高考數學大二輪總復習與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計 第3講 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例練習 理

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第3講　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1．(2016課標全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 答案　D 解析　由題意知，平均最高氣溫高于20 ℃的有七月，八月，故選D. 2．(2016山東)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數據分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是(　　) A．56 B．60 C．120 D．140 答案　D 解析　設所求人數為N，則N＝2.5(0.16＋0.08＋0.04)200＝140，故選D. 3．(2016北京)某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段．下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊. 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(單位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a－1 b 65 在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則(　　) A．2號學生進入30秒跳繩決賽 B．5號學生進入30秒跳繩決賽 C．8號學生進入30秒跳繩決賽 D．9號學生進入30秒跳繩決賽 答案　B 解析　 由數據可知，進入立定跳遠決賽的8人為：1～8號，所以進入30秒跳繩決賽的6人需要從1～8號產生，數據排序后可知第3,6,7號必須進跳繩決賽，另外3人需從63，a,60,63，a－1五個得分中抽取，若63分的人未進決賽，則60分的人就會進入決賽，與事實矛盾，所以63分必進決賽．故選B. 4．(2016上海)某次體檢，6位同學的身高(單位：米)分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，則這組數據的中位數是________(米)． 答案　1.76 1.以選擇題、填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數字特征、統(tǒng)計圖表、回歸方程、獨立性檢驗等； 2.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 熱點一　抽樣方法 1．簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽?。m用范圍：總體中的個體數較少． 2．系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取．適用范圍：總體中的個體數較多． 3．分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽?。m用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成． 例1　(1)某月月底，某商場想通過抽取發(fā)票存根的方法估計該月的銷售總額．先將該月的全部銷售發(fā)票的存根進行了編號，1,2,3，…，然后擬采用系統(tǒng)抽樣的方法獲取一個樣本．若從編號為1,2,3，…，10的前10張發(fā)票的存根中隨機抽取1張，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號順序逐次產生第2張、第3張、第4張、……，則抽樣中產生的第2張已編號的發(fā)票存根，其編號不可能是(　　) A．13 B．17 C．19 D．23 (2)為了研究霧霾天氣的治理，某課題組對部分城市進行空氣質量調查，按地域特點把這些城市分成甲、乙、丙三組，已知三組城市的個數分別為4，y，z，依次構成等差數列，且4，y，z＋4成等比數列，若用分層抽樣抽取6個城市，則乙組中應抽取的城市個數為________． 答案　(1)D　(2)2 解析　(1)因為第一組的編號為1,2,3，…，10，所以根據系統(tǒng)抽樣的定義可知第二組的編號為11,12,13，…，20，故第2張已編號的發(fā)票存根的編號不可能為23. (2)由題意可得即 解得z＝12，或z＝－4(舍去)， 故y＝8. 所以甲、乙、丙三組城市的個數分別為4,8,12. 因為一共要抽取6個城市，所以抽樣比為＝. 故乙組城市應抽取的個數為8＝2. 思維升華　(1)隨機抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的；(2)系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；(3)分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例． 跟蹤演練1　(1)要考察某公司生產的500克袋裝牛奶中三聚氰胺的含量是否超標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數法抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，…，799進行編號，如果從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是________．(下面摘取了隨機數表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行) 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行) (2)利用分層抽樣的方法在學生總數為1 200人的年級中抽出20名同學，其中有女生8人，則該年級男生的人數約為________． 答案　(1)068　(2)720 解析　(1)由隨機數法可知抽取樣本個體的編號為331,572,455,068，…，故第4個樣本個體的編號為068. (2)由于樣本容量為20，其中的男生人數為12，從而該年級男生人數約為1 200＝720. 熱點二　用樣本估計總體 1．頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距. 2．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. 3．利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數 利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時易出錯，應注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中： (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數； (2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； (3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和． 例2　(1)在某次測量中得到的A樣本數據如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都減5后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征對應相同的是(　　) A．平均數 B．標準差 C．眾數 D．中位數 (2)若五個數1,2,3,4，a的平均數為3，則這五個數的標準差是________． 答案　(1)B　(2) 解析　(1)設樣本A中的數據為xi，則樣本B中的數據為yi＝xi－5，則樣本數據B中的眾數和平均數以及中位數和A中的眾數，平均數，中位數相差5，只有標準差沒有發(fā)生變化，故選B. (2)由平均數的定義知＝3， 所以10＋a＝15，即a＝5； 由標準差的計算公式可得 s＝＝. 