中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第九章 一元二次方程
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第九章 一元二次方程 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.元二次方程的概念 ★ 7~12分 2.一元二次方程的解法 ★★★ 3.一元二次方程根的判別式 ★★ 4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 ★ 5.利用一元二次方程解決實(shí)際問題 ★★★ 知能圖譜 第19講 一元二次方程的有關(guān)概念及解法 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)一元二次方程的有關(guān)概念 1一元二次方程的定義及一般形式 定義:等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫作一元二次方程. 點(diǎn)撥 對(duì)定義的理解抓住三個(gè)條件:“一元”“二次”“整式方程”,缺一不可,同時(shí)強(qiáng)調(diào)二次項(xiàng)的系數(shù)不為0. 一元二次方程的一般形式是:,其中是二次項(xiàng),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng). 一元二次方程的形式: 項(xiàng)形式 二次項(xiàng) 一次項(xiàng) 常數(shù)項(xiàng) 一般形式 0 特殊形式 0 0 0 2—元二次方程的解的定義 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,也叫作一元二次方程的根.判定一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的解的方法是:只需將這個(gè)值代入一元二次方程的左右兩邊,看方程兩邊是否相等.若相等,則這個(gè)數(shù)是方程的解;若不相等,則這個(gè)數(shù)不是方程的解. 知能解讀(二)一元二次方程的解法 解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法,而配方法和由配方法推導(dǎo)出來的公式法是一般方法,一般方法對(duì)任何一元二次方程者隨用. 1配方法 一般地,對(duì)于方程. (1)當(dāng)時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根成:,. (2)當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. (3)當(dāng)時(shí),因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù).都有,所以方程無實(shí)數(shù)根. 如果方程能化成或的形式,那么可得或. 通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫作配方法.配方的目的是為了降次,把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解. 用配方法解一元二次方程的一般步驟: (1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1:可在方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù); (2)移項(xiàng):使方程左邊是二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù)項(xiàng)(移項(xiàng)時(shí)注意變號(hào)); (3)配方:方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,使左邊配成完全平方形式,把方程化為的形式; (4)如果變形后的方程右邊的數(shù)為非負(fù)數(shù),直接開平方解變形后的方程. 點(diǎn)撥 (1)配方法的一般步驟可簡(jiǎn)記為:一移,二化,三配,四求解. (2)配方一般先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,再利用等式的性質(zhì)將方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方(二次項(xiàng)系數(shù)必須為1). (3)用配方法解一元二次方程,實(shí)質(zhì)就是對(duì)一元二次方程變形,轉(zhuǎn)化為開平方所需的形式.配方:是為了降次,利用平方根的意義把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解. 2公式法 解一元二次方程時(shí),可以先將方程化為一般形式,當(dāng)時(shí),方程的實(shí)數(shù)根可寫成的形式,這個(gè)式子叫作一元二次方程的求根公式.解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí),把各系數(shù)直接代入求根公式,可以避免配方過程而直接得出根,這種解一元二次方程的方法叫作公式法. 點(diǎn)撥 用公式法解一元二次方程的記憶口訣 要用公式解方程,首先化成一般式. 調(diào)整系數(shù)隨其后,使其成為最簡(jiǎn)比. 確定參數(shù),計(jì)算方程判別式. 判別式值與零比,有無實(shí)根便得知. 若有實(shí)根套公式,若無實(shí)根要告之. 3因式分解法 通過因式分解,使一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次,這種解一元二次方程的方法叫作因式分懈法. 因式分解法體現(xiàn)了將一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的思想,運(yùn)用這種方法的步驟: (1)將所有項(xiàng)移到方程的左邊,將方程的右邊化為0; (2)將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積; (3)令每個(gè)因式分別等于零,得到兩個(gè)一元一次方程; (4)解這兩個(gè)一元一次方程,他們的解就是原方程的解. 