高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題8_3 立體幾何綜合問題試題 文（含解析）

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專題8.3 立體幾何綜合問題試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】平面過正文體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,,,則m,n所成角的正弦值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A ,則所成的角等于所成的角.延長,過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,故選A. 2. 【2016高考浙江文數(shù)】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90．沿直線AC將△ACD翻折成△，直線AC與所成角的余弦的最大值是______． 【答案】 3. 【2016高考北京文數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面， （I）求證：； （II）求證：； （III）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面?說明理由. 【解析】（I）因為平面，所以．又因為，所以平面． （II）因為，，所以．因為平面，所以．所以平面．所以平面平面． （III）棱上存在點(diǎn)，使得平面．證明如下：取中點(diǎn)，連結(jié)，，．又因為為的中點(diǎn)，所以．又因為平面，所以平面． 4. 【2016高考天津文數(shù)】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60，G為BC的中點(diǎn). (Ⅰ)求證：平面BED；(Ⅱ)求證：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值. 5. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】如圖,在已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G. （I）證明G是AB的中點(diǎn)； （II）在答題卡第（18）題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由）,并求四面體PDEF的體積． 6. 【2015高考浙江，文7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 【答案】C 【解析】由題可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，在空間中，滿足條件的繞旋轉(zhuǎn)形成一個圓錐，用一個與圓錐高成角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓.故選C. 7.【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且． （Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面； （Ⅱ）求三棱錐體積的最大值； （Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值． 解法二：（I）、（II）同解法一． 8.【2015高考四川，文18】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (Ⅰ)請按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說明理由) (Ⅱ)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論. (Ⅲ)證明：直線DF平面BEG A B F H E D C G C D E A B 【解析】(Ⅰ)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示 H G O E F B A D C 9.【2015高考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC. (Ⅰ)證明：AB平面PFE. (Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長. 【解析】如題(20)圖.由知，為等腰中邊的中點(diǎn)，故， 又平面平面，平面 平面，平面，，所以平面，從而.因. 從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面. (2)解：設(shè),則在直角中，.從而 由，知，得,故，即. 由,,從而四邊形DFBC的面積為 ，由(1)知，PE 平面，所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角中，,體積,故得，解得，由于，可得.所以或. 10. 【2014高考重慶文第20題】如題（20）圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，求四棱錐的體積. 11. 【2014高考全國1文第19題】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面. （1） 證明： （2） 若,求三棱柱的高. 12.【2014高考江西文第19題】如圖，三棱柱中，. （1）求證：； （2）若，問為何值時，三棱柱體積最大，并求此最大值. 【解析】（1）證明：由知,又,故平面即,又，所以（2）設(shè)在中同理在中, ，所以從而三棱柱的體積為因故當(dāng)時，即時，體積取到最大值 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對立體幾何的考查，主要考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力.線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點(diǎn)，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題沒涉及，而在小題中考查，直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的熱點(diǎn). 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、幾何體的體積，表面積，幾何體的高等是高考的熱點(diǎn)，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題以直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的熱點(diǎn)，故預(yù)測2017年高考，可能以錐體為幾何背景，第一問以線面垂直，面面垂直為主要考查點(diǎn)，第二問仍以求體積或表面積為主，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力． 復(fù)習(xí)建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 對立體幾何中的角與距離，主要以選擇題的方式進(jìn)行考查，而綜合性問題，主要在解答題中考查，一般第一問證明平行與垂直，第二問求體積，面積，或涉及一些探索性命題，難度不算太大，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力． 【考點(diǎn)1】空間角，距離的求法 【備考知識梳理】 1．空間的角 (1)異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角：如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是. (4)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 3.空間距離: （1）兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“”符號由實(shí)際情況選定）求距離. a b E F （2）點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到直線的距離為點(diǎn)Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可.