《無限長單位脈沖響應(IIR)數字濾波器的設計》.ppt

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本章主要內容數字濾波器的基本概念；模擬濾波器的設計；用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器；雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器；,《第五章無限長單位脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計》,1、什么是濾波器(Filter)濾波：把一個信號處理成另一個信號的過程；濾波器：是一種具有頻率選擇的網絡（系統），輸入信號的某些頻率分量可以無衰減（或衰減很?。┩ㄟ^，有些頻率分量被阻止（衰減很大）通過。2、濾波器的分類模擬濾波器（AnalogFilter，AF）；數字濾波器（DigitalFilter，DF）；,5.1數字濾波器的基本概念,一、濾波器的基本概念,3、什么是數字濾波器輸入和輸出均是數字信號，該濾波器的單位脈沖響應也是數字序列。通過一定運算關系(數值運算)，改變輸入數字信號所含頻率成份的相對比例或濾除某些頻率成份的器件。,4、數字濾波器的特點(相對模擬濾波器)精度高、穩(wěn)定性好、實現靈活、不要求阻抗匹配、嚴格的線性相位和多維濾波、濾波自適應。,5、數字濾波器處理模擬信號通過A/DC和D/AC，使用數字濾波器對模擬信號的處理。,線性時不變系統輸入和輸出的關系,二、數字濾波原理,FT的時域卷積定理,,1、一般分類經典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器達到濾波的目的。現代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等。,三、數字濾波器的分類,2、從濾波器的功能（按頻率特性）來分類分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器,理想濾波器的幅度特性,特點：(1)h(n)是非因果且無限長，不可能實現，只能盡可能逼近；(2)H(ejw)以2?為周期，低通的中心頻帶處于2?的整數倍處，高通的中心頻帶處于?的奇數倍附近。,DF中，一般考察其半個周期?=[0，?]的頻域特性；,3、從濾波器的單位脈沖響應的長短分類,N階IIR濾波器系統函數,N-1階FIR濾波器系統函數,無限脈沖響應(IIR)數字濾波器,有限脈沖響應(FIR)數字濾波器：,這里介紹的數字濾波器屬于選頻濾波器1、數字濾波器的傳輸函數H(ejw),jβ(ejω),四、數字濾波器的技術要求,|H(ejw)|：系統的幅頻特性，表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。,β(ejω)：系統的相頻特性：反映信號通過濾波器后各頻率成分的延時情況。,注意：一般選頻濾波器的技術要求由幅度特性給出，對相位特性不作要求；,2、數字濾波器的幅頻特性|H(ejw)|的指標,指標說明：ωp：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：0≤ω≤ωp；ωS：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：ωs≤ω≤?；ωC：3dB截止頻率；過渡帶（ωp～ωs）：單調下降?P：通帶最大衰減；?S：阻帶最小衰減?1：通帶內幅度響應誤差范圍；?2：阻帶內幅度響應誤差范圍；,用dB數表示,衰減指標αp和αs的定義,如將|H(ej0)|歸一化為1，上兩式則表示成,當幅度衰減到?2/2時，所對應頻率ω＝ωc，此時?P＝3dB，稱ωc為3dB通帶截止頻率。,用衰減表示的低通濾波器的技術指標,五、數字濾波器設計概述,1、數字濾波器的設計過程按任務要求，確定濾波器的性能指標；用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統的系統函數去逼近這個性能要求。用一個有限精度的算法來實現這個系統函數。實際的技術實現：計算機軟件、專用數字濾波器硬件或軟硬件相結合的方法實現。,2、數字濾波器的頻率響應特性數字濾波器頻率響應特性的三個參量：(1)幅度平方響應：濾波器的衰減特性,,(2)相位響應,,,,因為h(n)是實序列,β(ejω),jβ(ejω),,濾波器為線性相位響應時，通帶內群時延特性為常數,3、IIR數字濾波器的設計方法（1）零極點位置累試法濾波器的特性可由其系統函數的零極點確定，幅頻特性在單位圓內極點處出現峰值，在零點處出現谷值。所謂累試，通過多次改變零極點的位置或增加新的零極點來達到要求。只適用于設計簡單低階（一、二階）的濾波器。（2）用模擬濾波器的理論來設計IIR數字濾波器先設計一個合適的模擬濾波器，然后將其變換成滿足預定指標的數字濾波器。（3）計算機輔助設計法最優(yōu)化的設計方法，先確定一種最佳準則，直接在頻域或時域中進行設計。,,理論和設計方法成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Kllipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。