《高考數(shù)學大二輪總復(fù)習與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學大二輪總復(fù)習與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計 第2講 概率練習 理(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第2講 概 率
1.(2016課標全國乙)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 將4種顏色的花任選2種種在一個花壇中,余下2種種在另一個花壇,有((紅黃)、(白紫)),((白紫)、(紅黃)),((紅白)、(黃紫)),((黃紫)、(紅白)),((紅紫)、(黃白)),((黃白)、(紅紫))共6種種法,其中紅色和紫色不在一個花壇的種數(shù)有((紅黃)、(白紫)),((白紫)、(紅黃)),((紅白)、(黃紫)),((黃紫),(紅白)),共4種,故所求概率為P==,選C.
2.(2016課標全國乙)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如圖所示,畫出時間軸:
小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中,而當他的到達時間落在線段AC或DB時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘,根據(jù)幾何概型得所求概率P==,故選B.
3.(2016北京)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒,每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
答案 B
解析 取兩個球往盒子中放有4種情況:
①紅+紅,則乙盒中紅球數(shù)加1;
②黑+黑,則丙盒中黑球數(shù)加1;
③紅+黑(紅球放入甲盒中),則乙盒中黑球數(shù)加1;
④黑+紅(黑球放入甲盒中),則丙盒中紅球數(shù)加1.
因為紅球和黑球個數(shù)一樣,所以①和②的情況一樣多.③和④的情況完全隨機,③和④對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的,所以對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上,選B.
4.(2016四川)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________.
答案
解析 由題可知,在一次試驗中,試驗成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P=1-=,∵2次獨立試驗成功次數(shù)X滿足二項分布X~B,則E(X)=2=.
1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用;
2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合,考查知識的綜合應(yīng)用能力.
熱點一 古典概型和幾何概型
1.古典概型的概率
P(A)==.
2.幾何概型的概率
P(A)=.
例1 (1)(2015課標全國Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
(2)(2016山東)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.
(2)由已知得,圓心(5,0)到直線y=kx的距離小于半徑,∴<3,解得-
n.
(1)求m與n的值;
(2)該校根據(jù)三個社團活動安排情況,對進入“攝影”社的同學增加校本選修學分1分,對進入“棋類”社的同學增加校本選修學分2分,對進入“ 國學”社的同學增加校本選修學分3分.求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)的分布列及均值.
解 (1)依題意,
解得
(2)由題設(shè)該新同學在社團方面獲得校本選修課學分的分數(shù)為隨機變量X,則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6.
而P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)=+=;
P(X=4)==;
P(X=5)==;
P(X=6)==.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
6
P
所以E(X)=0+1+2+3+4+5+6=.
1.某校在2016年的中學數(shù)學挑戰(zhàn)賽中有1 000人參加考試,數(shù)學考試成績ξ~N(90,σ2)(σ>0,試卷滿分150分),統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,則此次數(shù)學考試成績不低于110分的考生人數(shù)約為( )
A.200 B.400 C.600 D.800
押題依據(jù) 正態(tài)分布多以實際問題為背景,有很強的應(yīng)用價值,應(yīng)引起考生關(guān)注.
答案 A
解析 依題意得P(70≤ξ≤110)=0.6,
P(ξ≤110)=0.3+0.5=0.8,P(ξ≥110)=0.2,
于是此次數(shù)學考試成績不低于110分的考生約有
0.21 000=200(人).
2.位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是________.
押題依據(jù) 二項分布模型和獨立重復(fù)試驗是生活中常見概率問題的抽象和提煉,也是高考的熱點.
答案
解析 由于質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向為向上或向右,移動五次后位于點(2,3),所以質(zhì)點P必須向右移動兩次,向上移動三次,故其概率為C()3()2=C()5=C()5=.
3.甲、乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立,比賽停止時一共已打ξ局.
(1)列出隨機變量ξ的分布列;
(2)求ξ的均值E(ξ).
押題依據(jù) 利用隨機變量求解概率問題是高考的必考點,一般以解答題形式出現(xiàn),考查離散型隨機變量的均值.
解 (1)依題意知,ξ的所有可能取值為2,4,6.
設(shè)每2局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為()2+()2=.
