中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十七章 圖形的全等與相似
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專題七 圖形與證明 第十七章 圖形的全等與相似 考 情 分 析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.命題 ★ 6~9分 2.全等三角形的判定和性質(zhì) ★★★ 3.角平分線的性質(zhì)定理及逆定理 ★ 4.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理 ★★ 5.等腰三角形中“三線合一”及“等邊對(duì)等角” ★★ 6.等邊三角形的性質(zhì) ★ 7.平行線分線段成比例 ★ 8.相似三角形的判定和性質(zhì) ★★★ 知能圖譜 第38講 命題與證明 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)命題的概念及組成 (1)命題:判斷一件事情的語句叫作命題。 (2)命題的組成:命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫成“如果……那么……”的形式,“如果”后面的部分是題設(shè),“那么”后面的部分是結(jié)論。 注意 (1)命題必須是一個(gè)完整的句子,是對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷。 (2)如果命題的題設(shè)和結(jié)論不那么明確,我們可以先把它改寫成“如果……那么……”的形式,再找題設(shè)和結(jié)論。 知能解讀(二)真命題與假命題 1真命題 如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立,這樣的命題叫作真命題。 2假命題 題設(shè)成立時(shí),不能保證結(jié)論一定成立,這樣的命題叫作假命題。 注意 要判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉一個(gè)反例,即舉一個(gè)例子具備命題的題設(shè),而不具備命題的結(jié)論即可。 知能解讀(三)基本事實(shí)與定理 1基本事實(shí) 如果—個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的,并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫基本事實(shí)。 例如:“經(jīng)過兩點(diǎn),有且只有一條直線”“兩點(diǎn)之間線段最短”等。 2定理 命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的,這樣得到的真命題叫作定理。定理可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。 知能解讀(四)定義、基本事實(shí)、定理、命題之間的區(qū)別和聯(lián)系 (1)聯(lián)系:這四者都是命題。 (2)區(qū)別:定義、基本事實(shí)、定理都是真命題,都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù),只不過基本事實(shí)是最原始的依據(jù),而命題不一定是真命題,因而它不能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)。 知能解讀(五)互逆命題與互逆定理 (1)互逆命題:在兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè),那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫原命題,那么另一個(gè)命題就叫它的逆命題。 (2)互逆定理:如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,稱這兩個(gè)定理互為逆定理,其中—個(gè)定理叫作另—個(gè)定理的逆定理。 注意 每個(gè)命題都有逆命題,但每個(gè)定理不一定都有逆定理,只有當(dāng)定理的逆命題也是真命題時(shí),這個(gè)定理才有逆定理。 知能解讀(六)證明的含義及證明的一般步驟 (1)定義:在很多情況下,一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理,才能作出判斷,這個(gè)推理過程叫作證明。 (2)證明的一般步驟: ①仔細(xì)讀題,領(lǐng)會(huì)題意,分清命題的題設(shè)和結(jié)論; ②根據(jù)題意,畫出正確的圖形,并在圖上標(biāo)注字母和符號(hào); ③根據(jù)題設(shè)、結(jié)論,結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出“已知”“求證”; ④縫過分析,探求解題的途徑,書寫出推理過程,并注明依據(jù)。 知能解讀(七)幾種證明題的思維方法(拓展) 1直接證法 (1)綜合法:從已知條件入手,運(yùn)用已學(xué)過的基本事實(shí)、定義、定理等進(jìn)行一步步的推理,一直推到結(jié)論為止,這種思維方法叫綜合法。它是從已知到可知,從可知到未知的思維過程。 (2)分析法:所謂分析法,就是從問題的結(jié)論入手,運(yùn)用已學(xué)過的基本事實(shí)、定義和定理,一步步尋找使結(jié)論成立的條件,一直“追”到這個(gè)結(jié)論成立的條件就是已知條件為止。可見分析法是執(zhí)果索因的思維過程,它與綜合法的思維方向相反。 (3)分析綜合法:把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來,從問題的兩頭向中間“靠攏”,從而發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口,這種思維方法叫分析綜合法。對(duì)于比較復(fù)雜的題目,往往采用這種思維方法。 2間接證法 (1)反證法:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立,這種方法叫作反證法。 用反證法證明的一般步驟: ①假設(shè)命題的結(jié)論不成立; ②由假設(shè)推導(dǎo)出矛盾(與基本事實(shí)、定理、定義、已知條件等矛盾); ③由矛盾判定所作假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立。 (2)反例法:判斷一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)例子(反例),它符合命題的題設(shè),但不滿足結(jié)論就可以了。 方法技巧歸納 方法技巧(一)命題的識(shí)別法 判斷語句是否為命題要抓住兩條:(1)命題必須是一個(gè)完整的帶有判斷性語氣的句子,通常是陳述句(包括肯定句和否定句),而疑問句和命令性語句都不是命題;(2)命題必須對(duì)某件事作出肯定或者否定的判斷。 注意 只有對(duì)一件事情作出肯定或否定判斷的語句,才是命題。如果一個(gè)句子既沒有肯定什么,也沒有否定什么,那么它一定不是命題。 方法技巧(二)命題的題設(shè)與結(jié)論的識(shí)別法 如果是用“如果……那么……”的形式表示的命題,那么以“如果”開始的部分是題設(shè),以“那么”開始的部分是結(jié)論;如果不是用“如果……那么……”的形式表示的命題,那么一般先將其改寫成“如果……那么……”的形式,再找題設(shè)和結(jié)論。 點(diǎn)撥 準(zhǔn)確地把命題改寫為“如果……那么……”的形式,對(duì)找命題的題設(shè)與結(jié)論有很大幫助。 方法技巧(三)識(shí)別真、假命題的方法 首先應(yīng)掌握一些公式、性質(zhì)、判定等,這些都是真命題,另外有些命題要通過分析判斷真假。