中考數(shù)學(xué) 幾何復(fù)習(xí) 第七章 圓 第36課時 畫正多邊形（一）教案

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第七章：圓 第36課時：畫正多邊形(一) 教學(xué)目標(biāo)： 1、使學(xué)生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形． 2、使學(xué)生會用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，在這個基礎(chǔ)上能作圓內(nèi)接正八邊形、正三角形、正十二邊形． 3、通過畫圖培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力； 4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、遷移能力． 5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力． 教學(xué)重點： (1)用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形；(2)用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形． 教學(xué)難點： 準(zhǔn)確作圖． 教學(xué)過程： 一、新課引入： 前幾課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)、判定，尤其學(xué)習(xí)了正多邊形與圓關(guān)系的兩個定理，而后我們又學(xué)習(xí)了正多邊形的有關(guān)計算，本堂課我們一起學(xué)習(xí)畫正多邊形． 二、新課講解： 由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實際中有廣泛的應(yīng)用性，所以會畫正多邊形應(yīng)是學(xué)生必備能力之一，前面已學(xué)習(xí)了正多邊形和圓的關(guān)系的第一個定理，即把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑R或內(nèi)切圓半徑rn，畫出圓來，然后n等分圓周就能畫出所需的正n邊形． n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學(xué)，它是一種常用的方法．其根據(jù)是因為相等的圓心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達(dá)到把圓任意等分的目的，由于學(xué)生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據(jù)，讓學(xué)生動手操作即可． 另一種方法是用尺規(guī)等分圓周法，其實質(zhì)也是等分圓心角，但尺規(guī)不能任意等分圓，只適用于一些特殊情況，其中重點是正方形和正六邊形的作法，這是因為正八邊形、正三角形、正十二邊形都是由此作基礎(chǔ)而畫出來的． 由于尺規(guī)作圖在理論上準(zhǔn)確，但在實際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨于準(zhǔn)確？這是一個鍛煉學(xué)生解決問題的好時機，應(yīng)讓學(xué)生親手實驗、觀察對比，從而得出結(jié)論． (三)重點、難點的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程 復(fù)習(xí)提問：1．哪位同學(xué)記得正多邊形與圓關(guān)系的第一個定理？(安排中下生回答)2．哪位同學(xué)記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等) 現(xiàn)在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關(guān)系的第一個定理中，你有什么啟發(fā)？(安排學(xué)生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結(jié)n個等分點就得正n邊形)那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復(fù)習(xí)的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大家相互間討論．(安排中等生回答：把360的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看．(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然后把360的圓心角9等份，每一份40)，用什么工具可得到40角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內(nèi)接正九邊形． 學(xué)生在畫圖實踐中必然出現(xiàn)兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準(zhǔn)確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個40的圓心角，然后在圓上依次截取40圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的9等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大．對此學(xué)生必然迷惑不解，在此教師應(yīng)肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準(zhǔn)確的原因是由于誤差積累的結(jié)果，然后引導(dǎo)學(xué)生討論，研究減小誤差積累的二個途徑：其一，調(diào)整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡可能準(zhǔn)確的等于所畫正九邊形的邊長．其二，若有可能，盡可能減少操作次數(shù)，減少產(chǎn)生誤差的機會． 大家想想如何畫一個半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90的圓心角．)畫出∠AOB=90后，方法1，可依次作90圓心角；方法2，用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將AO與BO邊延長交⊙O于C、D)．正方形一邊所對的圓心角是90角，不用量角器用尺規(guī)能不能做出90的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑) 請同學(xué)們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形． 大家想想看，借助這個圖形，能否作出⊙O的內(nèi)接正八邊形？同學(xué)們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心O作正方形各邊的垂線與圓相交即得⊙O的八等分點)為什么？根據(jù)什么定理？(安排中上等生回答：垂徑定理) 還有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分線．) 請同學(xué)們用此二法在圖上畫出正八邊形． 照此方法，同學(xué)們想想看，你還能畫出邊數(shù)為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等) 綜上所述及同學(xué)們的畫圖實踐可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形…… 大家再思考一個問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論． 方法1．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫60的圓心角，依次畫下去即六等分圓周． 方法2．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫出60的圓心角， 如果有同學(xué)想到方法3更好，若無則提示學(xué)生：前面在研究正多邊形的有關(guān)計算時，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什么樣的數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學(xué)可不用量角器，僅用尺規(guī)作出半徑2cm的圓內(nèi)接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其余在下面畫圖) 在學(xué)生畫圖完畢后展示兩種不同的畫法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于誤差積累AB≠FA，其二，首先畫出⊙O的直徑AD，然后分別以A、D為圓心，2cm長為半徑畫弧交⊙O于B、F、C、E．畫出圖形比較準(zhǔn)確． 請同學(xué)們用第二種方法畫半徑3cm的圓內(nèi)接正六邊形(安排學(xué)生在練習(xí)本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學(xué)們想想看，會畫正六邊形就應(yīng)會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形…)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫． 大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形) 畫半徑為2cm的正三角形，尺規(guī)作圖時必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學(xué)有好方法？(安排舉手同學(xué)回答：畫出⊙O直徑AB，以A為圓心，2cm為半徑畫弧交⊙O于C、D，連結(jié)B、D、C即可) 請同學(xué)們按此法畫半徑為2cm的正三角形． 請同學(xué)們思考一下如何用尺規(guī)畫半徑為2cm的正十二邊形？ 在學(xué)生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然后分別以直徑的四個端點為圓心2cm長為半徑畫弧，交⊙O的各點即得⊙O的12等分點．引導(dǎo)學(xué)生觀察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90，∠EOB=60∴∠DOE=30． ∴ DE是⊙O內(nèi)接正12邊形一邊． 三、課堂小結(jié)： 這堂課你學(xué)了哪些知識？(安排中等生回答：1．用量角器等分圓周作正n邊形；2．用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形) 四、布置作業(yè) 教材P.168中練習(xí)1、2；P.173中13．