高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第21練 基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 文

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第21練　基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶 [題型分析高考展望]　等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點，經(jīng)常以一個選擇題或一個填空題，再加一個解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時為中檔題，有時解答題難度較大．解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì)． 體驗高考 1．(2016課標全國乙)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100等于(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 答案　C 解析　由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1， ∴a100＝a10＋90d＝98，故選C. 2．(2015福建)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a. ∴或解得或 ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D. 3．(2016北京)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 答案　6 解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. ∴S6＝66＋(－2)＝6. 4．(2015安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________． 答案　2n－1 解析　由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8， a1＋a4＝9，∴聯(lián)立方程 解得或 又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列， ∴a1＝1，a4＝8， 從而a1q3＝8，∴q＝2. ∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝＝2n－1. 5．(2016課標全國乙)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為__________． 答案　64 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∴ 即解得 ∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) ＝n(n－7)＝， 當n＝3或4時，取到最小值－6， 此時取到最大值26， ∴a1a2…an的最大值為64. 高考必會題型 題型一　等差、等比數(shù)列的基本運算 例1　已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＝11，S3＝24. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}中的最小的項． 解　(1)∵a3＝a1＋2d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d， ∴? ∴an＝5＋(n－1)3＝3n＋2. (2)bn＝＝ ＝n＋＋≥2 ＋＝. 當且僅當n＝，即n＝2時，bn取得最小值， ∴數(shù)列{bn}中的最小的項為. 點評　等差(比)數(shù)列基本運算的關(guān)注點 (1)基本量：在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個基本的元素． (2)解題思路：①設(shè)基本量a1和公差d(公比q)； ②列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少計算量． 變式訓練1　(1)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為________． (2)(2015課標全國Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 答案　(1)　(2)B 解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則當q＝1時， S1＝a1,2S2＝4a1,3S3＝9a1，S1,2S2,3S3不成等差數(shù)列； 當q≠1時，∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列， ∴4S2＝S1＋3S3，即4＝a1＋3， 即3q2－4q＋1＝0，∴q＝1(舍)或q＝. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝221＝42，故選B. 題型二　等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2　(1)(2015廣東)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若27a3－a6＝0，則＝________. 答案　(1)10　(2)28 解析　(1)因為{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. (2)由題可知{an}為等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，公比為q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5， 所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3， 由Sn＝，得S6＝，S3＝， 所以＝＝28. 點評　等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點 類型 等差數(shù)列 等比數(shù)列 項的 性質(zhì) 2ak＝am＋al(m，k，l∈N*，且m，k，l成等差數(shù)列) a＝amal(m，k，l∈N*，且m，k，l成等差數(shù)列) am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q) aman＝apaq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q) 和的 性質(zhì) 當n為奇數(shù)時：Sn＝na 當n為偶數(shù)時：＝q(公比) 依次每k項的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等差數(shù)列 依次每k項的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠－1) 變式訓練2　(1){an}為等差數(shù)列，若<－1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正值時，n等于(　　) A．11 B．17 C．19 D．21 (2)在正項等比數(shù)列{an}中，3a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于(　　) A．3或－1 B．9或1 C．1 D．9 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)∵Sn有最大值，∴d<0， 又<－1，∴a11<00，∴S19為最小正值． (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，依題意，a3＝3a1＋2a2， ∴a1q2＝3a1＋2a1q，整理得：q2－2q－3＝0， 解得q＝3或q＝－1(舍)， ∴＝＝q2＝9. 題型三　等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3　已知等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè){bn＋an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式和前n項和Sn. 