思維升華　(1)反映樣本數據分布的主要方式：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖．關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率，其高低能夠描述頻率的大小，高考中常常考查頻率分布直方圖的基本知識，同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數，具體問題中要能夠根據公式求解數據的平均數、眾數、中位數和方差等．(2)由樣本數據估計總體時，樣本方差越小，數據越穩(wěn)定，波動越小． 跟蹤演練2　(1)某學生在一門功課的22次考試中，所得分數莖葉圖如圖所示，則此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為(　　) A．117 B．118 C．118.5 D．119.5 (2)某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n且支出在[20,60]元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50,60]元的學生有30人，則n的值為(　　) A．100 B．1 000 C．90 D．900 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)22次考試中，所得分數最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42，將分數從小到大排列，中間兩數為76,76，所以中位數為76，所以此學生該門功課考試分數的極差與中位數之和為42＋76＝118. (2)支出在[50,60]元的頻率為1－0.1－0.24－0.36＝0.3，所以n＝300.3＝100，故選A. 熱點三　統(tǒng)計案例 1．線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝－，(，)稱為樣本點的中心． 2．隨機變量 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 例3　(1)(2015北京)高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績、數學成績與總成績在全年級中的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生． 從這次考試成績看， ①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是________； ②在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是________． (2)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統(tǒng)計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是(　　) 表1 成績 性別 不及格 及格 總計 男 6 14 20 女 10 22 32 總計 16 36 52 表2 視力 性別 好 差 總計 男 4 16 20 女 12 20 32 總計 16 36 52 表3 智商 性別 偏高 正常 總計 男 8 12 20 女 8 24 32 總計 16 36 52 表4 閱讀量 性別 豐富 不豐富 總計 男 14 6 20 女 2 30 32 總計 16 36 52 A.成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 答案　(1)①乙　②數學　(2)D 解析　(1)①由散點圖可知：越靠近坐標原點O名次越好，乙同學語文成績好，而總成績年級名次靠后；而甲同學語文成績名次比總成績名次差，所以應是乙同學語文成績名次比總成績名次靠前． ②丙同學總成績年級名次比數學成績年級名次差，所以丙同學成績名次更靠前的是數學． (2)根據數據求出K2的值，再進一步比較大?。? A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. ∵<<<， ∴與性別有關聯的可能性最大的變量是閱讀量． 思維升華　(1)在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值；回歸直線過樣本點的中心(，)，應引起關注．(2)獨立性檢驗問題，要確定22列聯表中的對應數據，然后代入K2求解即可． 跟蹤演練3　(1)隨機采訪50名觀眾對某電視節(jié)目的滿意度，得到如下列聯表： 單位：人 滿意 不滿意 合計 男 10 20 30 女 15 5 20 合計 25 25 50 附表和公式如下： P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 根據以上數據可知(　　) A．有95%的把握認為對電視節(jié)目的滿意度與性別無關 B．有99%的把握認為對電視節(jié)目的滿意度與性別無關 C．有99%的把握認為對電視節(jié)目的滿意度與性別有關 D．有95%的把握認為對電視節(jié)目的滿意度與性別有關 (2)設某市現代中學的男生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據樣本數據(xi，yi) (i＝1,2，…，n)，且最小二乘法建立的回歸方程為＝0.95x－99.88，給定下列結論： ①y與x具有正的線性相關關系； ②回歸直線過樣本點的中心(，)； ③若該中學某男生身高增加1 cm，則其體重約增加0.95 kg； ④若該中學某男生身高為180 cm，則可預測其體重約為71.12 kg. 其中正確的結論是________． 答案　(1)C　(2)①②③④ 解析　(1)由于K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握認為對電視節(jié)目的滿意度與性別有關，故選C. (2)依題意知②正確；∵＝0.95x－99.88,0.95>0，故①正確；若身高x增加1，則其體重約為＝0.95(x＋1)－99.88＝0.95x－99.88＋0.95，約增加0.95 kg，故③正確；若男生身高為180 cm，則其體重約為＝0.95180－99.88＝71.12 kg，故④正確.  1．某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從甲、乙兩地分別隨機調查了10個用戶，將滿意度的分數繪成莖葉圖如圖所示．設甲、乙兩地的滿意度分數的平均數分別為甲，乙，中位數分別為m甲，m乙，則(　　) A.甲<乙，m甲>m乙 B.甲>乙，m甲>m乙 C.甲>乙，m甲乙． 中位數分別為m甲＝＝75，m乙＝＝73， 所以m甲>m乙． 故選B. 2．某校為了了解高三學生寒假期間的學習情況，抽查了100名學生，統(tǒng)計他們每天的平均學習時間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示，則這100名學生中學習時間在6至10小時之間的人數為________． 押題依據　頻率分布直方圖多以現實生活中的實際問題為背景，對圖形的理解應用可以考查考生的基本分析能力，是高考的熱點． 答案　58 解析　由圖知，(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)2＝1，解得x＝0.15，所以學習時間在6至10小時之間的頻率是(0.15＋0.14)2＝0.58， 所求人數為1000.58＝58. 3．某車間為了制定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如下： 零件的個數x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖； (2)求出y關于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標系中畫出回歸直線； (3)試預測加工10個零件需要多少小時？ (注：＝，＝－ ) 押題依據　線性回歸分析在生活中具有很強的應用價值，是高考的一個重要考點． 