高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 文
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第3講 平面向量 1.(2016課標(biāo)全國(guó)丙改編)已知向量=,=,則∠ABC=________. 答案 30 解析 ∵||=1,||=1, cos∠ABC==,∴∠ABC=30. 2.(2016山東改編)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為______. 答案?。? 解析 ∵n⊥(tm+n),∴n(tm+n)=0,即tmn+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0,由已知得t|n|2+|n|2=0,解得t=-4. 3.(2016天津改編)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則的值為________. 答案 解析 如圖所示,=+. 又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 且DE=2EF,所以=, =+=+ ==, 所以=+.又=-, 則=(-) =-2+2- =2-2-. 又||=||=1,∠BAC=60, 故=--11=. 4.(2016浙江)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|≤,則ab的最大值是________. 答案 解析 由已知可得: ≥|ae|+|be|≥|ae+be|=|(a+b)e|, 由于上式對(duì)任意單位向量e都成立. ∴≥|a+b|成立. ∴6≥(a+b)2=a2+b2+2ab=12+22+2ab. 即6≥5+2ab,∴ab≤. 1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算,多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查,多為填空題,難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積,以填空題為主,難度低;向量作為工具,還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合,以解答題形式出現(xiàn). 熱點(diǎn)一 平面向量的線性運(yùn)算 1.在平面向量的化簡(jiǎn)或運(yùn)算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化. 2.在用三角形加法法則時(shí),要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所得的向量;在用三角形減法法則時(shí),要保證“同起點(diǎn)”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量. 例1 (1)設(shè)0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,則tan θ=______. (2)如圖,在△ABC中,已知=2,以向量,向量作為基底,則向量可表示為____________. 答案 (1) (2)+ 解析 (1)因?yàn)閍∥b, 所以sin 2θ=cos2θ,即2sin θcos θ=cos2θ. 因?yàn)?<θ<,所以cos θ>0, 得2sin θ=cos θ,tan θ=. (2)根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則及已知圖形可知=+=+=+(+)=+. 思維升華 (1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算,要先選擇一組基底;同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用.(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系. 跟蹤演練1 (1)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),那么以向量和向量為基底,向量可表示為__________. (2)如圖,在正方形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ的值為________. 答案 (1)- (2) 解析 (1)在△CEF中,有=+. 因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn),所以=. 因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn),所以=. 所以=+=+=-. (2)因?yàn)镋為DC的中點(diǎn),所以=+=++=+,即=-+, 所以λ=-,μ=1,所以λ+μ=. 熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積 1.?dāng)?shù)量積的定義:ab=|a||b|cos θ. 2.三個(gè)結(jié)論 (1)若a=(x,y),則|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 ||=. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角, 則cos θ==. 例2 (1)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若=,則的值是________. (2)若b=,|a|=2|b|,且(a+b)b=-2,則向量a,b的夾角為________. 答案 (1) (2) 解析 (1)以A為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系, 可得A(0,0),B(,0),E(,1),F(xiàn)(x,2), ∴=(,0),=(x,2), ∴=x=, 解得x=1,∴F(1,2). ∴=(,1),=(1-,2), ∴=(1-)+12=. (2)b2=cos2+cos2=cos2+sin2=1, 所以|b|=1,|a|=2. 由(a+b)b=-2,可得ab+b2=-2, 故ab=-,故cos〈a,b〉===-. 又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=. 思維升華 (1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法:數(shù)量積的定義,坐標(biāo)運(yùn)算,數(shù)量積的幾何意義;(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角,向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算. 跟蹤演練2 (1)已知點(diǎn)A,B,C,D在邊長(zhǎng)為1的方格點(diǎn)圖的位置如圖所示,則向量在方向上的投影為________. (2)如圖,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=,=2,則的值為________. 答案 (1)- (2)-2 解析 (1)不妨以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,易得=(-2,3),=(4,2),所以向量在方向上的投影為==-. (2)=(+)=(+) =[+(-)]=(+)(-) =-2++2 =-6+1+3=-2. 熱點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù) 平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運(yùn)算作為題目條件. 例3 已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sin xcos x(x∈R). (1)當(dāng)x∈[0,)時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量m=(1,sin A)與向量n=(2,sin B)共線,求a,b的值. 解 (1)f(x)=2cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+1=2sin(2x+)+1, 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 因?yàn)閤∈[0,), 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,]. (2)由f(C)=2sin(2C+)+1=2, 得sin(2C+)=, 而C∈(0,π),所以2C+∈(,), 所以2C+=π,解得C=. 因?yàn)橄蛄縨=(1,sin A)與向量n=(2,sin B)共線, 所以=. 由正弦定理得=,① 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos, 即a2+b2-ab=9.② 聯(lián)立①②,解得a=,b=2. 