方法技巧歸納 方法技巧(一)一元二次方程的識(shí)別方法 判斷一個(gè)方程是一元二次方程,應(yīng)抓住它的三個(gè)特征:①整式方程;②只含有一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2且二次項(xiàng)系數(shù)不為0. 點(diǎn)撥 (1)正確理解掌握定義是解題的關(guān)鍵,尤其是準(zhǔn)確掌握中“”這一條件. (2)應(yīng)先把方程化成一般形式后,再判斷該方程是不是一元二次方程. 方法技巧(二)用配方法解一元二次方程 配方法解方程的關(guān)鍵在于配方,即先把方程整理成的形式,然后在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,使左邊配成完全平方形式. 點(diǎn)撥 (1)用配方法解一元二次方程必須先把二次:項(xiàng)系數(shù)化為1才能配方,這是關(guān)鍵的一步. (2)配方的重要步驟是在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,配方的目的是根據(jù),將一般形式的一元二次方程化為的形式,然后再用直接開平方法求解. 方法技巧(三)用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步驟如下: (1)把方程化為一般形式; (2)確定的值,注意各項(xiàng)系數(shù)包括它們前面的符號(hào); (3)計(jì)算的值; (4)當(dāng)時(shí),把及的值代入一元二次方程的求根公式,求得方程的根;當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)根. 點(diǎn)撥 用公式法解方程注意三點(diǎn):一是將方程化為一般形式;二是熟記求根公式;三是掌握用此法解方程的步驟(前面已講). 方法技巧(四)用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵有三點(diǎn):一是要將方程的右邊化為0;二是熟練掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法);三是切忌方程兩邊同時(shí)除以含未知數(shù)的整式. 注意 (1)用因式分解法解一元二次方程時(shí),方程右邊必須為0. (2)第(2)題中的方程兩邊不能同除以,這樣容易丟掉根.遇到此類情形要先移項(xiàng)把方程一邊化為0. (3)第(4)題中,得出,不能只寫成. 方法技巧(五)一元二次方程中的閱讀理解題 點(diǎn)撥 本題體現(xiàn)了換元法在解高次方程中的應(yīng)用,突出了解方程中的降次思想和轉(zhuǎn)化思想. 方法技巧(六)含字母系數(shù)的方程的解法 注意 由于原方程對(duì)的取值沒有限制條件,所以它不一定是一元二次方程,顯然當(dāng)或時(shí),方程分別是不同的一元一次方程,當(dāng)且時(shí),方程才是一元二次方程,這種分類討論思想要注意掌握. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 對(duì)一元二次方程的定義理解不透或思維不嚴(yán)謹(jǐn),易出現(xiàn)錯(cuò)解.如判定一元二次方程時(shí)忽略“”的條件. 易混易錯(cuò)(一)忽略一元二次方程中“”的條件 易混易錯(cuò)(二)用求根公式時(shí)未化成一般形式致錯(cuò) 易混易錯(cuò)(三)解一元二次方程時(shí)丟根 易混易錯(cuò)(四)配方時(shí)未將系數(shù)化為1 易混易錯(cuò)(五)亂用因式分解 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等,題型有填空題、選擇題、解答題,近幾年部分地區(qū)中考出現(xiàn)了閱讀理解題、開放題等新題型,應(yīng)予以關(guān)注. 中考試題(一)對(duì)一元二次方程相關(guān)概念的理解 點(diǎn)撥 已知一元二次方程的根求未知系數(shù)或有關(guān)代數(shù)式的值時(shí),常把方程的根代入一元二次方程中求解. 中考試題(二)解一元二次方程 (1)用配方法解方程 (2)用公式法解方程 點(diǎn)撥 用公式法求解,先把一元二次方程化為一般形式,再計(jì)算,最后代入公式求解. (3)用因式分解法解方程 中考試題(三)一元二次方程的探究創(chuàng)新 第20講一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)一元二次方程根的判別式及應(yīng)用 1一元二次方程根的判別式 將配方成后,可以看出,只有當(dāng)時(shí),方程才有實(shí)數(shù)根,這樣的值就決定著一元一次方程根的情況.一般地,式子叫作一元二次方程根的判別式,通常用“”表示它,即. 的符號(hào) 方程根的情況 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即 方程無實(shí)數(shù)根 上面的結(jié)論反過來也成立,即當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),;當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),;當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí),. 注意 (1)只適用于一元二次方程.只有確定是一元二次方程時(shí),才能確定、、,求出. (2)使用時(shí),要先將一元二次方程化為一般形式后,才能確定、、,求出. (3)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根. 2一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 一元二次方程根的判別式主要有以下應(yīng)用:①不解一元二次方程,判別根的情況;②根據(jù)方程根的情況,確定方程中字母系數(shù)的取值范圍. 知能解讀(二)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用 1內(nèi)容 若一元二次方程有實(shí)數(shù)根,設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,由求根公式得,令,.由此可得,.所以,.即對(duì)于一元二次方程來說,若是它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則,. 