中考數(shù)學 知識點聚焦 第十四章 投影與試圖

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第十四章 投影與試圖 考情分析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.中心投影的有關計算 ★ 3～8分 2.平行投影的有關計算 ★ 3.判斷物體的三視圖 ★★★ 4.由三視圖判斷幾何體 ★★ 5.根據(jù)三視圖進行相關計算 ★★ 6.三視圖的畫法 ★ 知能圖譜 第32講 投 影 知識能力解讀 知能解讀（一）投影及相關概念 一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫作物體的投影，照射光線叫作投影線，投影所在的平面叫作投影面. 知能解讀（二）平行投影與中心投影 （1）平行投影：由平行光線形成的投影叫作平行投影.如物體在太陽的照射下形成的影子（簡稱日影）就是平行投影. （2）中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫作中心投影.如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影. 知能解讀（三）正投影 （1）正投影：投影線垂直于投影面產生的投影叫作正投影.正投影是平行投影的特殊情形.在實際制圖時，經常應用投影. （2）線段的正投影：①當線段平行于投影面時，它的正投影； ②當線段傾斜于投影面時，它的正投影； ③當線段垂直于投影面時，它的正投影是一個點. （3）正方形的正投影； ①當正方形平行于投影面時，它的正投影與它本身形狀、大小一樣； ②當正方形傾斜于投影面時，它的正投影與它本身形狀、大小不無安全一樣； ③當正方形垂直于投影面時，它的正投影成為一條線段. （4）當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同. 點評 物體證投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關. 知能解讀（四）燈光下的影子與太陽光下的影子的區(qū)別 （1）太陽光線是平行的，太陽光下的影子與物體的高度成比例；燈光光線是發(fā)散的，燈光下的影子與物體的高度不成比例. （2）同一時刻，太陽光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子則不一定. （3）燈光是從一點發(fā)出的，所有物體的頂端和影子的頂端所直線必過發(fā)光點；而太陽光是平行光. 方法技巧歸納 方法技巧（一）投影的區(qū)分與識別的方法 根據(jù)兩種物體的影子判斷是在燈光下還是在太陽光下的投影，關鍵是看這兩種物體的頂端和其影子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在太陽光下的投影，若相交則是在燈光下的投影. 點撥 若光線是平行的，則是太陽光線，并且影子的方向是一致的；若光線相交于一點，則為燈光的光線. 方法技巧（二）看投影時間 注意 本題在觀察影子的位置變化情況時應注意與地理坐標相結合：上北、下南、左西、右東. 方法技巧（三）確定中心投影的光源 識別中心投影，關鍵看相應的光線位置關系，如果相應光線相交于同一點，這種投影就是中心投影.反過來，我們可以利用這一特點確定中心投影的光源. 方法技巧（四）物體正投影的畫法 平面圖形、立體圖形的正投影作圖是點、線段的正投影作圖的綜合，因此，平面圖形、立體圖形的正投影作圖可轉化為點、線段的正投影作圖，點、線段在投影上面的作法如下表： 名稱 內容 作空間在投影面上的正投影 過空間點作投影面的垂線，垂線與投影面的交點就是空間點在投影面上的正投影 作線段在投影面上的正投影 分別作出線段的兩個端點在投影面上的正投影，然后連接兩投影點即可 注意 側棱在投影面上的投影應為這這條線段，因為能看到，所以畫成實線，不要畫成虛線或漏畫. 易混易錯辨析 易混易錯知識 平行投影與中心投影. 平行投影是物體在太陽光線照射下形成的投影，其特征是形成影子的光線是平行的；中心投影是物體在燈光照射下形成的投影，其特征是形成影子的光線交于一點. 易混易錯（一）不能正確表示太陽光線致錯 易混易錯（二）混淆中心投影與平行投影致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查平行投影與中心投影的識別及應用，通常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）平行投影的應用 中考試題（二）中心投影的應用 知識能力解讀 知能解讀（一）試圖的概念及特點 （1）視圖：當我們從某一個方向觀察一個物體時，所看到的平面圖形叫作物體的一個視圖.