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(四)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(2)
1.(2016課標(biāo)全國丙)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),1<
1,證明:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
(1)解 由題設(shè),f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=-1,令f′(x)=0解得x=1.
當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
(2)證明 由(1)知,f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.
所以當(dāng)x≠1時(shí),ln x1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,
則g′(x)=c-1-cxln c.令g′(x)=0,解得x0=.
當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
由(2)知1<0.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.
2.(2016課標(biāo)全國甲)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2,f(1)=0,曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.
(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0等價(jià)于ln x->0,設(shè)g(x)=ln x-,則
g′(x)=-=,g(1)=0.
①當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時(shí),x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,
因此g(x)>0;
②當(dāng)a>2時(shí),令g′(x)=0得,
x1=a-1-,x2=a-1+.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)<0,
綜上,a的取值范圍是(-∞,2].
3.(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)設(shè)a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍;
(3)求證:a2-3b>0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.
(1)解 由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,切線斜率k=f′(0)=b.
又f(0)=c,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c).
所以所求切線方程為y-c=b(x-0),即bx-y+c=0.(2)解 由a=b=4得f(x)=x3+4x2+4x+c,
所以f′(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2),
令f′(x)=0,得(3x+2)(x+2)=0,
解得x=-2或x=-,
f′(x),f(x)隨x的變化情況如下:
x
(-∞,-2)
-2
-
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
c
↘
c-
↗
所以,當(dāng)c>0且c-<0時(shí),存在x1∈(-∞,-2),
x2∈,x3∈,
使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí),函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個(gè)不同零點(diǎn).
(3)證明 當(dāng)Δ=4a2-12b<0,即a2-3b<0時(shí),
f′(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),
此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).
當(dāng)Δ=4a2-12b=0時(shí),f′(x)=3x2+2ax+b只有一個(gè)零點(diǎn),記作x0.
當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).
綜上所述,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),
則必有Δ=4a2-12b>0,
故a2-3b>0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.
當(dāng)a=b=4,c=0時(shí),a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有兩個(gè)不同零點(diǎn),
所以a2-3b>0不是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件.
因此a2-3b>0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.
4.(2016山東)已知f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時(shí),證明f(x)>f′(x)+對于任意的x∈[1,2]成立.
(1)解 f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=a--+=.
當(dāng)a≤0時(shí),x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=.
①01,
當(dāng)x∈(0,1)或x∈時(shí),
f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
②a=2時(shí),=1,在x∈(0,+∞)內(nèi),f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.
③a>2時(shí),0<<1,當(dāng)x∈或x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,
在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)02時(shí),f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)證明 由(1)知,a=1時(shí),
f(x)-f′(x)=x-ln x+-
=x-ln x++--1,x∈[1,2].
設(shè)g(x)=x-ln x,h(x)=+--1,x∈[1,2],
則f(x)-f′(x)=g(x)+h(x).
由g′(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號.
又h′(x)=.
設(shè)φ(x)=-3x2-2x+6,
則φ(x)在x∈[1,2]內(nèi)單調(diào)遞減.
因?yàn)棣?1)=1,φ(2)=-10,所以?x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)時(shí),φ(x)>0,x∈(x0,2)時(shí),φ(x)<0.
所以h(x)在(1,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x0,2)內(nèi)單調(diào)遞減.
由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得等號.
所以f(x)-f′(x)>g(1)+h(2)=,
即f(x)>f′(x)+對于任意的x∈[1,2]成立.
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