,5.2模擬濾波器的設計,各種理想模擬濾波器的幅度特性,低通濾波器技術指標可由幅度特性或幅度平方特性給出；,一、模擬低通濾波器的技術指標及逼近方法,Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，單位rad/s;Ωc稱為3dB截止頻率αp是通帶Ω(0~Ωp)中的最大衰減系數，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數;圖中幅度1表示用頻率為0時的幅度作為基準幅度來進行歸一化；,αp和αs一般用dB表示，對于單調下降的幅度特性，可表示成：,|Ha(j0)|2,|Ha(j0)|2,Ω=0處幅度歸一化為1，即|Ha(j0)|=1,Ωc稱為3dB截止頻率,,αc=,給出模擬濾波器的技術指標；,二、用模擬濾波器逼近方法設計數字IIR濾波器步驟,設計傳輸函數Ha(s)：使其幅度平方函數滿足給定指標ap和as,|Ha(j?)|2=Ha(j?)?Ha*(j?)=Ha(s)?Ha(-s)|S=j?,確定Ha(s)：系統Ha(s)應是穩(wěn)定的系統，因此，極點應位于S左半平面內。,N：濾波器的階數；ε：濾波器的參數；Ωp：濾波器通帶截止頻率；,三、巴特沃思低通濾波器,1、巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數的分析,衰減特性：,|Ha(j0)|=1,,,,,,采用歸一化基準頻率,,,,,,,,,,巴特沃思濾波器的幅度平方函數,?>?c，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄,當?=0時，,當?=?c時，,所示?c是3dB截止頻率,,,,,,,,,,,,,1,2、由幅度平方函數|Ha(jΩ)|2確定系統函數Ha(s),此式表明幅度平方函數有2N個極點，極點sk用下式表示：,其中，k=0,1,…,(2N-1),2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上，間隔是?/Nrad，左半平面N個點構成Ha(s)傳輸函數，右半平面N個點構成Ha(-s)傳輸函數。,,Ha(s)表示為：,由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為：,知道濾波器的階數N，可得歸一化的傳輸函數，去歸一化p=jλ=s/?c,可得到實際的傳輸函數Ha(s),令s/?c=j?/?c，λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率，令p=jλ，p稱為歸一化復變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數為：,歸一化極點，k=0,1,…,N-1,3、根據給出的技術指標?P、?S、?p、?S，求濾波器階數N,,,,,,,,,用上式求出的N可能有小數部分，應取大于等于N的最小整數。,根據求極點公式：,4、總結巴特沃思濾波器的設計步驟,（1）根據給出的技術指標?P、?S、?p、?S，確定濾波器階數N,（2）求歸一化極點pk，確定歸一化傳輸函數Ha(p),或：根據階數N，查P206表5.2.1得到極點和歸一化傳輸函數,，k=0,1,…,N-1。再帶入：,阻帶指標有富裕度,通帶指標有富裕度,（3）求3dB截止頻率?c,將p=s/?c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)|p=s/?c,(4)將Ha(p)去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s),,表示兩極點P1、PN-2,,,例：設計一個巴特沃思低通濾波器，在時衰減不大于1dB，在時衰減不小于10dB。,,,,,,,,,,,,,,,,解：(1)求階數：,取N＝2,（2）求歸一化的系統函數,,,,,k=0,1,p0,p1,也可查表5.2.1直接得出Ha(p),（3）確定3dB截止頻率?c,,,,,,,,,,,,,,(4)確定濾波器的系統函數,濾波器的頻率響應,利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器設計思想,5.3用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器,設計技術成熟有相當簡便的公式和圖表,要求DF特性模仿AF的特性,實際上是個映射問題,(1)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。(2)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。,對轉換關系的兩點要求：,時間特性上的模仿,頻率響應上的模仿,Ha(s)?LT-1[Ha(s)]?ha(t)?時域采樣?h(n)?ZT[h(n)]?H(z),所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法,一、變換原理,1、基本思想,使h(n)模仿ha(t)，讓h(n)正好等于ha(t)的采樣值,過程：,,2、S平面和Z平面之間的映射關系（復習）,（1）采樣信號的拉氏變換與序列的z變換之間的映射關系,ha(t)的采樣信號表示為:,對進行拉氏變換，得到,結論：采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿虛軸以Ωs=2π/T為周期進行的周期延拓；,將s=jΩ代入上式，得：,(2)模擬信號的拉氏變換與采樣信號的拉氏變換之間的關系,,說明：采用脈沖響應不變法將AF變換為數字DF時Ha(s)沿虛軸以?s=2?