若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得1分,此時,該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.則有P(ξ=2)=,P(ξ=4)==,P(ξ=6)=()2=,
所以ξ的分布列為
ξ
2
4
6
P
(2)E(ξ)=2+4+6=.
A組 專題通關(guān)
1.一枚硬幣連擲2次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正,正)、(反,反)、(正,反)、(反,正)四種情況,只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種,∴P==,故選D.
2.某高中數(shù)學老師從一張測試卷的12道選擇題、4道填空題、6道解答題中任取3道題作分析,則在取到選擇題時解答題也取到的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 從題設(shè)22道題中任取3題,選到選擇題的選法有(C-C)種,選到選擇題也選到解答題的選法可分兩類,選到1道選擇題,或選到2道選擇題,因此方法數(shù)為C(CC+C)+CC,所以所求概率為P=,故選C.
3.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=e(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則( )
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
答案 D
解析 正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,由題圖可知μ1<μ2=μ3;而σ決定正態(tài)曲線的形狀,σ越小,圖象越“瘦而高”,σ越大,圖象越“胖而矮”,所以σ1=σ2<σ3,故選D.
4.甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ,η的分布列如下表.其中射擊成績比較穩(wěn)定的運動員是( )
環(huán)數(shù)k
8
9
10
P(ξ=k)
0.3
0.2
0.5
P(η=k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 B.乙
C.一樣 D.無法比較
答案 B
解析 由題中分布列可得,E(ξ)=0.38+0.29+0.510=9.2,E(η)=0.28+0.49+0.410=9.2=E(ξ),D(ξ)=(8-9.2)20.3+(9-9.2)20.2+(10-9.2)20.5=0.76,D(η)=(8-9.2)20.2+(9-9.2)20.4+(10-9.2)20.4=0.56,則p的取值范圍是________.
答案 (0,)
解析 由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p,P(η=3)=(1-p)2,則E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0,1),
所以p∈(0,).
9.若隨機變量ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.158 7,則P(ξ>1)=________.
答案 0.841 3
解析 因為ξ~N(2,1),且P(ξ>3)=0.158 7,
所以P(ξ<1)=P(ξ>3)=0.158 7,
所以P(ξ>1)=1-P(ξ<1)=1-0.158 7=0.841 3.
10.有三位環(huán)保專家從四個城市中每人隨機選取一個城市完成一項霧霾天氣調(diào)查報告,三位專家選取的城市可以相同,也可以不同.
(1)求三位環(huán)保專家選取的城市各不相同的概率;
(2)設(shè)選取某一城市的環(huán)保專家有ξ人,求ξ的分布列及均值.
解 (1)事件A表示“三位環(huán)保專家選取的城市各不相同”,則P(A)==.
(2)由題意可知ξ=0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
均值E(ξ)=0+1+2+3=.
B組 能力提高
11.某人射擊一次擊中的概率為,經(jīng)過3次射擊,此人至少有2次擊中目標的概率為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 該人3次射擊,恰有2次擊中目標的概率是
P1=C2,
3次全部擊中目標的概率是P2=C3,
所以此人至少有2次擊中目標的概率是
P=P1+P2=C2+C3=.
12.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,4,5,6個點),落在水平桌面后,記正面朝上的點數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則概率P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 正面朝上的點數(shù)(x,y)的不同結(jié)果共有CC=36(種).
事件A:“x+y為偶數(shù)”包含事件A1:“x,y都為偶數(shù)”與事件A2:“x,y都為奇數(shù)”兩個互斥事件,其中P(A1)==,P(A2)==,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)=+=.
事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,所以事件AB為“x,y都為偶數(shù)且x≠y”,所以P(AB)==.
由條件概率的計算公式,得P(B|A)==.
13.(2015湖南)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.
(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和均值.
解 (1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},
A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球},
B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎}.
由題意,A1與A2相互獨立,A12與1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A12+1A2,C=B1+B2.
因為P(A1)==,P(A2)==,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==,
P(B2)=P(A12+1A2)=P(A12)+P(1A2)
=P(A1)P(2)+P(1)P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=+=.
故所求概率為
P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.
(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B.
于是
P(X=0)=C03=,
P(X=1)=C12=,
P(X=2)=C21=,
P(X=3)=C30=.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
X的均值為E(X)=3=.
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