要證明一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)反例即可。 點(diǎn)撥 舉反例是說明命題是假命題的重要方法。 方法技巧(四)找一個(gè)命題的逆命題的方法 首先找出原命題的題設(shè)與結(jié)論,然后把題設(shè)與結(jié)論互換就可以找到其逆命題。 點(diǎn)撥 一個(gè)命題一定有逆命題,但當(dāng)原命題是真命題時(shí),其逆命題不一定是真命題。 方法技巧(五)用反證法證明命題的方法 反證法一般從結(jié)論的反面出發(fā),先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過推理得出矛盾,從而肯定原結(jié)論正確。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.逆命題與逆定理。 區(qū)別:所有的命題都有逆命題,當(dāng)然真命題也不例外,但由于真命題的逆命題不一定是真命題,因此不是所有的定理都有逆定理。 2.反證法與舉反例。 區(qū)別:反證法是從結(jié)論的反面證明命題正確的方法,而舉反例是說明命題為假命題的方法。 易混易錯(cuò)(一)命題的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分不準(zhǔn)確致錯(cuò) 易混易錯(cuò)(二)用反證法證題時(shí),結(jié)論反面找錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 證明題是中考中必不可少的部分,占分較多,涉及直線、三角形、四邊形、圓等各章知識(shí),題型有說理題、探究開放題等,對(duì)于命題、概念的考查主要以填空題、選擇題為主。 中考試題(一)反證法的應(yīng)用 中考試題(二)真、假命題的判斷 第39講 全等三角形 知能解讀(一)全等形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形。 知能解讀(二)全等三角形 1全等三角形的概念及表示方法 (1)概念:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形。 把兩個(gè)全等的三角形重合到一起,重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊,重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。 (2)全等三角形的符號(hào)表示、讀法:與全等,記作,“”讀作“全等于”。 注意 (1)記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。 (2)找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的幾種常用方法: ①全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。 ②全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。 ③有公共邊的,公共邊是對(duì)應(yīng)邊。 ④有公共角的,公共角是對(duì)應(yīng)角。 ⑤有對(duì)頂角的,對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角。 ⑥兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角),一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)。 ⑦由全等三角形的表示方法確定對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角,如:若,則AB和DE,AC和DF,BC和EF分別是對(duì)應(yīng)邊;和,和,和分別是對(duì)應(yīng)角。 2全等三角形的性質(zhì) (1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等。(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等。(3)全等三角形的周長相等,面積相等。 3三角形全等的判定方法 (1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡寫成“邊邊邊”或“SSS"(基本事實(shí)); (2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡寫成“邊角邊”或“SAS’(基本事實(shí)); (3)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡寫成“角邊角”或“ASA’(基本事實(shí)); (4)兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡寫成“角角邊”或“AAS"; (5)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等,簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。 注意 “SSA”“AAA’不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與。非直角三角形中,如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角。 4三角形全等的證題思路 (1) (2) (3) 5全等變換(拓展) 一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣,大小相等,只是位置不同,我們稱這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換。三種基本全等變換:(1)旋轉(zhuǎn);(2)翻轉(zhuǎn);(3)平移。 知能解讀(三)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理 (1)性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 注意 (1)定理作用:①證明線段相等;②為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。 (2)如圖所示,點(diǎn)P在的平分線上,于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,則。 (3)性質(zhì)定理中的“距離”是指點(diǎn)到射線的距離,是垂線段的長度。 (2)性質(zhì)定理的逆定理:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。 注意 如圖1-39-1所示,,,根據(jù)“HL”得,,是的平分線。 (3)三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn),此點(diǎn)到三角形三邊的距離相。 方法技巧歸納 方法技巧(一)利用全等三角形的性質(zhì)求線段長或角的度數(shù)的方法 解答這類問題時(shí),一般先根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊(或角)相等,找出相等的邊(或角),然后利用邊(或角)的和差關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理等求出所求的邊(或角)。 方法技巧(二)三角形全等的判定、性質(zhì)與角平分線判定定理的綜合應(yīng)用 在解決三角形中邊或角的問題時(shí),可結(jié)合已知條件和隱含條件,看是否能通過三角形的全等來解決,同時(shí)選擇合適的判定方法。 