/T為周期進行周期延拓;再經過Z=eST的映射關系映射到Z平面上，從而得到H(z),(3)模擬信號的拉氏變換與序列的Z變換之間的映射關系,設：S=??j?，z=r?ejw,頻率域的坐標變換是線性的，滿足轉換關系的第1個要求。,r=e?T,3、分析,因果穩(wěn)定模仿頻響,ω=?T,,問題：轉換是否滿足對轉換關系提出的2點要求？,z=eST,?0時，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外(r=|z|>1)結論：若Ha(s)是因果穩(wěn)定的，則轉換后的H(z)也是因果穩(wěn)定的。,r=e?T,因果穩(wěn)定的分析,當?不變，角頻率?變化2?/T整數倍，映射值不變，S平面上每一條寬度為2?/T的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面上每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內；水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外；j?虛軸上每2?/T段都對應著單位圓一周,由于z=esT是周期函數,4、混疊失真,頻率混疊,,否則，設計出來的DF在w=?附近產生頻率混疊。使設計出來的DF不能很好地重現AF的頻響，滿足不了設計要求。,數字濾波器的頻響與模擬濾波器的頻響的關系,,,當AF的頻響是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即:,,DF不產生混疊失真,結論：脈沖響應不變法只適合設計帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。,1、設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：,si為Ha(s)的單階極點,二、變換方法,,,等間隔采樣，采樣間隔為T,z變換,,,結論:S平面的單極點s=sk映射到Z平面的極點z=esiT。Ha(s)部分分式的系數與H(z)部分分式的系數相同。不保證整個平面與平面都存在其極點那樣的代數對應關系。若所有sk在s左半平面，則所有zk在單位圓內。因此，AF穩(wěn)定，則DF穩(wěn)定。,為使數字濾波器的增益不受采樣間隔的影響，故作以下修正,,,,,（1）確定數字濾波器的一組通、阻帶截止頻率，通帶內容許的最大衰減為，阻帶內容許的最小衰減為。（2）采用變換公式把數字濾波器的這組頻率指標轉換成相應的模擬濾波器的一組頻率指標，而、不變。（3）根據模擬濾波器的技術要求，設計其系統函數。（4）由求數字濾波器的系統函數。（5）利用校核所設計的數字濾波器是否滿足技術指標要求。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、設計步驟,注意：參數T可任選,注：Ωs阻帶截止頻率,例：已知模擬低通濾波器的系統函數為,用脈沖響應不變法將轉換成數字濾波器的系統函數。,,,,,,,,,解：首先將展為部分分式的形式,極點為：,數字濾波器的系統函數為：,設T=1s，得：,設T=0.1s，得：,,,,,,,將三者的幅度特性用它們的最大值歸一化后的幅度特性如圖所示。,AF的幅度特性,DF的幅度特性,例：用脈沖響應不變法設計巴特沃思數字低通濾波器，要求在頻率小于的通帶內，幅度特性下降小于等于1dB；在頻率到之間的阻帶衰減大于等于15dB。,,,,,解：（1）待設計的數字低通濾波器的技術指標為：,查表得到歸一化系統函數為,,,,,,求3dB截止頻率,去歸一化,（4）求相應的數字濾波器的系統函數,,,,,,（5）檢查設計的數字濾波器是否滿足給定的指標要求,四、脈沖響應不變法的優(yōu)缺點優(yōu)點：1、頻率變換是線性關系;w=?T，數字濾波器可以很好重現模擬濾波器的頻響特性；2、數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好；,缺點：1.有頻譜混迭失真現象；(S平面到?Z平面有多值映射關系)2.由于頻譜混迭，使應用受到限制，只適合于用來設計限帶的濾波器，如低通和帶通濾波器。,脈沖響應不變法的缺點:產生頻率譜混迭現象。,5.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器,原因：s平面到z平面是多值對單值的映射關系，模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率?/T，數字化后在ω=?形成頻譜混疊現象。,解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到??/T之間，而后再用z=eST轉換到z平面上。,步驟：首先把整個s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條從到，寬度為的橫帶里（s1平面的橫帶和s平面是單值對應關系）；再通過標準變換關系，將此橫帶變換到整個z平面上去；,,,,,,一、變換原理,好處：s平面與z平面成為一一對應的單值映射關系，消除了頻譜混疊現象。