值為＝.] 回訪2　球與幾何體的外接與內(nèi)切 4．(2015全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動點(diǎn)．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π C　如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90，∴S△AOB＝R2. ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VOABC最大， ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VOABC最大為R2R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π62＝144π.故選C.] 5．(2013全國卷Ⅰ)如圖105，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) 圖105 A. cm3 B． cm3 C. cm3 D. cm3 A　如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π53＝π(cm3)．] 6．(2012全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B． C. D. A　由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍， 所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍． 在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示， S△ABC＝AB2＝， 高OD＝＝， ∴VSABC＝2VOABC＝2＝.] 熱點(diǎn)題型1　幾何體的表面積或體積 題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解. 　(1)(2016全國乙卷)如圖106，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖106 A．17π　　　　 B．18π C．20π D．28π (2)(2016全國丙卷)如圖107，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖107 A．18＋36　　　　　 B．54＋18 C．90 D．81 (1)A　(2)B　(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為4πR2＋πR2＝17π.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(33＋36＋33)2＝54＋18.故選B.] 1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解． 變式訓(xùn)練1]　(1)(2016平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖108所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B．5＋ C．5＋ D.＋ 圖108 (2)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖109所示，則此幾何體的表面積是(　　) 圖109 A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 圖1010 (3)(名師押題)如圖1010，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD A1B1C1D1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為________cm3. (1)D　(2)D　(3)36　(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝212＋112＋π122＝＋. (2)該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S＝2(46＋43)＋36＋33]＋＝99＋39＝138(cm2)． (3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1CD1B1的體積． 又V三棱錐C1CD1B1＝V三棱錐CB1C1D1＝6＝36(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水．] 熱點(diǎn)題型2　球與幾何體的切、接問題 題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)——球面上任意一點(diǎn)對直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解. 　(1)(2016南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖1011所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖1011 A. B. C. D. (2)(2016全國丙卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D. (1)D　(2)B　(1)法一　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐SABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π＝.故選D. 法二　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS＝2，由正視圖和側(cè)視圖可得HA＝HB＝HC＝2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑， 由點(diǎn)A在球面上可得SA⊥AP. 又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH. 在Rt△ASH中，SA＝＝＝4. 設(shè)球的半徑為R，則SP＝2R， 在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SHSP，即42＝22R，解得R＝， 所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π＝.故選D. (2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓半徑為＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π3＝π.故選B.] 解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定．對于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來． 變式訓(xùn)練2]　(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：85952037】 A. B． C. D．20π (2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖1012(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是________． 圖1012 (1)B　(2)20π　(1)設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示． 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)． 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝32＋12－231cos 60＝7， 所以BC＝. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝. 而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1， 設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝， 所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝.故選B. (2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長、寬分別為4和2的矩形，高為2， 且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)．由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過側(cè)面△SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上．因?yàn)椤鱏DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為R＝AC＝，故外接球的表面積為4πR2＝20π.]