點(diǎn)撥 如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,且點(diǎn)在角的內(nèi)部,那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 方法技巧(三)利用三角形全等解決實(shí)際問題 首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題,然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問題。 點(diǎn)撥 利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題,關(guān)鍵是正確建立全等三角形模型。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 混淆“HL”與“SSA”。 一般的兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”條件時(shí),它們并不全等,但當(dāng)其中的“A”是直角時(shí),這兩個(gè)直角三角形就是全等的,這就是判定兩個(gè)直角三角形全等特有的“HL’定理。 易混易錯(cuò)(一)錯(cuò)用兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等說明三角形全等 易混易錯(cuò)(二)利用角平分線的性質(zhì)定理時(shí),混淆“點(diǎn)與點(diǎn)”與“點(diǎn)與線”之間的距離致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和推理,運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決一些實(shí)際問題都是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。另外本講知識(shí)還常與四邊形、圓等構(gòu)成綜合題,考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。近幾年添加的有關(guān)全等的條件或結(jié)論的開放性問題也成為中考的熱點(diǎn),題型有選擇題、填空題、解答題。 中考試題(一)添加全等的條件 中考試題(二)利用三角形全等的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明 中考試題(三)綜合運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì) 中考試題(四)全等三角形性質(zhì)和判定的創(chuàng)新 點(diǎn)撥 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),讀懂問題背景,作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)。 第40講 等腰三角形 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)線段垂直平分線的概念 經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫作這條線段的垂直平分線。 知能解讀(二)線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 注意 (1)線段垂直平分線性質(zhì)定理的作用是:證明兩條線段相等。如圖所示,若CD垂直平分線段AB,則。 (2)在CD上任意取一點(diǎn)P都有。 知能解讀(三)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(判定定理) 與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。 從線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理可以看出:在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A,B兩點(diǎn)的距離相等;反過來,與A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線l上,所以直線l可以看成是與A,B兩點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 注意 (1)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的作用是:判定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上。如圖1-40-2所示,若,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。 (2)等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上。 (3)如果兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,那么這兩點(diǎn)所在的直線是該線段的垂直平分線。如圖所示,若,,則點(diǎn)C,D都在線段AB的垂直平分線上,CD與AB的交點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)。 知能解讀(四)三角形三邊垂直平分線的性質(zhì) 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可以得到:三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 注意 (1)此定理的作用是:證明線段相等.如圖所示,若邊AB,BC,CA的垂直平分線交于點(diǎn)P,則;(2)三角形兩邊的垂直平分線段的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線上;(3)證明三線共點(diǎn),可先找到兩直線交點(diǎn),再證明第三條直線也過這一點(diǎn);(4)銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)恰是斜邊中點(diǎn),鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部;(5)此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)使其到三個(gè)不共線的點(diǎn)距離相等的方法,只需順次連接這三點(diǎn)組成一個(gè)三角形,作這個(gè)三角形兩邊的垂直平分線,交點(diǎn)即為所求. 知能解讀(五)等腰三角形的性質(zhì) (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成:等邊對(duì)等角”); (2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”); (3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,其頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線是它的對(duì)稱軸. 知能解讀(六)等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡寫成“等角對(duì)等邊”)。 注意 (1)等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理互為逆定理. (2)“等角對(duì)等邊”應(yīng)用極為廣泛,往往通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)得角相等,則可得邊相等. (3)底角為頂角2倍(頂角為,底角為)的等腰三角形非常特殊,其一條底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形. 