四川省成都市龍泉驛區(qū)第一中學(xué)校高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試試題理

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成都龍泉中學(xué)2016～2017學(xué)年度下學(xué)期入學(xué)考試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷，共4頁，滿分１５０分，考試時間１２０分鐘． 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題紙上． 2．考生作答時，請將答案答在答題紙上，在本試卷上答題無效．按照題號在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效． 3．答案使用0．5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚（選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號）． 4．保持答題紙紙面清潔，不破損．考試結(jié)束后，將本試卷自行保存，答題紙交回． 第I卷（選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1.若集合，且，則集合B可能是 A. B. C. D.R 2.已知命題p：?x0∈，x＋1<0，則 A．p：?x∈，x2＋1>0 B．p：?x∈，x2＋1>0 C．p：?x∈，x2＋1≥0 D．p：?x∈，x2＋1≥0 3.點(diǎn)在邊長為1的正方形內(nèi)運(yùn)動，則動點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離的概率為 A． B． C． D． 4.設(shè)數(shù)列的通項公式，其前項和為，則 A. B. C. D. 5. 已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 A． B． C． D．2 6. 已知，若，則 A． B． C． D． 7. 已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)， 是上一點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則的離心率為 A. B. C. D. 8. 已知程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是 A．求數(shù)列的前10項和 B．求數(shù)列的前10項和 C．求數(shù)列的前11項和 D．求數(shù)列的前11項和 9.設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)，若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑 A. 成正比，比例系數(shù)為C B. 成正比，比例系數(shù)為2C C.成反比，比例系數(shù)為C D. 成反比，比例系數(shù)為2C 10.在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,平面，PB與平面所成角為，若E是PB的中點(diǎn)，則異面直線DE與PA所成角的余弦值為 A. B. C. D. 11. 已知定義在上的函數(shù)（為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為 A． B． C． D． 12.過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的射線，分別與拋物線相交于點(diǎn)M,N，過弦MN的中點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線PQ,垂足為Q，則的最大值為 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非選擇題（共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．） 13. 已知向量，若⊥，則 14. 若正數(shù)，滿足，則的最小值為_________. 15.人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)地球半徑為，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別為，則衛(wèi)星軌道的離心率 ．(請用表示) 16. 設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以線段為直徑的圓O與雙曲線的一個交點(diǎn)為P,與軸交于B,D兩點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn)，則下列命題正確的是 .（寫出所有正確的命題編號） ①線段BD是雙曲線的虛軸；②的面積為； ③若，則雙曲線C的離心率為；④的內(nèi)切圓的圓心到軸的距離為. 三、解答題（本部分共計6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，請在指定區(qū)域內(nèi)作答，否則該題計為零分．） 17．（本小題滿分10分） 在中,角,,所對的邊分別為,,,且,. (1)若,求的值； (2)若的面積,求,的值. 18.（本題滿分12分） 設(shè)數(shù)列滿足：,. （1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 19.（本小題滿分12分） 已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且它們的離心率之和為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸進(jìn)線方程． 20. （本題滿分12分） 某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，分組區(qū)間為：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示． （Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值；從該市隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生參加考試的成績低于90分的概率； （Ⅱ）設(shè)A，B，C三名學(xué)生的考試成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)，M，N兩名學(xué)生的考試成績在區(qū)間 [60,70)內(nèi)，現(xiàn)從這5名學(xué)生中任選兩人參加座談會，求學(xué)生M，N至少有一人被選中的概率； （Ⅲ）試估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù)。 （注：將頻率視為相應(yīng)的概率） 21.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，⊥平面，，，分別是的中點(diǎn)． (1)證明：⊥平面； (2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值． 22.（本小題滿分12分） 已知橢圓:的離心率為，左頂點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓交于不同兩點(diǎn),且滿足．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過作，垂足為，求的軌跡方程． 成都龍泉中學(xué)2016～2017學(xué)年度下學(xué)期入學(xué)考試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1—6 ACCDBA 7—12 BBDBCC 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．） 13.12 14. 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。 所以的最小值為3. 15. 16.②③④ 三、解答題（本部分共計6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，請在指定區(qū)域內(nèi)作答，否則該題計為零分．）17.解:(1)因為,又, 所以 ………2分 由正弦定理,得 …………5分 (2)因為, 所以. 所以 …………7分 由余弦定理,得. 所以 …………10分 18.解析：（1）證明： 于是 ……4分 即數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列. 因為，所以 ……6分 （2） ① ② ……8分 ①②得 ……10分 故 ……12分 19.解：橢圓的焦點(diǎn)為，離心率為，…………2分 故雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率為4，…………4分 設(shè)雙曲線，則，，所以， 故雙曲線：，…………8分 其漸進(jìn)線方程為：或．…………12分 20. 解（I）估計這名學(xué)生參加考試的成績低于90分的概率為0.85 (Ⅱ)從這5名學(xué)生代表中任選兩人的所有選法共有10種,分別為:AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN,代表M,N至少有一人被選中的選法共7種,分別為:AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN 設(shè)”學(xué)生代表M,N至少一人被選中”為事件D,P(D)= ∴學(xué)生代表M,N至少一人被選中的概率為 (Ⅲ)樣本的中位數(shù)為，平均數(shù)為76.5. 21.(1)法一：∵,且為的中點(diǎn), ∴⊥………3分 連結(jié),∵，且為的中點(diǎn), ∴⊥ ∴⊥平面……………………………6分 法二：證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四邊形ABCD是矩形， ∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)． 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)．……………………2分 ∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)． ∴＝－2＋4－2＝0，＝2＋0－2＝0. ………………………………………4分 ∴⊥，⊥ ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. ……………………………………………………………………………6分 (2)解：由(1)知平面BEF的一個法向量＝＝(2,2，－2)，………………………9分 平面BAP的一個法向量＝＝(0,2，0)，∴. 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ， 則＝＝＝＝， ∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.……………………………12分 22.解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知 因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè) 把，代入得：，………4分 ， …………5分 若，則 …………8分 ，，直線：，即直線恒過定點(diǎn)．…………9分 （Ⅲ）設(shè)，由（Ⅱ）知直線恒過定點(diǎn)，，，所以 的軌跡是以為直徑的圓（除點(diǎn)外），則的軌跡方程為． …………12分 10