高三數(shù)學二輪復習 第2部分 必考補充專題 專題限時集訓17 專題6 突破點17 函數(shù)與方程 理

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專題限時集訓(十七)　函數(shù)與方程 A組　高考達標] 一、選擇題 1．(2016武漢一模)函數(shù)f(x)＝ln x＋x3－9的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) C　由于函數(shù)f(x)＝ln x＋x3－9在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＋18＞0，故函數(shù)f(x)＝ln x＋x3－9在區(qū)間(2,3)上有唯一的零點．] 2．(2016張掖一模)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－的零點依次為a，b，c，則(　　) A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c B　由f(x)＝0得ex＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x.由h(x)＝0得x＝1，即c＝1. 在坐標系中，分別作出函數(shù)y＝ex，y＝－x，y＝ln x的圖象， 由圖象可知a＜0,0＜b＜1，所以a＜b＜c.] 3．(2016武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(1－x)－1的零點個數(shù)為(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 C　g(x)＝f(1－x)－1 ＝ ＝ 當x≥1時，函數(shù)g(x)有1個零點；當x＜1時，函數(shù)有2個零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為3，故選C.] 4．(2016山東實驗中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．－1,0) D　當x＞0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝，所以只需要當x≤0時，ex＋a＝0有一個根即可，即ex＝－a.當x≤0時，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈－1,0)，故選D.] 5．(2016安慶二模)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－k僅有一個零點，則k的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，0)∪ C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪ D　函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－k僅有一個零點，即f(x)＝k只有一個解，在平面直角坐標系中畫出y＝f(x)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知，方程只有一個解時，k∈(－∞，0)∪，故選D.] 二、填空題 6．(2016宜昌模擬)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當x∈0,3)時，f(x)＝.若函數(shù)y＝f(x)－a在區(qū)間－3,4]上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 　當x∈0,3)時，f(x)＝＝，由f(x)是周期為3的函數(shù)，作出f(x)在－3,4]上的圖象，如圖． 由題意知方程a＝f(x)在－3,4]上有10個不同的根． 由圖可知a∈.] 7．(2016西安模擬)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________． 10　問題可轉(zhuǎn)化為y＝|x－1|與y＝－2cos πx在－4≤x≤6的交點的橫坐標的和，因為兩個函數(shù)圖象均關(guān)于x＝1對稱，所以x＝1兩側(cè)的交點對稱，那么兩對應(yīng)交點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖象(圖略)，易知x＝1兩側(cè)分別有5個交點，所以所求和為52＝10.] 8．(2016南寧二模)已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點個數(shù)為________． 【導學號：85952064】 3　依題意得解得令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，該方程等價于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，因此，函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點個數(shù)為3.] 三、解答題 9．已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常數(shù)，a∈R)． (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集； (2)如果函數(shù)y＝f(x)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍． 解]　(1)當a＝1時， f(x)＝|2x－1|＋x－5＝2分 由解得x≥2；由解得x≤－4. 所以f(x)≥0的解集為{x|x≥2或x≤－4}.6分 (2)由f(x)＝0， 得|2x－1|＝－ax＋5. 作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的圖象，10分 觀察可以知道，當－2＜a＜2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)y＝f(x)有兩個不同的零點． 故a的取值范圍是(－2,2).12分 10．(名師押題)已知函數(shù)fn(x)＝xln x－(n∈N*，e＝2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求曲線y＝f1(x)在點(1，f1(1))處的切線方程； (2)討論函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)． 解]　(1)因為f1(x)＝xln x－x2， 所以f1′(x)＝ln x＋1－2x， 所以f1′(1)＝1－2＝－1. 又f1(1)＝－1，所以曲線y＝f1(x)在點(1，f1(1))處的切線方程為y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.4分 (2)令fn(x)＝0，得xln x－＝0(n∈N*，x＞0)， 所以nln x－x＝0. 令g(x)＝nln x－x，則函數(shù)fn(x)的零點與函數(shù)g(x)＝nln x－x的零點相同． 因為g′(x)＝－1＝，令g′(x)＝0，得x＝n， 所以當x＞n時，g′(x)＜0；當0＜x＜n時，g′(x)＞0， 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，n]上單調(diào)遞增，在區(qū)間n，＋∞)上單調(diào)遞減． 所以函數(shù)g(x)在x＝n處有最大值，且g(n)＝nln n－n.8分 ①當n＝1時，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函數(shù)g(x)＝nln x－x的零點個數(shù)為0； ②當n＝2時，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函數(shù)g(x)＝nln x－x的零點個數(shù)為0； ③當n≥3時，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0， 因為g(e2n)＝nln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－＜2n2－1＋3n＋3n(n－1)]＝－n2－1＜0，且g(1)＜0， 所以由函數(shù)零點的存在性定理，可得函數(shù)g(x)＝nln x－x在區(qū)間(1，n)和(n，＋∞)內(nèi)都恰有一個零點．