解　(1)散點圖如圖． (2)由表中數據得：iyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，∴ ＝0.7，∴＝1.05， ∴＝0.7x＋1.05，回歸直線如圖所示． (3)將x＝10代入線性回歸方程， 得＝0.710＋1.05＝8.05， 故預測加工10個零件約需要8.05小時． A組　專題通關 1．某餐廳的原料費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下數據，根據表中提供的全部數據，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝8.5x＋7.5，則表中的m的值為(　　) x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A.50 B．55 C．60 D．65 答案　C 解析?。剑?， ＝＝， 又＝8.5＋7.5＝50， 因此＝50，m＝60，故選C. 2．某校高三學生有3 000名，在一次模擬考試中數學成績X服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知P(800，故2009年至2015年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 將2019年的年份代號t＝11代入(1)中的線性回歸方程，得＝0.511＋2.3＝7.8， 故預測該地區(qū)2019年農村居民家庭人均純收入為7.8千元． 10．(2015福建)全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標．根據相關報道提供的全網傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數的數據，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數進行分組統(tǒng)計，結果如表所示. 組號 分組 頻數 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 (1)現從融合指數在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研，求至少有1家的融合指數在[7,8]內的概率； (2)根據分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數的平均數． 解　方法一　(1)融合指數在[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1，A2，A3；融合指數在[4,5)內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1，B2，從融合指數在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件是： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個． 其中，至少有1家融合指數在[7,8]內的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9個． 所以所求的概率P＝. (2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數平均數等于 4．5＋5.5＋6.5＋7.5＝6.05. 方法二　(1)融合指數在[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1，A2，A3；融合指數在[4,5)內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1，B2，從融合指數在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有的基本事件是： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個． 其中，沒有1家融合指數在[7,8]內的基本事件是：{B1，B2}，共1個． 所以所求的概率P＝1－＝. (2)同方法一． B組　能力提高 11．某學校課題組為了研究學生的數學成績和物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績(百分制)如下表所示： 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 數學成績 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 物理成績 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 序號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 數學成績 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成績 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86 若數學成績90分(含90分)以上為優(yōu)秀，物理成績85(含85分)以上為優(yōu)秀．有多少把握認為學生的數學成績與物理成績有關系(　　) A．99.9% B．99.5% C．97.5% D．95% 參考數據公式：①獨立性檢驗臨界值表 P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②獨立性檢驗隨機變量K2的值的計算公式：K2＝ 答案　B 解析　列出22的列聯表： 數學成績優(yōu)秀 數學成績不優(yōu)秀 總計 物理成績優(yōu)秀 5 2 7 物理成績不優(yōu)秀 1 12 13 總計 6 14 20 根據列聯表可以求得K2＝≈8.802>7.879，所以有99.5%把握認為學生的數學成績與物理成績有關系，故選B. 12．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________． 答案　10 解析　設5個班級中參加的人數分別為x1，x2，x3，x4，x5， 則由題意知樣本平均數為7， 且(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20， 5個整數的平方和為20，且樣本數據互不相同， 則必為0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4. 由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6. 由上可知參加的人數分別為4,6,7,8,10， 故最大值為10. 13．去年“十一”期間，昆曲高速公路車輛較多．某調查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后，得到如圖的頻率分布直方圖． (1)調查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法？ (2)求這40輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值； (3)若從這40輛車速在[60,70)的小型汽車中任意抽取2輛，求抽出的2輛車車速都在[65,70)的概率． 解　(1)系統(tǒng)抽樣． (2)眾數的估計值為最高的矩形的中點，即眾數的估計值為77.5； 由題圖可知，中位數應該在75～80之間，設為m， 則0.015＋0.025＋0.045＋0.06(m－75)＝0.5， m＝77.5， 即中位數的估計值為77.5. (3)這40輛車中，車速在[60,70)的共有 5(0.01＋0.02)40＝6(輛)， 其中車速在[65,70)的有50.0240＝4(輛)，記為A，B，C，D， 車速在[60,65)的有50.0140＝2(輛)，記為a，b. 若從車速在[60,70)的這6輛汽車中任意抽取2輛的可能結果有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，共15種不同的結果， 其中抽出的2輛車車速都在[65,70)的結果有6種， 因為抽到每種結果都是等可能的， 所以從這40輛車速在[60,70)的汽車中任意抽取2輛，抽出的2輛車車速都在[65,70)的概率為P＝＝.