思維升華 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中,一方面用平面向量的語(yǔ)言表述三角函數(shù)中的問題,如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系,利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等;另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問題,在解決此類問題的過程中,只要根據(jù)題目的具體要求,在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系,就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問題. 跟蹤演練3 已知△ABC是銳角三角形,向量m= ,n=,且m⊥n. (1)求A-B的值; (2)若cos B=,AC=8,求BC的長(zhǎng). 解 (1)因?yàn)閙⊥n, 所以mn=coscos B+sinsin B =cos=0, 又A,B∈, 所以∈, 所以A+-B=,即A-B=. (2)因?yàn)閏os B=,B∈,所以sin B=, 所以sin A=sin=sin Bcos+cos Bsin =+=, 由正弦定理,得BC=AC=8=4+3. 1.如圖,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,BC邊上的中線AM交DE于N,設(shè)=a,=b,用a,b表示向量,則=____________. 押題依據(jù) 平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù),而向量表示(用基底或坐標(biāo))是向量應(yīng)用的基礎(chǔ). 答案 (a+b) 解析 因?yàn)镈E∥BC,所以DN∥BM, 則△AND∽△AMB,所以=. 因?yàn)椋?,所以? 因?yàn)镸為BC的中點(diǎn), 所以=(+)=(a+b), 所以==(a+b). 2.如圖,BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,=2,則=________. 押題依據(jù) 數(shù)量積是平面向量最重要的概念,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考的必考內(nèi)容,和平面幾何知識(shí)的結(jié)合是向量考查的常見形式. 答案?。? 解析 ∵=2,圓O的半徑為1,∴||=, ∴=(+)(+)=2+(+)+=()2+0-1=-. 3.在△ABC中,=(cos 32,cos 58),=(sin 60sin 118,sin 120sin 208),則△ABC的面積為________. 押題依據(jù) 平面向量作為數(shù)學(xué)解題工具,通過向量的運(yùn)算給出條件解決三角函數(shù)問題已成為近幾年高考的熱點(diǎn). 答案 解析 ||= ==1, =, 所以||= =. 則=cos 32cos 28-sin 32sin 28 =(cos 32cos 28-sin 32sin 28) =cos(32+28)=cos 60=, 故cos〈,〉===. 又〈,〉∈[0,180],所以〈,〉=60, 故B=180-〈,〉=180-60=120. 故△ABC的面積為 S=||||sin B =1sin 120=. 4.如圖,在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60,C為弧上的動(dòng)點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則的最小值是_______________________________________. 押題依據(jù) 本題將向量與平面幾何、最值問題等有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)了高考在知識(shí)交匯點(diǎn)命題的方向,本題解法靈活,難度適中. 答案 - 解析 因?yàn)椋剑?,所以?+)=+2.又因?yàn)椤螦OB=60,OA=OB, 所以∠OBA=60,OB=1.所以=||cos 120=-||,所以=-||+||2=(||-)2-≥-,當(dāng)且僅當(dāng)||=時(shí),取得最小值-. A組 專題通關(guān) 1.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若=2,=+λ,則λ=________. 答案 解析 在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn), ∵=2,=+λ,∴=+=+=+(-)=+,∴λ=. 2.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是________. ①|(zhì)b|=1; ②a⊥b; ③ab=1; ④(4a+b)⊥. 答案?、? 解析 在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b, 得|b|=2. 又|a|=1,所以ab=|a||b|cos 120=-1, 所以(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2 =4(-1)+4=0, 所以(4a+b)⊥. 3.在等腰△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,=2,=3,則=________. 答案?。? 解析 由已知得到=(+)(+)=-2+++2,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90,AB=AC=2,所以=-22+0+0+22=-. 4.(2016天津薊縣期中)已知向量a,b滿足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為________. 答案 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,∵(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,∴1+ab-8=-6, ∴ab=1=|a||b|cos θ,∴cos θ=, 又∵θ∈[0,π],∴θ=. 5.(2016安徽江淮十校第二次聯(lián)考)已知平面向量a、b(a≠0,a≠b)滿足|a|=3,且b與b-a的夾角為30,則|b|的最大值為________. 答案 6 解析 令=a,=b,則b-a=-=,如圖,∵b與b-a的夾角為30,∴∠OBA=30, ∵|a|=||=3,∴由正弦定理=得,|b|=||=6sin∠OAB≤6. 6.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c方向上的投影相等,且(c-a)(c-b)=-,則向量c的坐標(biāo)為________. 答案 (,) 解析 設(shè)c=(x,y),根據(jù)題意有 解得 7.設(shè)向量=(5+cos θ,4+sin θ),=(2,0),則||的取值范圍是________. 答案 [4,6] 解析 ∵=-=(-3-cos θ,-4-sin θ), ∴||2=(-3-cos θ)2+(-4-sin θ)2 =6cos θ+8sin θ+26=10sin(θ+φ)+26, 其中tan φ=, ∴16≤||2≤36,∴4≤||≤6. 8.設(shè)向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定義一種向量積a?b=(a1b1,a2b2),已知向量m=(2,),n=(,0),點(diǎn)P(x,y)在y=sin x的圖象上運(yùn)動(dòng),Q是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn),且滿足=m?+n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)y=f(x)的值域是________. 答案 [-,] 解析 令Q(c,d),由新的運(yùn)算可得=m?+n=(2x,sin x)+(,0)=(2x+,sin x), ∴消去x得d=sin(c-), ∴y=f(x)=sin(x-),易知y=f(x)的值域是[-,]. 9.設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,]. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得4sin2x=1. 又x∈[0,],從而sin x=,所以x=. (2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x =sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+, 當(dāng)x=∈[0,]時(shí),sin(2x-)取最大值1, 所以f(x)的最大值為. 10.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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