所以函數(shù)g(x)＝nln x－x的零點個數(shù)為2. 綜上所述，當n＝1或n＝2時，函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為0；當n≥3且n∈N*時，函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為2.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．(2016南昌二模)若函數(shù)f(x)滿足f(x)＋1＝，當x∈0,1]時，f(x)＝x.若在區(qū)間(－1,1]內(nèi)，g(x)＝f(x)－mx－2m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．0＜m＜ B．0＜m≤ C.＜m＜1 D.＜m≤1 B　當－1＜x＜0時，0＜x＋1＜1， 所以f(x＋1)＝x＋1， 從而f(x)＝－1＝－1， 于是f(x)＝ f(x)－mx－2m＝0?f(x)＝m(x＋2)，由圖象可知0＜m≤kAB＝.] 2．(2016新余九校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋4)＝16，當x∈(0,4]時，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)f(x)在－4,2 016]上的零點個數(shù)是(　　) A．504 B．505 C．1 008 D．1 009 B　∵f(x)＋f(x＋4)＝16，∴f(x＋4)＋f(x＋8)＝16， ∴f(x)＝f(x＋8)，∴函數(shù)f(x)是R上周期為8的函數(shù)．又f(2)＝f(4)＝0,2 020＝8252＋4，f(2)＝f(10)＝f(18)＝…＝f(8251＋2)，f(－4)＝f(4)＝f(8251＋4)，故函數(shù)f(x)在－4,2 016]上的零點個數(shù)是251＋1＋251＋2＝505，故選B.] 3．(2016臨汾模擬)函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) 【導學號：85952065】 A．(－∞，0) B．0,1) C．(－∞，1) D．0，＋∞) C　函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示， 作出直線l：y＝a－x，向左平移直線l，觀察可得函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線l：y＝－x＋a有兩個交點，則方程f(x)＝－x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根時，a＜1，故選C.] 4．(2016衡陽模擬)函數(shù)f(x)的定義域為－1,1]，圖象如圖171(1)所示，函數(shù)g(x)的定義域為－2,2]，圖象如圖171(2)所示，方程f(g(x))＝0有m個實數(shù)根，方程g(f(x))＝0有n個實數(shù)根，則m＋n＝(　　) 　(1)　　　　　　　　　　　　　　(2) 圖171 A．14　　　 B．12 C．10　　　 D．8 A　由題圖(1)可知，若f(g(x))＝0， 由g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1， 由題圖(2)知，g(x)＝－1時，x＝－1或x＝1； g(x)＝0時，x的值有3個； g(x)＝1時，x＝2或x＝－2，故m＝7. 若g(f(x))＝0， 則f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0， 由題圖(1)知，f(x)＝1.5與f(x)＝－1.5時，x的值各有2個； f(x)＝0時，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7. 故m＋n＝14.故選A.] 二、填空題 5．(2016中原名校聯(lián)考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零點之和為________． 1－3a　函數(shù)f(x)和y＝a的圖象如圖所示， 由圖可知，f(x)的圖象與直線y＝a有5個交點， 所以函數(shù)F(x)＝f(x)－a有5個零點．從小到大依次設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5， 則x1＋x2＝－8，x4＋x5＝8. 當－2≤x＜0時，0＜－x≤2，所以f(－x)＝log(－x＋1)＝－log3(1－x)， 即f(x)＝log3(1－x)，－2≤x＜0，由f(x)＝log3(1－x)＝a，解得x＝1－3a，即x3＝1－3a，所以函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零點之和為x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－3a.] 6．(2016衡水模擬)已知函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝logx，記函數(shù)h(x)＝則函數(shù)F(x)＝h(x)＋x－5的所有零點的和為________． 5　由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示， 易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝5－x圖象交點橫坐標的和，設(shè)圖象交點的橫坐標分別為x1，x2，因為兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線y＝x對稱，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.] 三、解答題 7．已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)． (1)求k的值； (2)設(shè)g(x)＝log4，若方程f(x)＝g(x)有且僅有一解，求實數(shù)a的取值范圍． 解]　(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx， 所以log4＝－2kx，即x＝－2kx對一切x∈R恒成立，所以k＝－.4分 (2)由已知f(x)＝g(x)，有且僅有一解，即方程log4(4x＋1)－x＝log4(a2x－a)有且只有一個實根，即方程2x＋＝a2x－a有且只有一個實根． 令t＝2x＞0，則方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一個正根.8分 ①當a＝1時，則t＝－不合題意； ②當a≠1時，Δ＝0，解得a＝或－3. 若a＝，則t＝－2，不合題意； 若a＝－3，則t＝； ③若方程有一個正根與一個負根，即＜0，解得a＞1. 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{－3}∪(1，＋∞).12分 8．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)． (1)若g(x)＝m有實根，求m的取值范圍； (2)試確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根. 【導學號：85952066】 解]　(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等號成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是2e，＋∞)． 因而只需m≥2e，g(x)＝m有實根.4分 (2)g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點．作出g(x)＝x＋(x＞0)和f(x)的圖象如圖． 8分 ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值為m－1＋e2， 故當m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時， g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根， ∴m的取值范圍是m＞－e2＋2e＋1.12分