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專題02 不等式與線性規(guī)劃
1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( )
(A) (B)6 (C)10 (D)17
【答案】B
【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部,其中,直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6,選B.
3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x,y滿足則的最大值是( )
(A)4 (B)9 (C)10 (D)12
【答案】C
【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值為,故選C.
4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域
中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則│AB│=( )
A.2 B.4 C.3 D.
【答案】C
5.【2016年高考北京理數(shù)】若,滿足,則的最大值為( )
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如圖可行域,則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值,而,∴所求最大值為4,故選C.
6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p:實(shí)數(shù)x,y滿足,q:實(shí)數(shù)x,y滿足 則p是q的( )
(A)必要不充分條件 (B)充分不必要條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】畫出可行域(如圖所示),可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi),故選A.
7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_____________.
【答案】
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.由圖知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),z取得最大值.由 得 ,即,則.
8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.
【答案】
【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么
①
目標(biāo)函數(shù).
二元一次不等式組①等價(jià)于
②
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域(如圖),即可行域.
將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí), 取得最大值.
解方程組,得的坐標(biāo).
所以當(dāng),時(shí),.
故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為元.
9.【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿足 ,則的取值范圍是 ▲ .
【答案】
【解析】由圖知原點(diǎn)到直線距離平方為最小值,為,原點(diǎn)到點(diǎn)距離平方為最大值,為,因此取值范圍為
易錯起源1、不等式的解法
例1、(1)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)
0的解集為( )
A.{x|x<-1或x>-lg2}
B.{x|-1-lg2}
D.{x|x<-lg2}
答案 (1)9 (2)D
【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=________.
(2)不等式2<4的解集為________.
答案 (1) (2)(-1,2)
解析 (1)由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因?yàn)閍>0,所以不等式的解集為(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.
(2)∵2<4=22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-10(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集.
2.簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式,可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
易錯起源2、基本不等式的應(yīng)用
例2、(1)已知向量a=(m,2),b=(1,n-1),若a⊥b,則2m+4n的最小值為( )
A.2 B.2
C.4 D.8
(2)設(shè)實(shí)數(shù)m,n滿足m>0,n<0,且+=1,則4m+n( )
A.有最小值9 B.有最大值9
C.有最大值1 D.有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因?yàn)橄蛄縜=(m,2),b=(1,n-1),a⊥b,
所以m+2(n-1)=0,即m+2n=2.
所以2m+4n≥2=2=2=4 (當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號成立),
所以2m+4n的最小值為4,故選C.
【變式探究】(1)若正數(shù)a,b滿足a+b=1,則+的最大值為________.
(2)若圓(x-2)2+(y-2)2=9上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax+by-2=0(a>0,b>0)對稱,則+的最小值為__________.
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正數(shù)a,b滿足a+b=1,
∴+=
=
===2-
≤2-=2-=,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號,
∴+的最大值為.
(2)圓(x-2)2+(y-2)2=9的圓心坐標(biāo)為(2,2),
由已知得直線ax+by-2=0必經(jīng)過圓心(2,2),即a+b=1.
所以+=(+)(a+b)=10++≥10+2=16(當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時(shí)等號成立),所以+的最小值為16.
【名師點(diǎn)睛】
在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.
【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】
利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法則是:(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值2(簡記為:積定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值s2(簡記為:和定,積有最大值).
易錯起源3、簡單的線性規(guī)劃問題
例3、(1)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值與最小值之和為( )
A.-2 B.14
C.-6 D.2
(2)若變量x, y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)z=-kx+y當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)根據(jù)x,y的約束條件畫出可行域,如圖陰影部分所示,其中A,B(6,0),C(0,4).
由z=x+2y可知,當(dāng)直線y=-x+過點(diǎn)A時(shí),z取最小值,即zmin=-+2=-10;當(dāng)直線y=-x+過點(diǎn)C時(shí),z取最大值,即zmax=0+24=8,∴zmin+zmax=-2.故選A.
(2)由題意知不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC及其內(nèi)部,其中A(3,1),B(4,2),C(1,2).將目標(biāo)函數(shù)變形得y=kx+z,當(dāng)z取得最小值時(shí),直線的縱截距最小.由于直線當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時(shí)縱截距最小,結(jié)合動直線y=kx+z繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析,知-b,則下列不等式中恒成立的是( )
A.lna>lnb B.<
C.a(chǎn)2>ab D.a(chǎn)2+b2>2ab
答案 D
解析 只有當(dāng)a>b>0時(shí)A成立;只有當(dāng)a,b同號時(shí)B成立;只有當(dāng)a>0時(shí)C成立;因?yàn)閍≠b,所以D恒成立,故選D.
2.若函數(shù)f(x)=則“00時(shí),由log3x≥1可得x≥3,
當(dāng)x≤0時(shí),由()x≥1可得x≤0,
∴不等式f(x)≥1的解集為(-∞,0]∪[3,+∞).
8.要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是________元.
答案 160
9.已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (-4,2)
解析 由題意可得m2+2m應(yīng)小于+的最小值,所以由基本不等式可得+≥2=8,
所以m2+2m<8?-40},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B,求集合D.(用區(qū)間表示)
解 令g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,
其對稱軸方程為x=(1+a),
Δ=9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3a-1)(a-3).
①當(dāng)00,g(0)=6a>0,
方程g(x)=0的兩個(gè)根分別為
00恒成立,
所以D=A∩B=(0,+∞).
綜上所述,當(dāng)0
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高考數(shù)學(xué)四海八荒易錯集專題02
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