視圖可以看作是物體在某一方向光線下的正投影機. （2）三視圖：用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對著我們的平面叫作正面，下方的平面叫作水平面，右邊的平面叫作水平面，右邊的平面叫作側面.一個物體在三個投影面內分別進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫作主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫作俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫作左視圖. 將三個投影面展開在一個平面內，得到這一物體的三視圖.三視圖中，主視圖與俯視圖可以表示同一個物體的長，主視圖和左視圖可以表示同一個物體的高，左視圖與俯視圖可以表示同一個物體的寬. 知能解讀（二）常見幾何體的三視圖 視圖 幾何體 主視圖 左視圖 俯視圖 知能解讀（三）畫立體圖形的三視圖 畫三視圖時，三個視圖都要放在正確的位置上（主視圖在左邊，它的正下方是俯視圖，左視圖在主視圖的右邊），并注意：主視圖與俯視圖的長對這正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等. 畫圖時還規(guī)定：看的見部分的輪廓線畫成實線，因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線化成虛線. 注意 畫立體圖形時要循序漸進，不妨從熟悉的圖形出發(fā)，于點一般的立體圖形要先仔細觀察和想象，再畫它的三視圖. 知能解讀（四）由視圖到立體圖形 由視圖現(xiàn)象實物時不像由實物到視圖那樣唯一確定，要借助于三個視圖綜合分析、想象，僅僅一個方向的視圖只能了解物體的部分信息.由一個視圖往往可以想象出多種形狀的物體，根據(jù)視圖只能描述物體的形狀. 注意 三個視圖的作用：由視圖描述物體的形狀，三個視圖可以提供不同的信息. （1）主視圖：由主視圖可以分清物體的長和高，主要提供正面的形狀. （2）左視圖：由左視圖可以分清物體的高和寬. （3）俯視圖：由俯視圖看不出高度，這一點認識很重要.由俯視圖可以分清物體的長和寬. 方法技巧歸納 方法技巧（一）三視圖的識別 在識別時一是要認識常見幾何體的三視圖，二是要有空間想象能力，三是要善于觀察生活中的物體. 點撥 掌握集中簡單幾何體的三視圖是畫幾何體的視圖的基礎.日常生活中看到的很多物體，它們的形狀不很規(guī)則，但是它們一般可以看作是由一些基本幾何體（棱柱、棱臺、棱錐、圓柱、圓臺、圓錐、球等）組合或切割而成的. 方法技巧（二）三視圖的畫法 三視圖的具體畫法：（1）確定主觀視圖的位置，畫出主視圖；（2）在主觀視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；（3）在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”. 注意 畫立體圖形的三視圖時，一是注意三視圖的位置；二是避免斜視幾何體. 方法技巧（三）由三視圖還原立體圖形的方法 由三視圖描述幾何體，一般先根據(jù)各視圖想象從各個方向看到的幾何體形狀，然后綜合起來確定幾何體的形狀，再根據(jù)三視圖“長對正、高平齊、寬相等”的關系，確定輪廓線的位置以及各個面的尺寸. 點撥 由三視圖來判斷實際幾何體的形狀時，關鍵在于找到三視圖之間的關系以及對一些簡單幾何體三視圖的熟練掌握. 方法技巧（四）由三視圖求幾何體的表面積的方法 由三視圖求幾何體的表面積時，首先要根據(jù)三視圖描述幾何體（或畫出表面展開圖），再根據(jù)三視圖“長對正、高平齊、寬相等”的關系和輪廓線的位置確定各條線段的尺寸，然后應面積公式求出表面積. 點撥 由三視圖求幾何體的表面積關鍵是確定幾何體的形狀. 技巧方法（五）根據(jù)視圖判斷小正方體的個數(shù) 由三視圖判斷幾何體的形狀，首先，分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，再綜合起來考查. 點撥 主視圖表示幾何體的上、下、左、右，俯視圖表示幾何體的左、右、前、后，左視圖表示幾何體的上、下、前、后，據(jù)此可判斷搭建一個幾何體所需要的正方體的個數(shù). 易混易錯辨析 易混易錯知識 畫視圖時虛線與實現(xiàn)混淆. 在三視圖中，看不到的輪廓線要求畫成虛線，同學們容易疏忽而將其畫成實線. 易混易錯（一）由三視圖還原立體圖形時因忽視其中的條件而致誤 易混易錯（二）畫視圖時將看不見的棱畫成實線而致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球等）的三視圖，會判斷簡單物體的三視圖，會利用空間想象能力作圖或識圖，通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）判斷物體的三視圖 中考試題（二）由三視圖判斷幾何體 中考試題（三）利用三視圖計算