常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. （1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角; ④補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. （2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. D B A C （3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上； ③兩個平面相互垂直，一個平面上的點(diǎn)在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下： （1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形. （2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法. （3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號由實(shí)際情況選定） 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當(dāng)扣分. ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. .【2016高考浙江文數(shù)】如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （I）求證：BF⊥平面ACFD； （II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值. 2. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研】如圖，垂直圓所在的平面，是圓上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為的重心，是圓的直徑，且． （1）求證：平面； （2）求到平面的距離． 【考點(diǎn)2】立體幾何綜合問題 【備考知識梳理】 空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點(diǎn).歸納起來常見的命題角度有： 1)以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明. 2)探索性問題中的平行與垂直問題. 3)折疊問題中的平行與垂直問題. 【規(guī)律方法技巧】 1. 證線面平行，一般都考慮采用以下兩種方法：第一，用線面平行的判定定理，第二用面面平行的性質(zhì)定理；2、證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；3、條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.比如本題中已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；4、在立體幾何的平行關(guān)系問題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個特殊點(diǎn)，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線；若是給出了一些比例關(guān)系，則通過比例關(guān)系證明線線平行.線線平行是平行關(guān)系的根本.5、在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 2. 探索性問題 探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算.探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點(diǎn)． 3．折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，弄清哪些角度和長度變了，哪些沒有變；哪些線共面，哪些線不共面，翻折后的線與原來的線有什么聯(lián)系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直線. 尤其是隱含著的垂直關(guān)系． 4．把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決.求角的三個基本步驟：“作”、“證”、“算”. （1）常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問題.] 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆寧夏高三三輪沖刺】如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設(shè)分別為中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn)，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？ 若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由． 又因為平面，平面，所以．又因為，所以平面平面，所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行． 2. 【2016屆四川南充高中高三4月模擬三】如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，將分別沿、折起， 使兩點(diǎn)重合于. (Ⅰ)求證：平面⊥平面； (Ⅱ)求四棱錐的體積. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．如何求線面角 （1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實(shí)際就是點(diǎn)面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. 2.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性問題 探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算. 4．在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤． 5．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化． 6．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． 二年模擬 1. 【2016屆吉林四平一中高三五模】如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ） A．平面，且直線到平面的距離為 B．平面，且直線到平面的距離為 C．不平行于平面，且到平面所成角大于 D．不平行于平面，且到平面所成角小于 【答案】D 2. 【2016屆黑龍江省哈爾濱六中高三下四?！咳鐖D，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線和所成角的大小為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：設(shè)，則，過作，則，過作，則即為為所求，如圖所示，過作，連接，則四邊形是梯形，其中，，過作，則，在中，，則，所以，故選A. 3. 【2016屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高考模擬一】在菱形中，，，將折起到的位置，若三棱錐的外接球的體積為，則二面角的正弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4. 【2016屆上海市七寶中學(xué)高三模擬】在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設(shè). （1）求的值； （2）求直線到平面的距離. 5. 【2016屆天津市和平區(qū)高三三?！咳鐖D所示的幾何體中,是正三角形, 且平面, 平面,是的中點(diǎn). （1）求證：； （2）若,求與平面所成角的正切值； （3）在（2）的條件下, 求點(diǎn)到平面的距離. 