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第1講 集合與常用邏輯用語
1．(2016課標全國乙改編)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝____________.
答案 {x|
0}＝，得A∩B＝＝{x|N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 (1)① (2)必要不充分
解析 (1)①當α⊥β時，n?β可以是平面內任意一直線，所以得不到m∥n.當m∥n時，m⊥α，所以n⊥α，從而α⊥β，故“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分條件，所以①正確．②log2x＝，log3x＝，因為lg 2，當x∈(0,1)時，<，即log2xM>N，不能推出log2M>log2N，所以不是充分條件，因為log2M>log2N，y＝log2x是增函數(shù)，所以M>N，故“M>N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的必要不充分條件．
思維升華 充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q? p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．
(2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．
(3)等價法：將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題．
跟蹤演練2 (1)下列四個結論中正確的個數(shù)是________．
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要條件；
②命題：“?x∈R，sin x≤1”的否定是“?x0∈R，sin x0>1”；
③“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為真命題；
④若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)＋f(log23)＝0.
(2) “a>1”是“(a＋1)x>2對x∈(1，＋∞)恒成立”的__________條件．(填“充分不必要、必要不充分、充要”)
答案 (1)1 (2)充分不必要
解析 (1)對于①，x2＋x－2>0?x>1或x<－2，故“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分條件，所以①錯誤；對于③，“若x＝，則tan x＝1”的逆命題為“若tan x＝1，則x＝”，∵tan x＝1推出的是x＝＋kπ，k∈Z，所以③錯誤．對于④，log32≠－log23，所以④錯誤．②正確．
(2)a>1時，a＋1>2，而x>1，因此(a＋1)x>2，既充分性成立；反之，a＝1時，(a＋1)x>2對x∈(1，＋∞)也恒成立，因此必要性不成立．
熱點三 邏輯聯(lián)結詞、量詞
1．命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題．
2．命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
3．“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”．
例3 (1)設p，q是兩個命題，如果綈(p∨q)是真命題，那么p是________命題，q是________命題．
(2)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命題“(綈p)∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
答案 (1)假 假 (2)(1，＋∞)
解析 (1)由綈(p∨q)是真命題可得p∨q是假命題，由真值表可得p是假命題且q是假命題．
(2)命題p為真時a≤1；“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”為真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q為真命題，即(綈p)真且q真，即a>1.
思維升華 (1)命題的否定和否命題是兩個不同的概念：命題的否定只否定命題的結論，真假與原命題相對立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構成．由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來思考，將問題轉化為集合間的運算．
跟蹤演練3 (1)已知命題p：存在x∈[1,2]，使得x2－a≥0，命題q：指數(shù)函數(shù)y＝(log2a)x是R上的增函數(shù)，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______．
(2)命題p：?b∈R，使直線y＝－x＋b是曲線y＝x3－3ax的切線．若綈p為真，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1) (2)(－∞，)
解析 (1)當p為真時，a≤x2在x∈上有解，所以a≤max＝4，當命題q為真時，應有l(wèi)og2a>1，所以a>2，由于命題“p且q ”是真命題，所以p，q都真，從而a∈.
(2)由y＝x3－3ax得y′＝3x2－3a≥－3a.因為命題“?b∈R使直線y＝－x＋b是曲線y＝x3－3ax的切線”是假命題，所以直線y＝－x＋b的斜率－1?[－3a，＋∞)，即－1<－3a，解得a<.
1．已知函數(shù)f(x)＝的定義域為M，g(x)＝ln(1＋x)的定義域為N，則M∪(?RN)＝____________.
押題依據(jù) 集合的運算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題．集合的運算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等知識相交匯．
答案 {x|x<1}
解析 M＝{x|1－x2>0}＝{x|－10}＝{x|x>－1}，
∴?RN＝{x|x≤－1}，
∴M∪(?RN)＝{x|－10，可知④錯誤．同理，可證得②和③都是正確的．
3．設φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
押題依據(jù) 充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點，該類問題必須以其他知識為載體，綜合考查數(shù)學概念．
答案 充分不必要
解析 當φ＝0時，f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x為偶函數(shù)成立；但當f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數(shù)時，φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝0時，必要性不成立．
4．給出下列四個命題，其中正確的命題的個數(shù)為________．
①函數(shù)y＝sin 2x＋cos 2x在x∈上的單調遞增區(qū)間是；
②a1，a2，b1，b2均為非零實數(shù)，集合A＝{x|a1x＋b1>0}，B＝{x|a2x＋b2>0}，則“＝”是“A＝B”的必要不充分條件；
③若p∨q為真命題，則p∧q也為真命題；
④命題?x0∈R，x＋x0＋1<0的否定為?x∈R，x2＋x＋1<0.