這一結(jié)論可表述為:一元一次方程兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù),兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.此結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. 注意 (1)根與系數(shù)的關(guān)系是在方程有根的前提下(即)才能夠成立的,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)首先要檢驗(yàn)是否非負(fù). (2)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用:①不解方程,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③與根的判別式相結(jié)合,解決一些綜合題. 2應(yīng)用 (1)驗(yàn)根:不解方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩根. (2)已知方程的一個(gè)根,求另一根及未知系數(shù). (3)不解方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求關(guān)于的對(duì)稱式的值. (4)已知方程的兩根滿足某種關(guān)系,確定方程中字母系數(shù)的值. 3拓展 (1)與兩根有關(guān)的幾個(gè)代數(shù)式的變形: ①; ②; ③; ④. (2)討論一元二次方程根的符號(hào) 且 兩根同為正數(shù) 兩根同為負(fù)數(shù) 且 異號(hào)且正根絕對(duì)值大 異號(hào)且負(fù)根絕對(duì)值大 (3)以為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)為. 方程技巧歸納 方法技巧(一)一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 一元二次方根根的判別式闡明了根的存在性與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,它的應(yīng)用非常廣泛,現(xiàn)舉例說明如下: 1不解方程,判斷方程根的情況 解題時(shí),一般分兩步:(1)先求出的值;(2)由與零的關(guān)系判斷方程根的情況. 點(diǎn)撥 判斷一元二次方程根的情況要根據(jù)的值是大于0,小于0還是等于0來判斷.當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 2根據(jù)方程根的情況確定待定系數(shù)的取值 注意 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則;方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則,解題時(shí)一定要注意兩者的區(qū)別. 方法技巧(二)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系不僅提供了方程兩根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,也為我們處理有關(guān)一元二次方程問題提供了重要思路和方法. 方法技巧(三)根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.利用實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)確定字母的取值范圍時(shí)忽略. 2.關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的大前提是原方程為一元二次方程,所以必須保證二次項(xiàng)系數(shù),這個(gè)隱含條件常常成為命題設(shè)置的“陷阱在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)易出錯(cuò). 要注意其成立的兩個(gè)前提條件:(1)在一元二次方程條件下,注意二次項(xiàng)系數(shù);(2)存在實(shí)數(shù)根的條件下,注意根的判別式.兩者缺一不可.解題時(shí),常常因?yàn)楹雎阅骋环矫鎸?dǎo)致出錯(cuò). 易混易錯(cuò)(一)根據(jù)一元二次方程根的情況確定未知系數(shù)取值范圍時(shí)忽略“”的條件) 易錯(cuò)易混(二)二次項(xiàng)系數(shù)或考慮不周致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用,近年來,直接考查根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的題目明顯增加,題型以選擇題、填空題為主,有時(shí)出現(xiàn)與解直角三角形、四邊形、二次函數(shù)有關(guān)的綜合題,題型有解答題和開放探究題. 中考試題(一)利用判別式方程根的情況 中考試題(二)根據(jù)方程根的情況求字母的取值范圍 中考試題(三)已知方程的一個(gè)根,求另一個(gè)根及字母的值 中考試題(四)求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值 中考試題(五)已知兩根關(guān)系,求某個(gè)字母的值 中考試題(六)一元二次方程的綜合應(yīng)用 第21講實(shí)際問題與一元二次方程(實(shí)踐與探究) 知識(shí)能力解讀 知能解讀(一)列一元一次方程解應(yīng)用題得方法步驟 列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的拓展,兩者的解題方法類似,但由于一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,所以要注意檢驗(yàn)得出的方程的 解是否符合實(shí)際意義. 其步驟如下: (1)審:讀懂題目,弄清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量,以及它們之間的等量關(guān)系. (2)設(shè):選用適當(dāng)?shù)姆绞皆O(shè)未知數(shù)(直接設(shè)未知數(shù)或間接設(shè)未知數(shù)),不要漏寫單位,用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量. (3)列:根據(jù)題目中的等量關(guān)系,用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù),列出含未知數(shù)的等式.