6.【2016屆湖北襄陽五中高三5月二?！咳鐖D，長方體中，，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，． （1）當(dāng)時，求證：平面； （2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時，求的值． 7. 【2016屆云南省師大附中高三適應(yīng)性月考八】如圖，在底面為菱形的四棱錐中，平面，為的中點(diǎn)，，. （1）求證：平面； （2）若三棱錐的體積為1，求點(diǎn)到平面的距離. 8. 【2016屆海南師大附中高三第九次月考】如圖，平面，矩形的邊長，為的中點(diǎn). （1）證明：； （2）如果異面直線與所成的角的大小為，求的長及點(diǎn)到平面的距離. 【解析】（1）連 接，由，得，同 理 得 ，，，由勾股定理得，平面，.又平面. （2）取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連,的大小等于異面直線與所成的角或其補(bǔ)角的大小，即或(或者由觀察可知，，不需分類討論)，設(shè)，則，若，由 9.【2016屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高考模擬一】如圖甲，圓的直徑，圓上兩點(diǎn)在直徑的兩側(cè)，使，，沿直徑折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），為的中點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題： （1）求點(diǎn)到平面的距離； （2）如圖：若的平分線交弧于一點(diǎn)，試判斷是否與平面平行？并說明理由. 【解析】（1）點(diǎn)到面的距離為. （2）面，理由如下：連結(jié)，則中，分別為的中點(diǎn)，∴，又∵面，面，∴面，∵是的平分線，且，令交于，則是的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又∵面，面，∴面，且，面，∴面面.又面，∴面. 10. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知中，，將沿折起，使 變到，使平面平面． （1）試在線段上確定一點(diǎn)，使平面； （2）試求三棱錐的外接球的半徑與三棱錐的表面積． （2）由（1）可知，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，可知，，∴．三棱錐的表面積為． 11. 【浙江省效實(shí)中學(xué)2015屆高三上學(xué)期期中考試】異面直線所成的角為，過空間中定點(diǎn)，與都成角的直線有四條，則的取值范圍是 ． 【答案】 12.【河南省開封市2015屆高三上學(xué)期定位考試模擬】三棱柱側(cè)棱與底面垂直，體積為，高為，底面是正三角形，若是中心，則與平面所成的角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可設(shè)底面三角形的邊長為，則由棱柱體積公式得，解得，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)為底面的中心，所以，而，所以，又，所以.故正確答案為B. 13. 【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】如圖1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)． (1)求證：DE⊥平面BCD； (2)在圖2中，若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐BDEG的體積． 14. 【2015屆江蘇省揚(yáng)州市高三第四次調(diào)研】如圖，三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，是的中心． （1）若，求證； （2）若上存在點(diǎn)，使平面，求的值． 15. 【2015屆北京市西城區(qū)高三二?！咳鐖D，在四棱錐中，，平面，平面，，，． （1）求棱錐的體積； （2）求證：平面平面； （3）在線段上是否存在一點(diǎn),使平面？若存在,求出的值；若不存在，說明理由． 【解析】（1）在中，，∵平面，∴棱錐的體積為； 拓展試題以及解析 1.已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求. 【解析】（Ⅰ）平面，平面，又等邊三角形中, ，平面，平面，， 取CE 的中點(diǎn)M，連接BM,MF，則MF為△CDE 的中位線，故,所以四邊形ABMF為平行四邊形，即MB//AF, 平面，平面，， . （Ⅱ）因為平面，平面，所以//DE，故//平面DCE，h等于d，由體積相等得, ,，解得. 【入選理由】本題考查線面平行、面面垂直的證明，點(diǎn)到平面距離等基礎(chǔ)知識，意在考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，本題比較傳統(tǒng),是高考考試的方向，有一定的綜合性，難度適中，故選此題． 2．如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，且AA1=3，為的中點(diǎn)，在線段上,設(shè)（），設(shè)． （Ⅰ）當(dāng)取何值時，平面； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求四面體的體積． （Ⅱ）由已知得，因為，，故，由（Ⅰ）得平面，故，故的體積為． 【入選理由】本題考查直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、錐體的體積公式，探索性命題等基礎(chǔ)知識，意在考查空間想象能力，推理論證能力,運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題通過建立方程，求出參數(shù)值,是探索性命題中比較簡單，這符合高考在立體幾何中考查方向，故選此題． 3.如圖，三棱錐中，平面，，點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)． （I）求證：平面； （Ⅱ）是線段上的點(diǎn)，且平面. ①確定點(diǎn)的位置； ②求直線與平面所成角的正切值． ②作于，則，∴平面，∴是直線與平面所成的角.∵， ∴，又，∴，即直線與平面所成角的正切值為. 【入選理由】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)定理以及線面角的求解，探索性命題等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題探索點(diǎn)位置,這是立體幾何常考題型,且難度適中，故選此題． 4.如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=60，點(diǎn)F在斜邊AB上，且AB=4AF，D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點(diǎn)，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4. (Ⅰ)求證：CD⊥EF； (Ⅱ)若點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面EFC的距離. 【入選理由】本題主要考查空間線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計算等基礎(chǔ)知識，意在考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，本題是一個常規(guī)題，今年全國卷加大對空間角的考查，難度適中，故選此題． 5. 如圖所示，在邊長為12的正方形 中，點(diǎn)在線段上，且,作 ，分別交于點(diǎn)， .作，分別交于點(diǎn)，.將該正方形沿折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖的三棱柱. （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積. 【入選理由】本題考查直線和平面垂直,折疊問題,幾何體體積等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力和基本的運(yùn)算能力．折疊問題是高考常考問題,每過幾年都要涉及，故選此題．