解　(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即3q2－10q＋3＝0， ∵公比q>1，∴q＝3. 又∵首項a1＝3，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n. (2)∵{bn＋an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， ∴bn＋an＝1＋2(n－1)， 即數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1－3n－1. 前n項和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2. 點評　(1)對數(shù)列{an}，首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量，從而確定an、Sn. (2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，也是解決此類題目的主要方法． 變式訓練3　(2015北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？ 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a4－a3＝2，所以d＝2. 又因為a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)． (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因為b2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝426－1＝128. 由128＝2n＋2，得n＝63， 所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等． 高考題型精練 1．設(shè){an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1等于(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分別為a1,2a1－1,4a1－6. 因為S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．解得a1＝－. 2．已知無窮等差數(shù)列{an}，前n項和Sn中，S6S8，則(　　) A．在數(shù)列{an}中a7最大 B．在數(shù)列{an}中，a3或a4最大 C．前三項之和S3必與前10項之和S10相等 D．當n≥8時，an<0 答案　D 解析　由于S6S8， 所以S7－S6＝a7>0，S8－S7＝a8<0， 所以數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列，最大項為a1， 所以A，B均錯，D正確． S10－S3＝a4＋a5＋…＋a10＝7a7>0， 故C錯誤． 3．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 答案　D 解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12， a9＝a1＋8d＝a1－16， 又∵a7是a3與a9的等比中項， ∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)， 解得a1＝20.∴S10＝1020＋109(－2)＝110. 4．(2016哈爾濱六中期中)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，給出下列五個命題：①d<0；②S11>0；③使Sn>0的最大n值為12；④數(shù)列{Sn}中的最大項為S11；⑤|a6|>|a7|，其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．5 B．4 C．3 D．1 答案　B 解析　∵S6>S7>S5，∴a7<0，a6>0，a6＋a7>0， 因此|a6|>|a7|；d＝a7－a6<0； S11＝＝11a6>0； S12＝＝6(a6＋a7)>0， 而S13＝13a7<0， 因此滿足Sn>0的最大n值為12； 由于a7<0，a6>0，數(shù)列{Sn}中的最大項為S6， ∴④錯，①②③⑤正確，故選B. 5．在正項等比數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和為Sn，且－a3，a2，a4成等差數(shù)列，則S7的值為(　　) A．125 B．126 C．127 D．128 答案　C 解析　設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)， 且a1＝1，由－a3，a2，a4成等差數(shù)列，得2a2＝a4－a3， 即2a1q＝a1q3－a1q2. 因為q>0，所以q2－q－2＝0. 解得q＝－1(舍)或q＝2. 則S7＝＝＝127. 6．已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由等差數(shù)列的前n項和及等差中項， 可得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝7＋ (n∈N*)， 故當n＝1,2,3,5,11時，為整數(shù)． 即正整數(shù)n的個數(shù)是5. 7．(2016江蘇)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． 答案　20 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由題意可得： 解得 則a9＝a1＋8d＝－4＋83＝20. 8．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是________． 答案　20 解析　等差數(shù)列{an}的公差為d，則 即∴ ∴Sn＝39n＋(－2)＝－n2＋40n ＝－(n－20)2＋400， 當n＝20時，Sn取得最大值． 9．公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________. 答案　22 解析　根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?＝a1＋(n－1)(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22. 10．若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n和m等式a＝anan＋2m都成立，則稱數(shù)列{an}為m階梯等比數(shù)列．若{an}是3階梯等比數(shù)列有a1＝1，a4＝2，則a10＝________. 答案　8 解析　由題意有，當{an}是3階梯等比數(shù)列，a＝anan＋6，a＝a1a7，所以a7＝4， 由a＝a4a10，有a10＝＝8. 11．(2016北京)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q， 由得 ∴{bn}的通項公式bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)2＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝21－1＋30＋22－1＋31＋23－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋ ＝2－n＋ ＝n2＋. 即數(shù)列{cn}的前n項和為n2＋. 12．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，求{bn}的前n項和Sn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d， ∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6， ∴d＝－3. ∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝－3n＋2. (2)∵數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列， ∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1， ∴bn＝3n－2＋qn－1. ∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1) ＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)， 故當q＝1時，Sn＝＋n＝； 當q≠1時，Sn＝＋.