,1、非線性壓縮：(S平面?S1平面映射),T：時域采樣間隔,采用正切變換實現非線性頻率壓縮，設Ha(s)，s=jΩ，經過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)表示，s1=jΩ1，則：,表明：當Ω1從π/T經過0變化到-π/T時，Ω則由∞經過0變化到-∞，這樣，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的π/T之間。,,2、S1平面與S平面的關系,s到z和由z到s的變換都是線性變換，所以稱為雙線性變換,二、逼近情況分析,1、因果穩(wěn)定性分析,當時，，說明s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內；,,,,,,,,,,,當時，，說明s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外；,當時，，說明s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；,結論：因果穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得到的數字濾波器也一定是因果穩(wěn)定的。,2、模擬頻率Ω和數字頻率ω之間的關系,設：z=ejω，s=j?，帶入左式,,說明：s平面上Ω與z平面的ω是非線性正切關系，消除了頻率混疊現象。,代價：影響數字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。,零頻附件，ω和Ω接近線性關系；Ω增加，ω和Ω存在嚴重的非線性關系；如果Ω的刻度是均勻的，通過非線性正切關系，映射到z平面的ω刻度不均勻，隨ω增加越來越密，即邊界頻率發(fā)生畸變。一線性相位的模擬濾波器，經雙線性變換后成為非線性相位的數字濾波器；如果模擬濾波器具有片段常數特性，則轉換到z平面具有片段常數特性。適于片段常系數濾波器的設計。,幅度特性失真,相位特性失真,3、雙線性變換法的幅度失真和相位失真,對邊緣臨界頻率點產生的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。,Ωp＝ωp/T,Ωs＝ωs/T,4、雙線性變換法的頻率預畸變,例：數字低通濾波器的兩個截止頻率：ωp和ωs，如果按照線性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：,即通過非線性的頻率變換公式，得到的數字濾波器的截止頻率就不等于原頻率,解決方法：數字頻率轉換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理：,,ω＝2arctan(ΩT/2),ωp’=!ωp,ωS’=!ωS,1、優(yōu)點消除了頻譜混迭失真；頻率映射s平面與z平面是一一對應的單值映射關系，避免了脈沖響應不變法的頻譜“混迭”現象。2、缺點以頻率變換的非線性為代價，模擬域和數字域進行非線性映射，其瞬時響應不如脈沖響應不變法好。,5、總結雙線性變換法的特點,,,,,,,四、雙線性變換法設計數字濾波器的步驟,（1）確定數字濾波器的通帶和阻帶截止頻率，通帶內容許的最大衰減?P及阻帶內容許的最小衰減?S。,（2）采用頻率預畸變的方法把數字濾波器的通帶和阻帶截止頻率變換成相應的模擬濾波器的通帶和阻帶截止頻率，通帶最大衰減及阻帶最小衰減不變。,（3）根據模擬濾波器的技術指標，設計其系統函數Ha(s),（4）求數字濾波器的系統函數H(z),（5）檢驗所設計的數字濾波器是否滿足技術指標要求。,例：已知模擬濾波器的系統函數，試用雙線性變換法將轉換成數字濾波器的系統函數。,設T=1s，則：,解：,,雙線性變換法設計的數字濾波器的頻響限制在0和π之間，不存在頻率響應的混疊現象。,例：用雙線性變換法設計巴特沃思數字低通濾波器，要求在頻率小于的通帶內，幅度特性下降小于等于1dB；在頻率到之間的阻帶衰減大于等于15dB。,,,（2）確定模擬低通濾波器的技術指標，取T=1。,,,,取N=6,,,（3）設計巴特沃思模擬低通濾波器：,,,（4）求數字濾波器的系統函數：,（5）校核所設計的數字濾波器是否滿足給定的指標要求,例：用雙線性變換法設計數字低通濾波器，要求在頻率小于等于100Hz的通帶內，幅度的衰減特性不大于2dB；在頻率大于等于300Hz的阻帶內，衰減不小于15dB，采樣頻率為1000Hz，采用巴特沃思型濾波器。,,,,,,采樣頻率為1000Hz，所以T=0.001s，待設計的數字低通濾波器的技術指標為：,解:（1）確定待設計的數字低通濾波器的技術指標：,（2）確定模擬低通濾波器的技術指標：,設T=1s,,,,,,,,,（3）設計模擬巴特沃思低通濾波器：,取N=2,（4）由求其相應數字濾波器的系統函數：,（5）校核所設計的數字濾波器是否滿足給定的指標要求：,,,,,,,,所設計的數字濾波器滿足給定的指標要求。,1、已知模擬濾波器的傳輸函數為，設采樣周期T=0.1s，采用脈沖響應不變法將其轉換為數字濾波器，求該數字濾波器的系統函數H(z)。2、用雙線性變換法設計IIR數字濾波器，要求通帶截止頻率為π/5rad，通帶內容許的最大衰減為3dB，阻帶截止頻率為3π/5rad，阻帶的最小衰減為20dB，模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。,,本章作業(yè),