知能解讀(七)等邊三角形的性質(zhì)、判定 1 等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的三邊都相等,三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于。 注意 (1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸; (2)等邊三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性質(zhì). 等邊三角形的判定 (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形; (2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形; (3)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形。 注意 腰三角形的條件下.三個(gè)判定定理的前提不同,判定(1)和(2)是在普通三角形的條件下,判定(3)是在等腰三角形的條件下。 方法技巧歸納 方法技巧(一)利用線段垂直平分線的性質(zhì)或判定進(jìn)行計(jì)算和推理 線段垂直平分線的性質(zhì)定理可直接用來證明兩條線段相等,而其逆定理可直接用來證明某一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上,均不必證明三角形全等. 點(diǎn)撥 在解決有關(guān)線段或角的計(jì)算問題時(shí),給合一元一次方程或二元一次方程組求解是一種比較常用的方法. 方法技巧(二)利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法 先利用等腰三角形的性質(zhì)得到等角,再借助三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角之間的關(guān)系,可以求角的度數(shù). 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理. 方法技巧(三)利用“三線合一”證明線段相等或角相等的方法 “三線合一”既可以提供等角、等線段,又可以提供直角,這些條件可用于證明線段相等或角相等. 點(diǎn)撥 使用“三線合一”的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意“三線”是指“底邊”上的三線.另外,“三線合一”的性質(zhì)既是證明兩線段相等的方法,也是證明兩線垂直或某線是角平分線的方法. 方法技巧(四)利用“等角對(duì)等邊”證明線段相等的方法 如果所要證明的相等的兩條線段是同一個(gè)三角形的兩邊,可以先證明這兩邊所對(duì)的角相等,從而用“等角對(duì)等邊”來證明線段相等. 點(diǎn)撥 “等角對(duì)等邊”是繼全等三角形之后又一種證明線段相等的常用方法,應(yīng)注意它的使用前提條件是線段在同一個(gè)三角形中. 方法技巧(五)等腰三角形判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用 在等腰三角形中尋長角或邊的等量關(guān)系時(shí),首先考慮等腰三角形判定和性質(zhì)的運(yùn)用. 點(diǎn)撥 本題考查等腰三角形的判定,用到的知識(shí)有等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等.解題時(shí)找出圖中的三角形,逐個(gè)證明. 方法技巧(六)利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段長度的方法 點(diǎn)撥 本題綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù). 方法技巧(七)利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段相等的方法 等邊三角形的三條邊都相等,三個(gè)角都相等,為證明三角形全等提供了條件,由此可證明線段相等. 點(diǎn)撥 等腰三角形的底角相等、“三線合一”的性質(zhì)以及等邊三角形三邊相等的性質(zhì)常與三角形全等綜合使用證明線段相等. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.涉及等腰三角形腰上“高”的問題對(duì)由于考慮不全面漏解. 由于等腰三角形分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形,所以腰上“高”的位置不同. 2.線段的垂直平分線與過線段中點(diǎn)的直線相混淆. 區(qū)別:線段的垂直平分線過線段中點(diǎn)且與該線段垂直,而過線段中點(diǎn)的直線與線段不一定垂直. 考慮不全致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 等腰三角形的考查包括邊的計(jì)算、角的計(jì)算以及與全等、相似結(jié)合進(jìn)行計(jì)算,近年來也出現(xiàn)了一些操作型試問題,題型主要以填空題、選擇題為主,分值為3分左右,有些綜合性解答題分值占到8~10分. 中考試題(一)利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)求解 中考試題(二)利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)推理證明 第41講 相 似 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)圖形的相似 (1)相似圖形:我們把形狀相同的圖形叫作相似圖形.兩個(gè)圖形相似,其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到. (2)相似多邊形:兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形. (3)相似比:相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比. (4)線段成比例:對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等,如(即),我們就說這四條線段成比例. (5)相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例. 注意 (1)當(dāng)兩個(gè)多邊形全等時(shí),其相似比為1;反之,如果兩個(gè)相似多邊形的相似比為1,那么這兩個(gè)多邊形全等. (2)相似比是有順序的,如:若正方形ABCD與正方形的相似比為,則正方形與正方形ABCD的相似比. 知能解讀(二)平行線分線段成比例 (1)基本事實(shí):兩條直線被一組平行線所截,所的對(duì)應(yīng)線段成比例. (2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 知能解讀(三)相似三角形 1 相似三角形及表示方法 2 相似三角形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. (2)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. (3)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似. (4)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. (5)斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似. 3 相似三角形的性質(zhì) (1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等. (2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例. (3)相似三角形對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線)的比等于相似比。 (4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。 拓展:相似三角形周長的比等于相似比。 4 相似三角形的應(yīng)用 利用三角形相似,可以解決一些測量問題。 知能解讀(四)位似圖形的概念及性質(zhì) 1 位似圖形 如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,像這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形,這點(diǎn)叫作位似中心,這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似。 2 位似圖形的畫法 (1)確定位似中心;(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長;(3)根據(jù)位似比,找出所作的位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn);(4)順次連接上述各對(duì)應(yīng)點(diǎn),得到放大或縮小后的圖形。 3 直角坐標(biāo)系中,位似圖形坐標(biāo)之間的關(guān)系 一般地,在平面與直角坐標(biāo)系中,如果以原點(diǎn)為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為,那么與原圖形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為或。 方法技巧歸納 方法技巧(一)求兩條線段的比的方法 兩條線段的比所表示的是兩數(shù)的相除關(guān)系,因此求兩條線段的比,只要把線段長度代入,然后約會(huì)就可以,在代入時(shí)應(yīng)注意統(tǒng)一單位。 點(diǎn)撥 (1)比例尺就是圖上距離與實(shí)際距離的比;(2)求線段的比時(shí)單位要一致。 方法技巧(二)相似三解形的判定方法 相似三解形的判定方法除定義外還有四種,其中使用最多的是利用平行判定相似和兩角分別相等的兩個(gè)三解形相似;如果既有邊又有角的條件,那么可以考慮“兩邊夾角”的方法判定;如果只有邊的條件,那么可以考慮用“三邊成比例”的方法判定。 方法技巧(三)相似三解形性質(zhì)的應(yīng)用 利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來求線段的長度,有時(shí)通過尋找中間比組成比例式。 點(diǎn)撥 本題關(guān)鍵是抓住中間比,構(gòu)造比例式,從而求出的長. 方法技巧(四)相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 相似三角形知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛,主要是運(yùn)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來測量、計(jì)算那些不易直接測量的物體的高度或?qū)挾?例如:通常利用在同一時(shí)刻物高與影長成比例的原理解決測量高度問題,或通過構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)解決測量寬度問題. 點(diǎn)撥 本題需要運(yùn)用已知條件構(gòu)建比例式.構(gòu)建比例式的常用方法有: (1)三點(diǎn)定形法,尋找相似三角形; (2)等線段替換法,依據(jù)比例式不能組建三角形時(shí)選擇合適的相等線段替換,構(gòu)造三角形; (3)尋找“過渡比”,體會(huì)本例所采用的方法. 方法技巧(五)位似圖形、位似中心的知?jiǎng)e 識(shí)別似圖形,關(guān)鍵是看兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線是否相交于一點(diǎn),相交于一點(diǎn)的就是位似圖形,交點(diǎn)就是位似中心. 點(diǎn)撥 位似圖形必須滿足兩個(gè)條件:①兩個(gè)圖形是相似圖形;②兩個(gè)相似圖形每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn).二者缺一不可. 方法技巧(六)位似的性質(zhì)的應(yīng)用 位似圖形是特殊的相似圖形,利用位似比等于相似比,而面積比等于相似比的平方可進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 求比值:由已知去求比值,多種途徑可利用.活用比例七性質(zhì),變量替換也走紅,消元也是好辦法,殊途同歸會(huì)變通. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.計(jì)算比例尺時(shí),容易忽視單位的統(tǒng)一. 比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比,在計(jì)算比值時(shí)單位必須要統(tǒng)一. 2.相似三角形中有時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系找不準(zhǔn). 3.位似圖形和相似圖形. 區(qū)別:相似圖形不受位置關(guān)系的限制,但位似圖形有位置上的要求.位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形. 易混易錯(cuò)(一)求兩條線段的比時(shí),忽視兩條線段的單位統(tǒng)一而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)(二)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí),由于考慮不全面,導(dǎo)致漏解 易混易錯(cuò)(三)不能正確理解和把握位似與相似的關(guān)系致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本節(jié)內(nèi)容是中考必考內(nèi)容,主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及利用圖形的位似求坐標(biāo)或計(jì)算圖形的面積比等問題,題型有填空題、選擇題、解答題、作圖題及一些綜合型考題. 中考試題(一)利用相似求解 中考試題(二)應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問題 中考試題(三)運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)證明 比例中項(xiàng):比例中項(xiàng)很重要,多種場合會(huì)碰到.成比例的四項(xiàng)中,外項(xiàng)相同有不少.有時(shí)內(nèi)項(xiàng)會(huì)相同,比例中項(xiàng)出現(xiàn)了.同數(shù)平方等異積,比例中項(xiàng)無處逃. 初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十七章 圖形的全等與相似 中考 數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 聚焦 第十七 圖形 全等 相似
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