注意等號(hào)兩邊量的單位必須一致. (4)解:解所列方程,求出未知數(shù)的值. (5)驗(yàn):一是檢驗(yàn)得到的未知數(shù)的值是否為方程的解,二是檢驗(yàn)方程的解是否符合題意. (6)答:怎么問就怎么答,注意不要漏寫單位. 知能解讀(二)主要題型 列一元二次方程解應(yīng)用題在日常生活、生產(chǎn)、科技等方面有著廣泛的應(yīng)用,如增長率(降低率)問題、利息問題、數(shù)字問題、利潤問題、動(dòng)點(diǎn)問題等. 方法技巧歸納 方法技巧(一)增長率(降低率)問題的解題方法 (1)增長量=原產(chǎn)量增長率;(2)增產(chǎn)后的產(chǎn)量=原產(chǎn)量(1+增長率). 點(diǎn)撥 增長率問題:若設(shè)基數(shù)為,平均增長率為,則增長次后的值為. 方法技巧(二)利息問題的解題方法 解答此類問題的關(guān)鍵是理解實(shí)際生活中的一些概念,如本金、利率、利息等. 注意 對(duì)于存款利息問題,解題時(shí)一定要注意每次增長的基礎(chǔ)量是否相同. 方法技巧(三)數(shù)字問題的解題方法 解答此類問題的關(guān)鍵是掌握好數(shù)的表示方法和設(shè)法.如:(1)兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字,三位數(shù)=百位數(shù)字100+十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字;(2)三個(gè)連續(xù)整數(shù)可設(shè)為,三個(gè)連續(xù)奇數(shù)(或偶數(shù))可設(shè)為等. 點(diǎn)撥 (1)解決有關(guān)多位數(shù)的問題時(shí),一般不直接設(shè)出這個(gè)多位數(shù),而是間接設(shè)某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,再用代數(shù)式表示其余數(shù)位上的數(shù)字. (2)正確列出方程的關(guān)鍵是熟練掌握用未知數(shù)表示多位數(shù)的方法,如:兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字. 方法技巧(四)利潤問題的解題方法 解決利潤問題的關(guān)鍵是弄清標(biāo)價(jià)、售價(jià)、成本價(jià)的實(shí)際意義及利潤的兩個(gè)等量關(guān)系: (1)利潤=售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)貨價(jià));(2)利潤率=100%. 點(diǎn)撥 利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià),所以每千克核桃降價(jià)元后獲利元,每天賣出核桃千克,這是解題的關(guān)鍵,注意根據(jù)最大讓利原則應(yīng)取6,而不取4. 方法技巧(五)動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 動(dòng)點(diǎn)問題關(guān)鍵是根絕動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的起點(diǎn)和終點(diǎn)等條件列出方程求解. 點(diǎn)撥 通過分析這類問題,可以培養(yǎng)同學(xué)們的抽象思維能力.用“靜”的方法來處理“動(dòng)”的問題是解決運(yùn)動(dòng)型數(shù)學(xué)問題的基本思維技巧.如此題中的“靜”就是指的長度為. 方法技巧(六)圖形面積問題的解題方法 圖形面積問題多涉及三角形全等、勾股定理、三角形三邊關(guān)系及各種規(guī)則圖形的面積公式,多考查矩形面積問題. 點(diǎn)撥 (1)列方程解應(yīng)用題得關(guān)鍵是認(rèn)真讀題,找出題中的等量關(guān)系.(2)本題中的墻的長度對(duì)于方程的解有限制作用. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 忽略檢驗(yàn),導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤. 列一元二次方程解決實(shí)際問題,是一元二次方程的一個(gè)重要應(yīng)用.由于一般情況下一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,所以應(yīng)注意檢驗(yàn)得到的未知數(shù)的值是否符合題意及實(shí)際問題的意義. 易混易錯(cuò)(一)列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)因忽視隱含條件而致誤 易混易錯(cuò)(二)在解決有關(guān)比賽等問題時(shí),因理解題意而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講的主要考點(diǎn)有列一元二次方程解決圖形面積問題、增長率(降低率)問題和與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的利潤問題等實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題和解答題. 中考試題(一)圖形面積問題 中考試題(二)增長率(降低率)問題 點(diǎn)撥 (1)有關(guān)百分率的問題常應(yīng)用公式求解,其中是基數(shù),是增長率或降低率,是變化次數(shù),是經(jīng)過次變化后的結(jié)果.(2)應(yīng)用一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)要注意舍去不合題意的解. 中考試題(三)利潤問題 點(diǎn)撥 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵.此題要注意判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第九章 一元二次方程 中考 數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 聚焦 第九 一元 二次方程
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