押題依據(jù) 常用邏輯用語中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯(lián)結詞是數(shù)學學習的重要工具，也是高考考查的熱點問題．
答案 2
解析?、賧＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，因此遞增區(qū)間是；
②充分性不成立，如a1＝1，b1＝1，a2＝－1＝b2，
滿足＝，但A＝{x|x＋1>0}＝(－1，＋∞)，B＝{x|－x－1>0}＝(－∞，－1)，A≠B；
必要性成立：A＝B?a1a2>0?－＝－?＝；
③p∨q為真命題時，p，q不一定全真，因此p∧q不一定為真命題；
④命題?x0∈R，x＋x0＋1<0的否定應為?x∈R，x2＋x＋1≥0.
所以①②為真．
A組 專題通關
1．已知集合A＝{2＋，a}，B＝{－1,1,3}，且A?B，則實數(shù)a的值是_________．
答案 1
解析 由題意得：或
?a＝1.
2．(教材改編)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，則(?UA)∩B＝________.
答案 {x|22}＝{x|x>3或x<－1}，
所以?UA＝{x|－1≤x≤3}，
集合B＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20，Δ＝16－4a2<0，解得a>2.
7．已知命題p：<1，命題q：(x＋a)(x－3)>0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
答案 (－∞，－1]
解析 由p：<1，得<0，－11”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cos x在R上單調遞增”的__________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 f(x)＝ax＋cos x在R上單調遞增?f′(x)＝a－sin x≥0在R上恒成立?a≥(sin x)max＝1，所以“a>1”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cos x在R上單調遞增”的充分不必要條件．
12．給出下列四個命題：
①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題；
②“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”；
③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題．
其中真命題的序號是________．
答案 ①④
解析 對于①，因命題“若α＝β，則cos α＝cos β”為真命題，
所以其逆否命題亦為真命題，故①正確；
對于②，命題“?x0∈R，使得x－x0>0”的否定應是：
“?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯；
對于③，因為由“x2＝4”得x＝2，
所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯；
對于④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確．
B組 能力提高
13．有下列命題：
①y＝coscos的圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②y＝的圖象關于點對稱；
③關于x的方程ax2－2ax－1＝0有且僅有一個實根，則a＝－1；
④命題p：對任意x∈R，都有sin x≤1；則綈p：存在x∈R，使得sin x>1.
其中真命題的序號是________．
答案?、邰?
解析 因為y＝coscos
＝coscos
＝－sincos
＝－sin＝cos 2x，
周期為π，所以其圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為，故①為假命題；由于y＝＝1＋，其圖象關于點對稱，故②為假命題；由于關于x的方程ax2－2ax－1＝0有且僅有一個實根，所以a≠0且2＋4a＝0，解得：a＝－1或a＝0(舍去)，故③為真命題；由于命題p：對任意x∈R，都有sin x≤1，因為全稱命題的否定是存在性命題，所以綈p：存在x∈R，使得sin x>1，故④為真命題．
14．已知圓C的方程為(x－1)2＋y2＝r2 (r>0)，若p：1≤r≤3；q：圓C上至多有3個點到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的__________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 由點到直線的距離公式，得圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離為2，故03時，圓上有4個點滿足．
15．給出以下四種說法，其中錯誤的是________．
①命題“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”的逆否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”；
②“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要條件；
③若“命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0”，則“綈p：?x0∈R，x＋x0＋1＝0”；
④若“p∨q”為真命題，則p，q均為真命題．
答案 ④
解析 對于若“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，∴④錯誤．
16．已知集合M＝，若3∈M,5?M，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)<0，
當a＝0時，顯然不成立，
當a>0時，原不等式可化為(x＋)<0，
若<，只需滿足
解得1≤a<；
若>，只需滿足
解得9
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